2!:小,”4,,::+组:?,唱, 目 录 引亩… 第一章特征与GA和………………………19 §1.特征 …19 52.Gau和……………… 22 第二章特征和估计与大筛法 …32 51.最简单的特征和估计…………………………32 §2.经典的特征和均值估计…… …34 §3.大筛法……………… 42 §4.新的特征和均值估计…………………49 第三章函数与L函数的中值公式 51.一些引理……………………… 55 52.占函数的四次中值公式………… 53.L函数的四次中值公式……… §4.L函数的二次中值公式…… 第四章零点分布(一) …74 §1.函数与L函数的零点密度估计… 52,G函数零点密度估计的改进……………982 第五章线性素变数三角和估计………………………91 §L. BMHorpaAOB方法 §2.零点密度估计方法… 103 §3.复变积分法 ……169 §4.对小q的线性素变数三角和估计 ……I15 第六章三赛数定理…… ………119 1. Goldbach问题中的圆法………………119 §2.非实效方法……………………………………122 §3.实效方法… 4.奇数表为三个几乎相等的奇素数之和……………133
"N:1 55.N户+P2十………………136 第七章 SELBERG筛法……………………… §I.筛函数 非,,着,,dd 148 §2.最简单的 Selberg上界筛法……………… 53.函数G(,z)和G1(2) 159 §4.筛函数估计的两个基本定理…………………………170 55.函数F(a)和f(4)………………………………175 §6. Jurkat-Richert定理……………………183 第八章算术数列中素数分布的均位定理 51. Bombieri-BHHorpaAaB定理………………………………… 206 §2.一炎新的均值定理………………………………………209 第九章陈景润定理 ……225 §1.命题{L,2}…………………………………………225 52.D(N)上界估计的改进… 第士章零点分布(二)…………………………………253 §1.L函数的若干引理…………………………………253 §2.Turn方法 …………………257 53.L函数非零区域的扩展……… 262 54.L函数在直线a=1附近的零点密度估计………………273 第+一章 Goldbach数(一) §1.E(x)的初步估计… 279 52.B(x)的进一步估计……………… ……………287 §3.小区间上的 Goldbach数……………………306 :6:e: 第十二章 Goldbach数(二)…………………313 §1.一些引理 …3【4 52.定理的证明……………… 320 参考文献 ……………………324
1742,年,德国数学家 Christian Goldbach(1690-1764)在和 他的好朋友、大数学家 Leonhard euler(1707-1783)的几次通信 中,提出了关于正整数和素数之间关系的两个推测用现在确切的 话来说,就是: (A)每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和; (B)每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和 这就是著名的 Goldbach猜想。我们把猜想(A)称为“关于偶数 的 Goldbach猜想”把猜想(B称为“关于奇数的 Goldbach猜想” 由于 2n+1=2(n-1)+3, 所以,从猜想(A)的正确性就立即推出猜想(B亦是正确的. Euler 虽然没有能够证明这两个猜想,但是对它们的正确性是深信不 的.1742年6月30日,在给 Goldbach的一封信中他写,:我认 为这是一个肯定的定理,尽管我还不能证明出来 Goldbach猜想提出到今天巳经有237年了,可是至今还不能 最后地肯定它们的真伪。人们积累了许多宝贵的数值资料,都表 明这两个猜想是合理的。这种合理性以及猜想本身所具有的极其 简单、明确的形式,使人们和 Euler一样,也不由得不相信它们 是正确的.因而,二百多年来这两个猜想一直吸引了许许多多数 学工作者和数学爱好者特别是不少著名数学家的注意和兴趣,并 为此作出了艰巨的努力.但是,直至本世纪,对这两个猜想的研究 才取得了一系列引人瞩目的重大进展。迄今得到的最好结果是, (1)1937年,苏联数学家H.M. BHHorpaIoB'3证明了:每一个 1)例如, Shen Mok Kong验证了猜想(A)对于所有不超过33x10°的偶数都是 正确的
充分大的奇数都是三个奇素数之和:(2)1966年,我国数学家陈景 润证明了:每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不 超过两个素数的乘积之和.这是两个十分杰出的成就. BHHorpa IoB的结果基本上证明了猜想(B)是正确的所以,现在说到 Goldbach猜想时,总是只指猜想(A),即关于偶数的 Goldbach猜 想 下面我们简要地谈一谈研究 Goldbach猜想的历史 从提出 Goldbach猜想到十九世纪结束这一百六十年中,虽然 许多数学家对它进行了研究,但并没有得到任何实质性的结果和 提出有效的研究方法。这些研究大多是对猜想进行数值的验证, 提出一些简单的关系式或一些新的推测(见L.E. Dickson: Histo- ry of the Thcory of Numbers,l,42l-425).总之数学家们还想 不出如何着手来对这两个猜想进行哪怕是有条件的极初步的有意 义的探讨。但我们也应该指出:古老的筛法,以及在此期间内 Euler,Gaus, Dirichlet, Riemann, Hadamard等在数论和函数论方 面所取得的辉煌成就,为二十世纪的数学家们对猜想的研究提供 了强有力的工具和奠定了不可缺少的坚实基础 1900年,在巴黎召开的第二届国际数学会上,德国数学家D Hilbert在其展望二十世纪数学发展前景的著名演讲中,提出了二 十三个他认为是最重要的没有解决的数学问题,作为今后数学研 究的主要方向并期待在这新的一个世纪里数学家们能够解决这 些难题。 Goldbach猜想就是 Hilbert所提出的第八冋题的一部分 但是,在此以后的一段时间里,对 Goldbach猜想的研究并未取得 什么进展。1912年,德国数学家E. Landa在英国剑桥召开的第 五届国际数学会上十分悲观地说:即使要证明下面较弱的命题 (C),也是当代数学家所力不能及的: I)后来,Eopo3nK具体计算出,当奇数N≥""时,就一定可以表为三 个奇素数之和,c”是一个比10的100万次方还要大的数(目前知道的最大 素数是 Mersenne素数21-1,这只是一个6533位数).而对于如此巨大的 数字,我们根本没有可能来一一验证对所有小于它的每一个奇数来说,猜想(B) 是否一定成立,所以, BHHorpaAoB是基本上解决了猜想(B)
到计￥到,时好学要解 (C)存在一个正整数k,使每一个≥2的整数都是不超过 个素数之和 192l年,英国数学家G.H.Hrdy在哥本哈根数学会作的 次讲演中认为: Goldbach猜想可能是没有解决的数学问题中的 最困难的一个 就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时侯 他们没有料到,或者没有意识到对 Goldbach猜想的研究正在开始 从几个不同方向取得了为以后证明是重大的突破,这就是:1920 年前后,英国数学家 hardy, Littlewood和印度数学家 Ramanujan 所提出的“圆法”1:;1920年前后,挪威数学家Bun1所提出 的“筛法”;以及1930年前后,苏联数学家Ⅲ IHHPeJbMaH0所提出 的“密率”在不到50年的时间里,沿着这几个方向对 Goldbach 猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果,同时也有力地推进了数 论和其它一些数学分支的发展 (一)圆法 首先我们来谈谈圆法.从1920年开始,Hrdy和 ittlewood 以总标题为《 Some problems of“ Partitio numerorum”》发表了七篇 论文,在这些文章中,他们系统地开创与发展了堆垒素数论中的 一个崭新的分析方法.其中1923年发表的第Ⅲ】V二篇文章就 是专门讨论 Goldbach猜想的.这个新方法的思想在1918年 Hardy和 Ramanujan的文章中已经出现过.后来人们就称这个 新方法为 hardy- Littlewood. Ramanujan圆法.对于 Goldbach猜患 来说,圆法的思想是这样的:设m为整数,由于积分 d e(mada= lo, m* x0, 1) 其中c(x)“c2n,所以方程 p1+P2,P,2=3 的解数 3
D(N) Dena)de 方程 N〓p十P十P3,自,加P≥3 的解数 T(N)= s(a, N)e(Na)da, 其中 s(aN)=∑c(ap) 这样猜想(A)就是要证明:对于偶数N≥6有 D(N)>0 猜想(B)就是要证明:对于奇数N≥9有 T(N)>0 因此, Goldbach猜想就被归结为讨论关系式(3)及(5)中的积分 了.显然,为此就需要研究由(6)所确定的以素数为变数的三角 和。他们猜测三角和(6)有如下的性质:当a和分母“较小”的既 约分数“较近”时,S(a,N)就取“较大”的值;而当a和分母“较大” 的既约分数“接近”时,S(a,N)就取“较小”的值(这里的“较小”、 较大”、“较近”的确切含义将在下面作进一步的说明).进而他们 认为,关系式(3)及(5)中积分的主要部分是在以分母“较小”的 既约分数为中心的一些“小区间”(即那些和它距离“较近”的点组 成的区间)上,而在其余部分上的积分可作为次要部分而忽略.这 就是圆法的主要思想为了实现这一方法,首先就要把积分区间 分为上述的二部分,其次把主要部分上的积分计算出来最后要证 明在次要部分上的积分相对于前者来说可以忽略不计。下面我们 更具体地来加以说明 设Qz为二个正数, 1≤9≤t≤N 考虑 Farcy数列 (a,q)=1,0≤a≤q,9≤Q (10)
并设 e(, a) 十 以及 E1=∪∪E(q,a) 1<￠≤Q而《<q (s, 4) E E (13) 容易证明满足条件 2Q2< (14) 时,所有的小区间E(q,a)是二二不相交的(第六章§1).我们称 E1为基本区间( Major arcs),E2为余区间( Minor arcs).如果一 个既约分数的分母不超过Q,我们就说它的分母是“较小”的,反 之就说是“较大”的,如果两个点之间的距离不超过r-,我们就 说是“较近”的.显然当a∈E1时,它就和一分母“较小”的既约分 数“接近”可以证明(见第六章§1引理2),当a∈E2时,它一定 和一分母“较大”的既约分数“接近”。这样,利用Pars数列就把积 分区间 1 分成了圆法所要求的二部分E1和E23 因而,我们有 D(N) S2(a, Ne(Na)da= D,(N)+D2(N),(15) 其中 D(N)=s(a, N)e(-Na)da,i-1,2; 以及 1)有过亦取E(q,)=1|2- 2)与\是集合的和与差的符号.由于被积函数的周期为1,为方便起见我们把 积分区间01改为[1-# 3)这种方法通常称为Faey分都
T(N) s(a,N)(-Na)da=7(N)+T2(N),(16) 其中 T ( N)=S"(a,N)e(-Na)da 圆法就是要计算出D2(N)及T1(N),并证明它们分别为D(N)及 T(N)的主要项,而D2(N)及T2(N)分别可作为次要项而忽略不 计 Hardy- Littlewood41首先证明了一个重要的假设性结果:如 果存在一个正数02 Hardy-Littlewood(4, v还证明了一个假设性结果:如果广义 Riemann猜测成立,那末几乎所有的偶数都能表为二个奇素数之 和,更精确的说若以E(x)表示不超过x且不能表为二个奇素数 之和的偶数个数他们在GRH下证明了 E(x) (21) 其中e为一任意小的正数 可以看出,圆法如果成功的话,是十分强有力的.因为它不但
…:"∴ 证明了猜想的正确性,而且进一步得到了表为奇素数之和的表 法个数的渐近公式,这是至今别的方法都不可能做到的.虽然 Hardy- Littiewood没有证明任何无条件的结果,但是他们所创造的 园法及其初步探索是对研究 Goldbach猜想及解析数论的至为重 要的贡献,为人们指出了一个十分有成功希望的研究方向 1937年, T. Esterman(2证明:每一个充分大的奇数一定可 以表为两个奇素数及一个不超过两个素数的乘积之和 1937年,利用 Hardy-Littlewood圆法,H,M, BHhorpaI终 于以其独创的三角和估计方法无条件地证明了:每一个充分大的 奇数都是三个奇素数之和,且有渐近公式(17)成立。这就基本上 解决了猜想(B),是一个重大的贡献。通常把这一结果称为Gold- bach-BHHorpazo定理简称三素数定理.Page在1935年(见第十 章引理5)及 Siegel在1936年(见第十章引理9)证明了关于L 函数例外零点的两个十分重要的结果,由此可推出相应的算术级 数中紊数分布的重要定理(见第六章§2引理2及53引理7) BHHorpaRoB首先利用这两个结果之一(用任意一个结果都可以) 证明了:对适当选取的Q及r,有 r(N)~1e3N) (22) 见第六章52定理1).而他的主要贡献是在于利用他自己创造 的素变数三角和估计方法,证明了Hard- ittlewood关于三角和 sa,N)性质的猜测。简单地说:他证明了:对适当选取的Q和 x,当a∈E2时有 s(a, N)< 23) log n (见第五章§1).由此容易推出 T2(N) N)|da《 (24) g 这表明相对于T1(N)来说,T2(N)是可以忽略的次要项.这样, 由(16),(22),(24)就证明了三素数定理(见第六章§2,当用Page 的结果时情况要复杂一些,见第六章§3)
M BHHorpaIoBL3k,1创造和发展了一整套估计三角和的方 法,利用他的强有力的方法使解析数论的许多若名问题得到了重 要的成果.他对数论的发展作出了重要贡献, 1938年,华罗庚仰证明了更一般的结果:对任意给定的整数 k,每一个充分大的奇数都可表为p1+P+其中内,Pp3为 奇素数(见第六章§5定理4) 在 BHrorpano的证明中,有一点稍为不调和的地方.他创 造的线性素变数三角和估计方法,从本质上来说是一种筛法。这 样一来,处理基本区间E1上的积分T1(N)用的是分析方法,而处 理余区间E2上的积分T2(N)用的却是初等的非分析方法.为 了消除这种不一致性,就需要用分析方法来得到线性素变数三角 和S(a3N)的估计式(23).1945年,O.B.J提 出了所谓L函数零点密度估计方法,他利用这一方法同样证明了 估计式(23),从而对三素数定理给出了一个有价值的新的完全分 析的证明.J班Hκ的方法在解析数论的许多问题中都有重要应 用.他原来的证明是十分复杂的,后来一些数学家121421进 步简化了JHH的证明(见第四章§1,第五章§2),但也仍然 是利用零点密度估计方法并要用到比较复杂的分析结果.1975 年, Vaughan不用L函数零点密度估计方法,给出了估计式 (23)一个分析证明,但他仍需用到复杂的L函数的四次中值公式 1977年,潘承彪利用L函数的初等性质及简单的复变积分法 对估计式(23)给出了一个新的简单的分析证明(第五章53) 些作者还讨论了有限制条件的三素数定理。例如证明了 充分大的奇数可以表为三个几乎相等的素数之和1:1.吴 方及一些数学工作者还讨论了其它形式的推广 由上所述,圆法对于猜想(B)的研究是极为成功的.而用它 3.2:下::学3 来研究猜想(A)却收效甚微,得不到任何重要的结果.在BO raiOn证明了三素数定理后不久,利用他的思想,一些数学 1)Rif R C. Vaughan(C. R. Acad. Sc. Pa: is, ser. A, 285(1977),981-983) 又给出了一个漂亮的初等证明