目 录 序 第一篇齐次可马尔可夫过程样本函数构造论 第一章第一构造定理… ·,,,‘甲,,.甲,,, §1.1.引言 §L.2.晷变换的定义…… §1.3.叙列X)()(n≥1)的收敛性 §1,4,关于x()()(n≥1)的进一步性质 §1.5.第…构造定裡…… 第二章第二构造定理 12 §2.1.引言 §2.2.映射Tmn…… §2.3,映射W §2.4.作辅助函数 §2.5.第二构造定理 §2.6.定理2.5.1的深化 §2,7.小结 第二篇非负线性方程组的最小非负解理论 23 第三章一般理论… 23 §3.1.引言 23 §3.2.非负线性方程组的定义及其最小非负解的定义、存在 和唯一性 23 §3.3.比较定理和线性组合定理 §3.4.局部化定理… §3.5.最小非负解的牵连性质… §3.6,极限过渡定理 §3.7.矩阵表示法 §3.8,对偶定理 31 111
第四章计算方法 32 §4.1.几个引理………………………………… §4.2.问题的归结 §4.3."维常义严格非齐次方程…………… 36 第五章囿壹方程……………………………………38 38 §52,第一型通外方程 38 §5.3.第一型相容方程…… §5.4.随机添尾严格非齐次方程 12 §5.5.正则方程 43 §5.6.拟规格方程… 44 §5.7.有限维拟规格方程……… daliA+4 ……………47 §5.8.第二型正则方程 51 第三篇齐次可列马尔可夫链……………………55 第六章一般理论 卓专甲曲·甲 §6.1.引言 55 §6.2.转移概率 55 §6.3.第一次到达时的分布和矩…… 57 §6.4.齐次有跟马氏链的第一次到达时的分布和矩 62 §6.5.到达次数的分布和矩 64 §6.6,常返判别准则… 66 §6.7.可加泛函的分布和矩………… 69 §6.8,导出马氏链和原子几乎闭集的判别准则 72 第七章 Martin流出边界理论……… 79 §7.1.引言………………………………79 §7.2.马氏链的分解…… §7.3.关于过份函数的终极性态 §7.4.Gren函数和 Martin核… §7.5.和链 §7.6.关于 Martin核的一个极限定理 §7.7. Martin边界 §7.8.xt的分布… 96
§7.9.过份函数的Marn表达式 §7.10.流出空间… §冫.11,唯一性定理…………… §7.12.极小过份函数……………………………………99 §.13.终极随机变量…………… ……10 §7.14.位势、过份函数的判别准则和kick分解 §7.15,极小训和函数、极小位势和极小过份函数的判別准 则 i( §7.16.原子流出空间和非原子流出空间…………………105 §7.17.状态空间的 Blackwell!分解………… 107 第八章 Martin流人边界理论… 108 §8,1,引 ∴08 第一组引理 §8.3.有限过份测度的件质 §8.4.第二组引理 §8.5.流人边灵……… §8.6.流入怒间和过份测度的表达式… 第四篇齐次可列马尔可夫过程 ………………116 第九章最小过程 116 §9 引言 116 §9.2.转移概率 ………116 §9.3.第一次到达时问的分在和矩…… …117 §9.,正常返判别准则… I24 §9.5.积分型泛函的分布和矩 126 §9.6.拟可摧集上的积分型泛的分在和矩· 738 §9.7.§9.3中的结果的推广 第十章一阶Q过程…………………………………147 §10.1.引言………………………… §1U.2.转移概率…………… §1.3.第一次到达时间的分冇和矩 第十一章任意的过程 甲甲,,,ppt,,中萨 §11.1.第一构造定理的深化
§1:.2,转概率· s11,3.过份测度和过纷函数的分解忙甲 第五篇齐次可列马尔可夫过程构造论 …178 第十二章Ω过程的唯一性准则 §12.1.引言 78 §12.2.几个引理……… §12.3.主要定的证明 ,,, …186 §12.4.对角线型的情况 有、d s12.5.有界的情况…………………… s12.6.E为有限集的情况…… 196 §12.7.分校ρ矩阵的情况 §2.8.另一判别准则和有限非保守情况… §12.9.定嘿12.1.1中两个杀件的独立性 20平 §12.10,定理12,1.1中条件()的概率意义…………………206 第十三章Q过程的构造 213 §13.L.构造定理…………………… 213 §13,2,仓部Q过程的刻划…… §13.3.{Q,(axe×乃过样的表达式……………………………216 §13.4.讨论 第十纠章定性理论 218 §14.1.引言 §14.2.结果的陈述…… …219 §14.3.B型Q过程的构造问题的归结和Io过程… 225 §14.4.BF型q过程的构造问题的归结 232 §14.5.定理14.2.1一定理14.2.3的证明…… 235 §14.6,定理14.2.4的证明及其应用举例 ………236 s14.7.定鯉14.2.5一定理14.2,10的证明 247 参考文献………………………………249 索引 ………251
第一篇齐次可列马尔可夫过程样本函数构造论 第一章第一构造定理 511,引言 设X(o)=「x(t,u)4是标准的,且其矩 阵满足关系 qn≥0(i、∑ 0,在(r-E,v+ε)中, x。ω)有无穷多个跳跃点
显见,飞跃点的聚点仍是飞跃点因此x,ω)的一切飞跃点 构成一个闭集.所以,x(·,四)的第一个飞跃点存在,今以x表示 定义112如果Q过程K(o)={x(t,u),f<叫()满足 条件 r1(u)=a(m)(∈g) (312) 则称X()为最小Q过程或零阶Q过程 定义113.如果Q过程X(ω)={x(t,ω),<σ(ω)满足 如下两个条件,则称之为一阶Q过程: )= (1.3 (2)对任一60∈9及任一t∈[0,o(a),在[0,t)中x·,) 至多有有限个飞跃点 由定义1.12和定义113知,零阶Q过程是一阶9过程的退 化情况 王梓坤在[2]中严格地沦证了生灭过程的样木函数的构造定 理,并在[2],[3}中及杨超群在[4},[51中把构造定理成功地用 于生灭过程的一系列研究上.本章的目的则是给出Q过程的样本 函数的构造定理151.该定理的意义在于使得对过程的性质的 研究可按如下程序进行:先研究样本函数结构最简单的最小Q过 程继而研究样本函数结构较简单的一阶Q过程,最后,依据构造 定理用“极限过渡法”研究任意Q过程 s1.2.gn变换的定义 设X()={x(t,ω),t<a()是任一Q过程,Dn=(1,2, B()=0 aa)是x(·,m)的第一个飞跃点 (122) in(t:叫ω)≤1≤叭(ω),x(t)∈D) 6n(a) (123) a(m)2如L集合空 设m2(),Fm()已定义,如Fmu)=o(),则令a(∞)
m()=(o),否则令 dm)(u)为x(,c)在Pm()后的第一个飞跃点(124) PI(o) nf(:om()≤!0 (1.27) "(a)=∑(o")()-;"(ω))=imr(o)(1,2.8) B()+(z-z(∞), 如()≤t<x(m)( 如t≥a(m 对任一a∈9,t<n(m)令 我们把由X(ω)={x(tu),t<叭(u)}到X"(o)={xn(t,o) r<a(u)的变换记为 ga(X(to))=X*(co) §L3.叙列X0)(n≥1)的收敛性 引理131. p(a)=po)=叭()(o∈Q)(13.1) 证.由(1.2.6)知,极限inp(o)=p()(u∈)在 令 (a:n()<a(a)) 于是
n)(a)<+∞(o∈△) (13.3) 对每一∈△,由性质(D)和x(())∈Dn知,如B(c) <(),则 0 于是有 ?)(u)<a"(u)≤(o) ≤A1(o)<如)≤))<…<m(u) (o∈△) 1.3.4 从而 0≡n)(D)<"(m)<…<() <o(t)(o∈△) 由D,=(1,2,…,n)只包含有限个元素及x()())∈D知, 对任一∈△,必有某i∈Dn使 r(m"(o)=i,对无穷个k成立 (136) 于是易知 x(·,)在10,n(m))中有无穷个i区间(1.3.7) 从而,由(13.3)和性质(D4)知△=.引理证毕 引理132.对任一∈9和t<(ω),我们有 lim u(Bim())=0 (.38) #→ 其中 B{"()=∪l(o),o))10,2)(1.3.9) 令 A(a)=(1:x(t,a)+∞,t<()(1310) BCo)m(t: x(t, oo) A(u)=∪Lx(),o?(m) B(")(u)=∪[a()(),B"(o)) (13.13) 于是引理13]易知
A(o)UB(u)=4(n)(o)UB)(o)=[0,a(a))(1,3.14) (1.3.15) B(n)(o)=B(+() (1.3.16) U4(u) 1.3.17) B(o B() (1.318) 因此,如果令 a)∩L0,) (1319) B2(o)=B()∩[0,t) (1320) A)(0)=()∩{0,t) (1321) 则由(1.3.9),(1.313)-(1318)得 B(n(o)∩[0,t) (1.322 A()∪B()=A(u)UB{m(u)=[0,t)(1.3.23) f1n)(u)A+) (1324) B;(m)=Bm+() (1.3.25 A(u)=∪4"(ω) (1.3.26) B O B1m)(如) (1327) u(Bp())≤t<+0 (1.328) (B、(0)≤以(B()) (1329) 以及(13.27)得 limt(Bp())=(B2(o))=0 (1.3.30) 于是引理得证 引理133.对任一∈9和t<(o)我们有 (1.3.31) 证,由引理1,3.2知
lim g(aco) 于是由t0,使 t0,使 ≥N)(1.340) 于是由性质(D)和引理133立得我们的定理 514.关于X(∞0)(n≥1)的进一步性质 没X()={x(t如),1t)(a≤t,i∈EU{+∞})的集合所产生 的在空间,=(0>t)中的矿代数。于是有 ≤1,A∈N→∩2∈N (141) 关于不依赖于将来的随机变量,我们将采用的是[6]中的定义,即 定义14.1.函数8(c)(c∈2)叫做关于过程 XO