目 录 第一章多元样条函数引论 ·鲁卓 §1.多元样条函数的基本框架 新音看中专非中●中· 2 52.广义截断多项式与多元样条函数一般表达式 53.多元样条函数插值… 使看甲··专·中·多·音·指自。日子 54.异度样条与带权样条… 16 55.多元有理样条函数简介 19 S6.m维样条函数 第二章多元样条函数空间 51.贯穿剖分上的多元样条函数空间… 52.矩形剖分与简单贯穿剖分上的样条函数空间………40 53.1-型三角剖分上的样条函数空间… §4.2-型三角剖分上的样条函数空间 §5.某些非均匀三角剖分上的样条函数空间 …88 §6.均匀1-型与2-型三角曾分下带有边界条件的样条 函数空间 …-100 §7,非均匀2-型三角剖分下的带有边界条件的样条函 数空间 ……116 58.关于三甪剖分下S:(△)空间的维数 120 第三章研究多元样条的其它方法… 140 §1.B样条法… ·140 §2.B网方法……… §3.构造二元样条的积分方法…… 170 第四章高维样条 §L.协调插值法……… 186 §2.高维样条空间的维数 …………209
53.高维样条中一点维数…………222 §4.求维数的参数引人技巧 …………236 55.二维有洞区域的剖分及三维2型剖分上的多元样条 ……………………255 第五章有理样桌函数 271 §1.任意凸多边形上的C有理函数 …273 52.三角剖分上的C插值有理样条函数 283 §3.三角剖分上的C2插值有理样条函数…………293 §4.三角剖分下C插值有理样条函数… 30l 55.正则四边形剖分上的插值有理样条………………309 第六章分片代数曲线曲面………………………………327 51,代数簇 …………………328 §2.代数簇的光滑拼接条件 334 §3.分片代数簇 342 §4.代数曲线、曲面的逼近…… 第七章多元样条在有限元及CAGD中的应用…… 377 51.多元样条光滑插值格式…………………379 52.参数曲面……………………418 53.散乱数据的曲面拟合………………………………444 §4.高维HCT和PS格式 456 §5有限元空间中的谱基…… ……………………470 参考文献
第一章多元样条函数引论 众所周知,样条函数无论在理论上还是在应用中都具有十分 重要的意义。鉴于客观事物的多样性和复杂性,开展有关多元样 条函数方面的理论研究无疑是极为重要的.60年代至70年代初, G. Birkhoff,H.L. Garabedian和 Carl de boor等研究并建 立了一系列关于 Cartesian乘积型的多元样条理论, Cartesian 乘积型多元祥条虽然有一定的应用价值,但有很大的局限性,且在 本质上可以看作是一元样条函数的简单推广 1975年,本书著者采用函数论与代数几何的方法,建立了任 意剖分下多元样条函数的基本理论框架,并提出了所谓的光滑余 因子协调法。从这种基本观点出发,多元样条函数的任何问题均 可转化为与之等价的代数问题来研究 设D为二维 Euclid空间R中的给定区域。以Pk记二元 k次实系数代数多项式集合 e;-{-∑∑q;xyl为实数 个二元多项式p∈P。称为是不可约多项式,如果除常数和该多 项自身外没有其它多项式可整除它(在复域中).代数曲线 r:(x,y)-0,以x2y)∈P。 称为是不可约代数曲线,如果(xy)是不可约多项式。显然直线 是不可约代数曲线 今用有限条不可约代数曲线对区域D进行剖分△,于是D被 剖分为有限个子区域D,D2,…,Dx它们被称为D的胞腔。形 成每个胞腔边界的线段称为网线,网线的交点称为网点或质点,若 两个厌点为同一网线的两端点,则称该两点是相邻网点 对区域D施行剖分△以后,所有以某一网点V为顶点的跑腔
的并集称为网点V的关联区城或星形区域,记为S(V) 多元样杂函数空间定义为 s(△):-{∈CD)|Slp;∈Pk,i=1,…,N} 事实上,∈S(△)为一个在D上具有阶连续偏导数的分片k 次多项式函数 §L.多元样条函数的基本框架 为建立多元样条函数的基本理论框架,我们需要如下的引理。 引理11设p(x,y)∈Pk,若一次多项式 以(xy)一ax十by十c,a2十b0 的某#个零点(xy;)(i-1,…,n),#≥十1,也是?(xy) 的零点,则p(x,y)必可被以(xy)所整除。即存在多项式q(x y)∈P-1,使得 p(x,y)一(x,y)·q(x,y) 证明因为a与b不同时为0,不妨设b≠0.将px,y)按 y的降幂次序整理为 p(x,y)-a(x)y++a;(x)y1+…十a-n(*)y+a(x), 其中a(x),i-0,…,k为x的次多项式,用一次多项式 I(x,y)除xy),得到 P(r, y-l(r, y) 十 其中q(x,y)∈P,余式r(x)为x的次数不超过k的多项式 按引理所给的条件,可知 (x)〓0,-1,,m≥枣+1 (13) 由于b≠0,所以x≠x(≠)。于是(13)表明r(x)有多 于其次数的互异零点,从而r(x)≡0.这就证明了(11)式成 引理12设x,y)∈P,xy)∈P,且x,y)是不 可约代数多项式,若p(x,y)与q(x,y)有多于如m个公共零 点,则p(x,y)可被q(x,y)所整除。即存在r(x,y)∈P-使
得p(x,y)〓q(xy)·r(x,y) 按代数几何中的 Bezout定理,P(x,y)与q(x,y)只要有 多于k·m个公共零点,则它们必有公共因子存在。但qx,y) 不可约,故qxy)必为P(x,y)的因子 定理13设z一纸(x,y)在两相邻跑腔D;和D;上的表 达式分别为 p(x,y)和 其中P(xy),P(x,y)∈P为使(x,y)∈C“D,UD),必须且 只须存在多项式9:(xy)∈P-+1,使得 P(x,y)-P(x,y)=[l1(x,y)]“·;(x,y),(14 其中D;与D,的公共内网线为 f:l;(x,y)-0. 且不可约代数多项式l;(x,y)∈P 证明设"为指定的正整数,0≤≤k·d一1.按所给 的条件,(x,y)于r上处处连续。所以n(x,y)-P(x,y) P(x,y)于r#上处处为0.由引理L2,存在多项式4(x,y)∈ Pk-,使得 n(x,y)〓P(x,y)一p(x,y)-l4(xy)·(xy).(16) 再根据n(x2y)于r;上一阶偏导数为零的性质,可知 0q1 (x,y)+q1(x,y) ar Or )!r aq Li (r, y)t q,(r, y) oI 0 ay dy /ir 由l;(x,y)的不可约性,从(17)可推得(xy)于r上处处 为0,再次利用引理12,知存在(x,y)∈Px-4,使得 q(x,y)一l;(x,y)·(x,y) (18) 于是 n(x,y)〓p(x,y)-px,y)[l;x,y)]2·( (19 依此类推根据s(xy)于D,UD;上的2阶、3阶、…、阶 偏导数的连续性,最后得到
n(x,y)=P(x,y)一P(x,y)一[l1x,y)]H·%(x,y), (110 其中qA(x,y)∈Pk-(+1 由定理13中(14)式所定义的多项式因子q;x,y)称为内 线.Iil(x,y)〓0上的(从D;到D,的)光滑余因子,说 明内网线F上的光滑余因子存在,恒指形如(14)的等式成立 作为定理13的一个直接推论,我们有 推论1.4设剖分△的内网线r1,…,r的次数分别为 n,…,η为使S#(△)中存在非蜕化(即真正“分片”)的函数, k与"必须满足 k≥(p+1)·minm2 (111) 定理13表明多元样条函数s(x,y)∈S(△)具有一种所谓 半解析延拓的性质。即两相邻胞腔上(x,y)的表达式之间只差 个形如(14)式右端所示的修正项.然而定理1.3尚不能完全 表征多元样条函数的内在性质。为给出多元样条函数的完整的理 论框架,我们还须作进一步的探讨 记两相邻胞腔D;与D;的公共内网线为T±l;x,y)一 0.虽然F计的方程既可写为l∴x,y)0,又可写为-l;(x, y)=0,但为讨论方便计,在整个讨论过程中我们将取定它的一 种形式。并且我们规定 i-Tiii Iii cx, y )i (r, y) 1.12) 由(14),T;上的光滑余因子q;(x,y),与F上的光滑 余因子9;(x,y)满足关系式 q(x,y)≡-9;(x,y) (1.13) 设A为任一给定的内W点。今按下列顺序将过A的所有内网 线{r}所涉及的i和j进行调整:使当一动点沿以A为心的 逆时针方向越过F;时,恰好是从D;跨入D 设A为一内网点,定义A点处的“协调条件”( Conformality Condition)为
EA[l1(x,y)]+·9(x,y)≡0, 其中∑4表示对一切以内网点A为一端的内啊线所求的和,而 g;(x,y)为r;上的光滑余因子 设△的所有内题点为A1,∴,AM,则“整体协调条件 Global Conformality Condition)*q ∑A[l1(x,y)]·f;x,y)≡0,y-1,,M,(1.15 其中相应于内网点A,的协调条件之qxy)满足(114)中所 作的规定 下述定理建立了多元样条的基本理论框架: 定理15对给定的剖分△,多元样条函数xy∈S△) 存在,必须且只须(x,y)在每条内网线上均有一光滑余因子存 在,并且满足由(115)所示的整体协调条件, 事实上,各内阏线上光滑余因子的存在性等价于该分片多项 式的C光滑连续性。各内两点处的协调条件被满足,即整体协 调条件被满足,又等价于该分片多项式函数在整个区域上的单值 性。所以定理15成立。有关细节请读者自行给出(参考文献 [11) 若样条函数5(x,y)∈S△)于某一点v的关联区域S(V) 上处处为同一次多项式,则称(x,y)于St(V)处是蜕化的如 果s(x2y)在所有胞腔上均为同一个次多项式,则称它是整体 蜕化的。根据定理15,xy)于St(V)是蜕化的,意指相应于 网点V的协调条件(4)只有零解;而整体蜕化则意味着整体协 调条件(115)只有零解 鉴于人们的目的是利用多元样条函数来研究一些理论或实际 问题,因而感兴趣的是如何适当选择剖分△,次数,以及光滑 度p使得非蜕化的多元样条函数存在。定理15表明,多元样条 函数同一元样条函数之间存在着质的差别、区域D,剖分△,分 片多项式的次数k,以及光滑度阵之间的微妙关系,即整体协调 条件(115)影响和最终决定了多元样条函数,事实上,定理L5 指出,多元样条函数在一定意义上等价于由(115)所对应的线性 5
代数问题:关于光滑余因子中各系数间的一个齐次线性方程组问 题。而这一类齐次线性方程组的解的存在性及其性质,自然就成 为多元样条函数研究的关键所在 若区域D的边界D由一些不可约代数曲线所组成,今以 这些不可约代数曲线作为对整个乎面R2的一些剖分内网线,它 们连同原来对D的剖分△一起,构成了对R2的一个剖分,称之 为整体剖分.此时R八D也是△的一个胞腔 作为定理15的一个直接推论,我们有 推论16对整体剖分区,存在5(x,y)∈),必须且只 须孔(xy)于每条线上均有光滑余因子存在,并且形如(15) 的整体协调条件于一切閃点处均被满足 不难看出,协调条件保证了x,y)在△和区上的单值性 如果区域D不是单连通域,例如D是一个具有h个“洞”的复连通 域,则定理5和推论6仍然成立,只须再添加一组附加的“洞协调 条件” EB,【l1(x,y)}m+·q(x,y)≡0,r-1,……,h(116) 就可以了,其中Σ,表对过第r个洞的一切现线求和,而(116) 中其它符号的意义同(114)、(115) R2上任一条直线「:(x,y)≡ax十b十c=0显然是一 条不可约代数曲线。因此对于一切以直线作为网线的剖分来说, 上述的所有结论仍然是成立的。例如 定理17设x5(x,y)于两相邻胞腔D,与D;上的表 达式分别为k次多项式z〓P(x,y)与zP(x,y),为使 (x,y)∈c“D,UD),必须且只须存在多项式4;(xy)∈Pk-, 使得 P2(x,y)-(x,y)=[l1xy)]·q;(xy),(117) 其中ri;l;(xy)≡叫;十b;y十c;-0为D,与D;的公共 内阏线 定理18对给定直线剖分△,样条函数(xy)∈△), 必须且只须s(x,y)于每一条内网线上均有一光滑余因子存在
并且满足整体协调条件 ΣA,[l(x,y)]+·g;(xy)≡0 (118 其中A取遍一切内点l(x,y)一ax十by+c;一0为过A 的内线,(x,y)为Pk-n-1中与之相应的光滑余因子 文献[中给出的命题表明,若于D的边界∂D上有约束条 件,要想对任意三角剖分得到属于C'的二元样条函数,分片多项 式的次数一般不低于5,除非对三角剖分加以特殊选择。 若区域D的剖分△是这样形成的:其所有阙线为一些贯穿区 域D的直线切割而成,则称这样的剖分△为“贯穿剖分”田鉴于 此类贯穿剖分的特殊性,可证得 定理19若剖分△是贯穿剖分,则非蜕化的多元样条函数 5(x,y)∈隕(△),≥+1恒存在 设rxa;+b;y+c;-0为任一条形成剖分△的直线。定 义 r;〓(x,y)∈D|a;x+b;y+c;0 对于剖分△中任一由r;派生的网线段r∈r,如果规定同一 个非零多项式乐(x,y)∈Pk作为r;的从r;到r的光 滑余因子,则不难看出相应的整体协调条件必然被满足。故定理 19成立,特别地,我们有 推论1100若△为任一矩形剖分,则非蜕化的多元样条函 数(x,y)∈S△),≥p+1恒存在 设△为给定的剖分.对任意事先指定的非负整数p,是否存 在适当的正整数k,使得非蜕化的s(x,y)∈S△)存在?答案 是肯定的。即有 定理111任意给定非负整数μ,无论与区域D进行怎样 的剖分△,总可以找到适当的正整数攵,使得非蜕化的x(x,y)∈ SΔ)存在 事实上,对任一剖分△,内两点A处的协调条件形如 ∑A[l(x,y .19
其中F:4(x,y)=0为过A的内啊线,9(x,y)∈P为与之 相应的光滑余因子 由(19)决定的是一个关于q(xy)各系数的齐次饯性方程 组。若以N记过A点的所有内网线的条数(自然N≥2),则该齐 次线性方程组未知数的个数为 M=1N·(k-p)(一p+1) 因此,只要适当地大,M就可大于该方程组中方程个数 k十1)(十2)/2. 从而该齐次线性方程组必有非零解存在 从理论和应用两个角度上看,分片多项式的次数越高,则 s(x,y)∈SX(Δ)的参数就越多,并且孓(xy)的凸凹现象就越严 重,而这些正是人们所不期望的 所以在多元样条函数的理论和应用问题中的一个重要间题 是:对于给定的剖分△和指定的光滑度,如何选取尽可能低 的次数k,使得非蜕化的式(x,y)∈5(△)得以存在?这个问题 是一个很复杂的问题。虽然前面的推论14从一个侧面部分地回 答了此问题,但该问题远非如此简单。事实上它还与剖分△本身 的内在性质密切相关 §2.广义截断多项式与多元样条函数 般表达式2 在51定理13中已指出了多元样条函数的逐片半解析延拓 性质,由此人们不难建立多元样条函数的一般表达式, 设区域D被剖分△分割为如下有限个胞腔 1;2 任意取定其中一个胞腔,例如D作为“源胞腔(相当于一条河流 的“源头”)从源胞整D1出发画一流向图乙,使之满足 1°c流遍所有胞腔D1,…,Dy各一次;