§23极限运算的基本法则及其运用 问题:根据极限的定义,只能验证某个常数A 是否为某个函数f(x的极限,而不能求出函数f(x的 极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运 算法则;并利用这些法则和§2.1及22中的某些结 论来求函数极限 一极限的四则运算法则 定理6.若lmf(x)=A,limg(x)=B.则 (1).limf(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B; (2). limf(x)·g(x)=limf(ax)·limg(x)=A·B; (3)当B≠0时,lim f(r)lim f(x)A g(x) lim g(x) B
1 §2.3 极限运算的基本法则及其运用 问题: 根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函数ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的 极限. 为了解决极限的计算问题, 下面介绍极限的运 算法则; 并利用这些法则和§2.1及2.2中的某些结 论来求函数极限. 一.极限的四则运算法则 定理6. 若lim ƒ(x) = A, lim g(x) = B. 则 (1). lim [ƒ(x) ± g(x)] = lim ƒ(x) ± lim g(x) = A ± B; (2). limƒ(x) · g(x) = limƒ(x) · lim g(x) = A · B; (3).当 ( ) lim ( ) 0 ,lim . ( ) lim ( ) f x f x A B g x g x B = = 时
其证明可用定义.以极限过程为x→x的证明(1)为 例.由|f(x)+g(x]-(4+B)|=|(x)-4]+[g(x) B≤|f(x)-A|+|g(x)-B|即可 1)、(②2)的推广: lim∑f(x)=∑limf(x), i=1 limf(x)=Ilim,(x) 1 (2)中g(x)=c时, lim cf(x= c limf(x (2中f(x=g(x时,limf2(x)=[limf(x)2; 再推广imf"(x)=imf(x)(其中n为正整数)
2 其证明可用定义. 以极限过程为x→x0的证明(1)为 例. 由|[ƒ(x)+g(x)]–(A+ B) |=|[ƒ(x) – A] +[g(x) – B]|≤|ƒ(x) – A |+|g(x) – B |即可. (1)、(2)的推广: 1 1 1 1 lim ( ) lim ( ), lim ( ) lim ( ). n n i i i i n n i i i i f x f x f x f x = = = = = = (2)中 g(x) = c 时, lim cƒ(x) = c limƒ(x). (2)中ƒ(x) = g(x) 时, 2 2 lim ( ) [lim ( )] ; f x f x = lim ( ) [lim ( )] .( ) n n 再推广： f x f x n = 其中 为正整数
从而有多项式函数 若Pn(x)=a0x"+a1x"+…+an,则limP(x)=Pn(x) x→x 有理分式函数 若F(x) Pn(x)a0x”+a1x+…+a 且Qn(x0)≠0, )b0x"+b1x"+…+b 则 lim F(x)=li P (x) P(ro) F(o). x→C0 x-xo 2m(x)2m, (ro) 例9.求 (1).im(x2+8x-7);(4)lim/ ); (2). lim 4c 3x+1 2 6x+4 (5). Iir x→1x2-5x+4 (3).lims 3x+ 2 (6)65x+x-3 10x2+1
3 有理分式函数 1 0 1 ( ) , n n P x a x a x a n n − 若 = + + + 1 0 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) n n n n m m m m m P x a x a x a F x Q x Q x b x b x b − − + + + = = + + + 若 且 从而有多项式函数 0 0 lim ( ) ( ). n n x x P x P x → 则 = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim ( ). ( ) ( ) n n x x x x m m P x P x F x F x → → Q x Q x 则 = = = 例9. 求 2 1 2 2 1 2 2 1 (1).lim( 8 7); 4 3 1 (2). lim ; 2 6 4 3 2 (3).lim ; 2 x x x x x x x x x x x x x → → − → + − − + − + − + − − 2 2 2 2 2 1 2 2 1 (4).lim( ); 4 2 1 (5).lim ; 5 4 5 3 (6).lim . 10 1 x x x x x x x x x x x x → → → − − − − − + + − +
解(1Im(x2+8x-7) x→>1 lim+=limb I 1+8二7≡2 解(2)mimx2-3x+1 6x+ lim(4x2-3x+1)8 lim(2x2-6x+4)123 x2-3x+2Iim(x2-3x+2) 解(3)lim 0 x-2 lim(x-x-2
4 2 1 2 1 1 1 (1)lim( 8 7) lim lim8 lim7 1 8 7 2 x x x x x x x x → → → → + − = + − = + − = 解 2 2 1 2 1 2 1 4 3 1 (2) lim 2 6 4 lim(4 3 1) 8 2 lim(2 6 4) 12 3 x x x x x x x x x x x → − → − → − − + − + − + = = = − + 解 2 2 1 2 2 1 1 lim( 3 2) 3 2 (3) lim 0 2 lim( 2) x x x x x x x x x x x → → → − + − + = = − − − − 解
1 解(4)lim )=lim x2-(x+2) 2 li (x-2)(x+1)3 2(x-2)(x+2)4 解(5)im (x-1)(x+1)2 m 1 5x+4x→1(x-1)(x-4) 3 5x2+x-3 5 解(6)lim li →>∞10x2+1 10+1 2
5 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) (4) lim( ) lim 4 4 2 ( 2)( 1) 3 lim ( 2)( 2) 4 x x x x x x x x x x x x x → → → − + − = − − − − + = = − + 解 2 2 1 1 1 ( 1)( 1) 2 (5)lim lim x x 5 4 ( 1)( 4) 3 x x x → → x x x x − − + = = − − + − − 解 2 2 2 2 1 3 5 5 3 1 (6) lim lim . 10 1 1 2 10 x x x x x x x x → → + − + − = = + + 解
对有理分式函数F(x),在x→∞时极限有如下讨论: n=n limC0x”+a1.则 0 m>n x-bxm+b,xm-1+…+b o m 1 2x2+x e imf(x),limf(),lim f(x)
6 对有理分式函数F(x), 在x→∞ 时极限有如下讨论: 1 0 1 1 0 1 lim n n n m m x m a x a x a b x b x b − → − + + + = + + + 0 0 0 , a m n b m n m n = 其中a b m n 0 0 0, 0, , . 且 为正整数 例10. 设 2 2 1 1 ( ) 5 1 2 x x f x x x x x + = + + 求 1 0 lim ( ),lim ( ), lim ( ). x x x f x f x f x → → →+
解f(1)=2,f(1)=2→limf(x)=2 →1 lim f(x)=lim(x+1=l x→)0 x→>0 +5 lim f(x)=lim =0 》+ x→。o 例11.求lim (m,n为正整数); de 1 特殊地:lim →>1 解lim (x-1)(x"1+x +1)n lim x→1(x-1)(xm1+x"-2+…+1)m 特殊地:lim x"-1(x-1)(x"1+x"2+…+1) =
7 解 1 2 0 0 2 (1 ) 2, (1 ) 2 lim ( ) 2; lim ( ) lim( 1) 1; 5 lim ( ) lim 0. 2 x x x x x f f f x f x x x f x x x + − → → → →+ → = = = = + = + = = + 例11. 求 1 1 1 lim ( , ); 1 1 lim 1 n x m n x x m n x x x → → − − − − 为正整数 特殊地 ： 1 2 1 2 1 1 1 ( 1)( 1) lim =lim 1 ( 1)( 1) n n n m m m x x x x x x n x x x x m − − → → − − − − + + + = − − + + + 解 1 2 1 1 ( 1)( 1) lim 1 ( 1) n n n x x x x x n x x − − → − − + + + = = − − 特殊地 ：
例12.(1求Iim(2x-1)(3x-2)20 x→ (2x+1)0 (2).若im n(n≠0)求常数m与n x→∞x"-(x+1) 解(1)im(2x=1)3(3x-2)2020320320 (2x+1) 50 50 20 解(2)lim n,常数m=100n x→>x n (x+1) 100 复合函数的极限运算法则 定理7.如果函数y=f(l),u=φ(x满足条件 (1)img(x)=a且∨x∈U(x,6)皆有q(x)≠a; x→x (2)lim f(u)=A →a 则复合函数fφ(x)],当x-x0时的极限也存在,且 lim∫q(x)=limf(u)=A x→x
8 例12. 30 20 50 99 (2 1) (3 2) (1). lim ; (2 1) (2). lim ( 0) . ( 1) x m m x x x x x n n m n x x → → − − + = − + 求 若 求常数 与 二.复合函数的极限运算法则 定理7. 如果函数 y =ƒ(u) , u =φ(x)满足条件： 0 (1) lim ( ) x x x a → = (2)lim ( ) ; u a f u A → = 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u a f x f u A → → = = 0 0 且 x U x( , ) 皆有( ) ; x a 则复合函数ƒ[φ(x) ], 当x→x0时的极限也存在, 且 30 20 30 20 20 50 50 20 (2 1) (3 2) 2 3 3 (1)lim . x (2 1) 2 2 x x → x − − = = + 解 99 1 (2)lim , 100 ( 1) 100 m m x x n m n → x x = = = − − + 解 常数
其理论证明(略).但须指出以下两点: (1).也可将此定理中的极限过程改为x→∞,或者将 (x)的极限a改为∞(即只须外函数极限存在,结 论同样成立 (2).此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是 存在的,同时也说明用变量替换的方法去计算复合 函数的极限是可行的,即f()与=p(x)满足定理条 件,则通过变换u=q(x),即可把求Iimp(x)的 问题转换为求imf(u)或limf(u) →
9 其理论证明(略). 但须指出以下两点： (1).也可将此定理中的极限过程改为x→∞, 或者将 φ(x)的极限 a 改为 ∞ (即只须外函数极限存在), 结 论同样成立. (2).此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是 存在的, 同时也说明用变量替换的方法去计算复合 函数的极限是可行的, 即ƒ(u)与u = φ(x)满足定理条 0 lim [ ( )] x x f x → lim ( ) lim ( ) u a u f u f u → → 或 件, 则通过变换 u = φ(x) , 即可把求 的 问题转换为求
例13求 (1).Iimarctan-; 提示 x→0 则lim 当x→0时 +1 L (2).lim -arctan x→0 x+0+0当x→>0时 故应当考虑左、右极限 三.曲线的渐近线 定义当曲线y=f(x上动点 M沿着曲线无限远离原点移动 时,若该动点M到某直线L的距 y-ax 离无限趋近于零(如右图),则称 此直线L是曲线y=∫(x的渐 近线
10 例13.求 0 1 1 0 1 (1).limarctan ; 1 1 (2).lim arctan . 1 x x x x x e x e → → + − 提示： 0 1 0 , lim 0 x x u u x x − → + − → = = + → 当 时 令 则 当 时 三.曲线的渐近线 定义 当曲线 y = ƒ(x)上动点 M沿着曲线无限远离原点移动 时,若该动点M到某直线L的距 离无限趋近于零(如右图),则称 此直线L是曲线y = ƒ(x) 的渐 近线. o x y y=ƒ(x) ˘ »α α M Q • L:y=ax+b • • 故应当考虑左、右极限