无穷级数 从18世纪以来,无穷级数就被认为是微积分的 个不可缺少的部分,是高等数学的重要内容,同 时也是有力的数学工具,在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用,在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数—幂级数和三角级数,主要围绕三个问 题展开讨论:①级数的收敛性判定问题,②把已知 函数表示成级数问题,③级数求和问题
无 穷 级 数 从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题
重点 级数的敛散性,常数项级数审敛法,幂级数的收敛 域,函数的幂级数展开式,函数的 Fourier展开式; 难点 常数项级数审敛法,函数展开成幂级数的直接法 和间接法, Fourier展开,级数求和; 基本要 ①掌握级数敛散性概念和性质 ②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法 ③掌握交错级数的 Leibniz审敛法
重点 级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛 域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式； 难点 常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法 和间接法， Fourier 展开，级数求和； 基本要求 ①掌握级数敛散性概念和性质 ②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法 ③掌握交错级数的Leibniz审敛法
④掌握绝对收敛和条件收敛概念 ⑤掌握幂级数及主要性质,会求收敛半径和收敛 区间,会求简单的幂级数的和函数 ⑥熟记五个基本初等函数的 Taylor级数展开式及 其收敛半径 ⑦掌握 Fourier级数概念,会熟练地求出各种形 式的 Fourier系数 ⑧掌握奇、偶函数的 Fourier级数的特点及如何 将函数展开成正弦级数或余弦级数
④掌握绝对收敛和条件收敛概念 ⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛 区间，会求简单的幂级数的和函数 ⑥熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及 其收敛半径 ⑦掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形 式的Fourier 系数 ⑧掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何 将函数展开成正弦级数或余弦级数
、问题的提出 1.计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积a1+a2 正3×2形的面积am1+m2+…+mn 即A≈a1+a2+…+ 133 3 3 十∴+ 3101001000 10
一、问题的提出 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 n 32 n A a + a ++ a 即 1 2 = + + ++ n + 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 2. 1 a a1 + a2 a1 + a2 ++ an R
二、级数的概念 级数的定义: 般项 ∑ n=L1+l2+u3+…+ln+ (常数项无穷级数 级数的部分和 1+l2+…+ ∑ 部分和数列 s1=m1,s2=1+a2,S3=W+l2+l3,…, Sn=1+u2+…+un
二、级数的概念 1. 级数的定义: = + + ++ + = n n un u1 u2 u3 u 1 一般项 (常数项)无穷级数 级数的部分和 = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2 部分和数列 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 + u2 + u3 sn = u1 + u2 ++ un ,
2.级数的收敛与发散: 当n无限增大时,如果级数∑un的部分和 数列S,有极限S,即lms,=s则称无穷级数 n→0 ∑n收敛,这时极限叫做级数∑n的和并 n=1 n 写成S=L1+u2+…+l2+ 如果s没有极限,则称无穷级数∑un发散 n=1
2. 级数的收敛与发散: 当n无限增大时,如果级数 n=1 un 的部分和 数 列 n s 有极限s, 即 s s n n = → lim 则称无穷级数 n=1 un 收 敛,这时极限s叫做级数 n=1 un 的 和.并 写 成s = u1 + u2 ++ u3 + 如果 n s 没有极限,则称无穷级数 n=1 un 发散
即常数项级数收敛(发散)兮 lim s存在(不存在) n→0 余项m=S-5=m1+n2+…=∑um 甲sn≈S误差为rn(imrn=0 n→0 无穷级数收敛性举例:Koch雪花. 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花
即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 余项 n n r = s − s = un+1 + un+2 + = = + i 1 un i 即 s s n 误差为 n r (lim = 0) → n n r 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程 设三角形 周长为P=3 面积为413 第一次分叉: 周长为P2=P, 面积为A2=A1+3·0·A1;依次类推
观察雪花分形过程 ; 4 3 3, 1 1 = = A P 面积为 周长为 设三角形 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P = + = 面积为 周长为 依次类推
第n次分叉: 周长为 〃1Pn=1,2 面积为 An=An-1+3{4[(0"A1 9 A1+3·。A1+3.4 A1+…+3.4 9 A1+r1,1,4 +(m)2+…+()”2} 33939 39 2,3
第 n 次分叉： 周长为 ) 1,2, 3 4 ( 1 1 = = − P P n n n 面积为 ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n− n− = + + ++ ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A n = 2,3,
于是有 limp=oo n→0 1 lm4=A(+,4)=4(+7/=23 5 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界
于是有 = → n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim 1 (1 − = + → An A n . 5 2 3 ) 5 3 = A1 (1+ = 雪花的面积存在极限（收敛）． 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．