目 录 第一章随机过程的一般概念 §1.1強机过程的定义……………… §1.2随机过程的可分性……… 117 §1.3随机过程的可测性…………………………………………12 §1.4条件概率与条件数学期望………………… §1.5马尔科夫性……………… ……21 §1.6转移概率…………………………………………………25 第二章马尔科夫链的解析理论………… §2.1可测转移矩阵的一般性质………………… 32 §2.2标准转移矩阵的可微性………… 46 §2.3向前与向后微分方程组…… 64 第三章样本函数的性质……………………………77 §3.1常值集与常值区间…………… 77 §3.2右下半连续性;典范链………………………………84 §3.3强马尔科夫性…… 弟四章马尔科夫链中的几个问题…… §4.10-1律 ………………104 42常返性与过份函数…………… §4,3积分型随机泛函的分布……… 121 §4.4嵌入问题 133 第五章生灭过程的基本理论 …………142 §5.1数字特征的概率意义……………………………………142 5.2向上的积分型随机泛函 …151 §5.3最初到达时间与逗留时间……… 167 5.4向下的积分型随机泛函……… 76 §5.5几类 KoJMOI'OpOB方程的解与平稳分布 §5.6生灭过程的若干应用……… 199
第六章生灭过程的构造理论 …………205 56.1Dob过程的变换…………… 205 §62连续流入不可能的充要条件……………… 214 §63一般Q过程变换为Donb过程………………………………218 56.4S<∞时Q过程的构造……… §6.5特征数列与生灭过程的分类……… 236 §6.6基本定垩… 247 §6.7S=∞时Ω过程的另一种构造……………………………251 §6.8遍历性与0-1律……………………………………………254 附录一时间离散的马尔科夫链的过份函数………………258 §0.1势与过份函数…………………………………… §0.2过分函数的极限定理 268 附录二2-系与-系方法… ……………283 关于各节内容的历史的注 …………286 参考文献…………… 名词索引…… 293 1管●
第一章随机过程的一般概念 §1.1随机过程的定义 (一)概率空间设已给点所成的集9=(m),以及9中 的一些子集A所成的集,如果多具有下列性质就称它是一 个0代数 1)9∈ 2)如d∈,则A=Ω4∈ 3)如A∈的,n=1,2,…,则∪A∈ 定义在σ代数上的集函数P称为概率,如果P满足下列条件 1°对任意A∈所,有P们)≥0, 2°P(9)=1, 3°如An∈,n=1,2,…,AnAn=中(空集),n≠ 则P(U4)=∑P(1 我们称三元的总体(9,,P)为概率空间,并称点为基本 事件,⑨为基本事件空间,中的集A为事件,称PA)为A的 概率 例】设2=(1,2,…n),所是Q中一切子集的集,P(A) 更为A中所含点的个数 例2设9=(0,1,2,…),即一切非负整数的集,分为只 中一切子集的集,P(A)=∑-,其中x>0为某常数 k! 例3设Q=[0,1],即0与1间一切数的集,分为Q中 borel集所成的σ代数,P(4)等于A的 Lebesgue测度 这三个例中的(旦,,P)都是概率空间
有时为了方便,需设概率空间(Q,,P为完仝的.所谓完 全是指:如果P(A)=0,又BCA,则B∈,从而P(B)=0 这就是说,一切概率为0的集A的子集B也是事件,其概率为0 以后无特别声明时,总没此条件满足 (二)随机变数设x()是定义在Q上的实值函数,如果对 任意实数λ,有 (o:x()≤)∈9 则称x(ω)是一随机变数。令 F(4)=P(x≤)λ∈R1=( 其中(x≤λ)表示满足条件x()≤2的点的集,即(x≤4)= (0:x(u)≤x).我们称F()为x(o)的分布函数.显然,F(2) 不下降,右连续.以后无特别声明时我们总设x(o)取士∞为值 的概率为0,因而 lim FCa)=0, lim F(u)=1 → 定义在同一概率空间(,旷,P上的n个随机变数x1(o) ,x()构成一个n维随机向量X(u) X(u)=(x(ω),……,xn(o) (2) 并称n个元(1;……,n)∈Rn(n维实数空间)的函数 F(λ1,……,λ)=P(x(0)≤A1,…xn()≤λ) 为X()的n维分布函数,由(3)可见F(λ1,…,λ)具有下列 性质: a.对每个λ1是不下降的右连续函数 b.imF(λ1,…,λ)=0,(j=1,……,n) limF(λ 如λ<1 贝 F F(1,…,A1-1,;,1+1…·R) 士 1 +1 →15kF+13“5n ∫,=1
+(-1)”F(1,…,2n)≥0 此条件的直观意义当n=2时最明显.一般地,此式右方是 x(o)取值于n维空间Rn中长方体内的概率,故它大于或等于0 此长方体是(λ1,p1]×(λ22]×…×(λn,k],即是由Rn中如 下的点所成的集它的第j个坐标位于(λ1,]之中,=1, 现在可以脱离随机变数来定义分布函数,我们称任…具有性 质a,b,c的n元函数F(1,……,λn)(λ;∈R1,j=1,……·,n)为n 元分布函数.以豸。表n维空间Rn中全体Borl集所成的代 数,则由实变函数论知,F(λ2……,λn)在图,上产生一概率测度 F(4) F(4)=1dF(λ,…,λ),(A∈掷n) 称F(A),(A∈Bn)为由F(1…,λn)所产生的n维分布.特 别,如F(λ1,……,λn)由(3)式产生,则称F(4)为x()的分布 (三)随机过程设T为R1的某子集,例如T=[0,∞)或 T=(0,1,2,…).如果对每个t∈T,有一随机变数x(u)与 它对应我们就称随机变数的集合X(): X(0)={x:(),!∈T} 为一随机过程,或简称过程.有时也记它为{x(t,),t∈T},或 {x,长∈T},或{x(4),;∈T,或Xo),或X 特别,当T=(1,2,…,n)时,X化为#维随机向量.象对 后者定义分布函数一样,也可对随机过程来定义有穷维分布函数 对任意有限多个∈T,j=1,……,n,令 ,·…冖 (1,…,λn)=P(x,≤λ1,…,x:n≤λn) 它是x(),…,x()的分布函数,当力在一切正整数中变动 而;在T中变动时,我们就得到多元分布函数的集合 F=F t;∈T,j=1 并称F为随机过程X的有穷维分布函数族,由(4)可见F满足下
列二条件(相容性条件) A.对(1,…,n)的任排列(嫣1 ),有 F 多,·……4 λn)=F,,…,.( B.如 F ) 现在来研究反面的问题,上面是先给出随机过程X,从而得 到一族相容的有穷维分布函数.现在反过来,假定先给出的是参 数集T及一族满足相容性条件的有穷维分布函数(5),试间是否存 在随机过程,它的有穷维分布函数族恰好与F重合?答案是肯定 的.更精硝些,这就是下面的定理: 定理1设已给参数集T及满足相容性条件的有穷维分布函 数族(5),则必存在概率空间(,2P)及定义于其上的随机过 程X()={x:(),1∈T,使对任意自然数n,任意;∈R1, ∈T ,有 F1…,n(λ1……,λn)=P(x,≤λ1,…,x1≤)(6) 证取=Rr:因而=·),(·)表定义在T上的实 值函数(t),t∈T,=绍n,这里为R中包含一切形如 ((:):λ()≤c)的集的最小σ代数,其中t∈T,c∈R1任意 e.:根据测度论中关于在无穷维空间中产生测度的 KoJMoropoB定理 以及(5)中F满足相容性条件的假定,知F产生唯一一个定义于 r上的概率测度PF满足 P((·):λ(1)≤λ1,…,λ(1n)≤λ) Fx,…,n(2 取P=P,最后,定义 x1C)=λ(),如a=(·) 换句话说;x()是t坐标函数,即x在=1(·)上的值等于 λ(·)在t上的值λ(t).容易看出:(R7,r,P)及由(8)定义的 {x(u),t∈T满足定理的岁求(6).实际上由(8)及(7)得 P(x、(o)≤λ ()≤λn)
P((·):(t1)≤礼1…,1(tn)≤2n) F (四)几个常用的概念 (a)随机过程{x(),t∈T}可以看成为(t3o)的二元函数, 自变量t∈T,如∈⑨.如前所述,当t固定而看成的函数时,得 随机变数x(ω).当t固定而看成r的函数时,得一定义在T 上的函数x:(o),我们称此函数为(对应于基本事件的)样本函 数或轨道 (b)设区={5()是一些随机变数5)的集合,考虑m的 集(:§()≤λ),当点()在2中变动而λ在R1中变动时,得 一个子集系(()≤}.包含这子集系的最小a代数记为 牙{郾},称它为所产生的a代数,因而罗{xt∈T是随机 过程{x:(),t∈T}所产生的σ代数. (c)定义在同一概率空间(Q,,P)上的二随机过程 {x:(),t∈T,{5(),t∈T}称为等价的,如对任一固定的 t∈T,有 P(x:()=点2())=1 由(9)推知,对有穷或可列多个∈T,i=1,2,…,有 (x,(o)=5,( 由此可见:等价的二过程具有相同的有穷维分布函数族 (d)称随机过程{x,(o),t∈T(T为区间)在∈T是随机 连续的,如果 li x (o (l1) 这里Pim表依测度P收斂意义下的极限.如昊在任一∈T都随 机连续,我们就说过程随机连续,把(11)中t→4换为t→+0 (或t→和~0),就得到右(或左)随机连续的定义 (c)以后我们说几乎一切(或者说:以概率1)样本函数具有 某性质A是指:存在,P(0)=1,使对每U∈Ω,样本函数 x(·,o)具有性质A(“·”表T上的流动坐标).例如:几乎一切
样本函数石下半连续(性质A)是说:存在概率为1的集C,当 ∈A时,对任一t∈T,有imx(s,o)=xt,ω).必须把此概 f. t 念和下一概念区别开来:几乎一切样本函数在区定点t右下半连 续,后者只表示 P(o: limr(s, co)=x(, o))=I 正前者则表示更强的结论 P(:limx(s,)=x(t,0),一切t∈T)=1 (f如果构成过程{x1t∈T}的每个随机变数都取值于同 集I(∈R),称I为此过程的状态空间,【中的元i称为一状态. 状态空间一般不是唯一的因为任一含I的集也是状态空间.称I 为最小状态空间,如果它是一状态空间,而且对每个i∈I,存在 t∈T,使P(x2=i)>0.以后无特别声明时,凡说到状态空间都 是指最小的,状态空间有时也叫做相空间以后用E或来表示 (五)以上我们只讨论了取实数为值的过程.如果x2(u) y(a)+i(ω),其巾{y:(o),t∈T及{x:(),t∈T是定义 在同一概率空间上的二实值过程,我们便称{x(),t∈T为复 值随机过程.以后如不特别声明,讨论的都是实值过程 其实随机过程的定义还可如下一般化:设巳给概率空间(2 ,P)及另一可测空间(E团)E=(c)为点c的集而是其 中子集所成的a代数:E与闭合称为可测空间),定义于Q上而 取值于E中的变量x()称为随机变量如果对任一集A,有 (o:x()∈4)∈驴,今设比拾参变量集T,如对任意!∈T,有 如上的随机变量x()与它对应,我们便称{x(),t∈T}为取 值(E,)中的随机过程,特别,当(E,)化为(R1劣 (实数及其中Bore集仝体)时,就得到实值随机过程.当它化为 (RnBn)(猪,为n维空间R。中全体Bore集),就得到n维随 机过程, 随着r与E是离散(即最多只含可数多个元)或连续,可能出 现四和情况
1°T与E皆离散; 2°T离散E连续; 3°T连续E离散; 4°T与E皆连续 当T离散时也称随机过程为随机序列 §12随机过程的可分性 (一)设已给概率空间(3B,P)上的随机过程{5 ∈T}.回忆我们已将(驴,P)完全化.在实际问题中,常常要 讨论一些-集,它们涉及菲可列多个;例如,要研究 o:|5()≤λ一切t∈T 的概率,其中λ∈R1.由于 A=∩(5)≤x) t∈T 如果T既非可列集又非有穷集,那么,作为多于可列多个事件的 交。A一般不是事件即一般地d,因而谈不上d的概率 于是发生困难:一方面在实际中很需要研究A的概率;另方 面,理论上甚至不能保证A有概率 类似地3郾集 B≡{:样本函数x(o)在T上连续,T=[0,∞) C≡{;样本函数x()在T上单调不减} 等也未必是事件 解决这种困难的一种方法是假定过程具有可分性(定义见 下),利用可分性,可以把涉及全体参数x的某性质A的研究,化为 只涉及可列多个参数的相应性质的研究 为了叙述时记号简单,设T是R1中的区间;其实下面的结论 对任烹TR成立,只要作明显的修改 设x(),t∈T是任一普通函数,可取±为值,二维点集 (t,x(t)),t∈骨记为Xr(它的图形是平面上一啪线).又设R 为T中任一可列于集,在T中稠密,记XR={(r,x(r),r∈砍}:
它也是二维点集.显然,XCXr Xx在通常距离下的闭包记为Xk因而x由XR及Xk之极 限点构成 定义1谫函数x(),t∈T关于R是可分的,如果 XTC XR 也就是说对任一t∈T,可找到点列{r}∈R,(r;可等于r;),使 同时有 , ro )→x(r) 此R称为函数的可分集 定义2说随机过程{x()t∈T}关于R是可分的,如果存 在0测集N,使对任意∈N,样本函数x(o)(t∈T)关于R是可 分的.此时称R为过程的可分集,N为例外集 说随机过程为可分的,如存在于T中到处稠密的可列子集R, 使它关于R是可分的 说随机过程为完全可分的,如果它关于任一如上的R是可分 的 例1连续函数关于T中有理数点集R是可分的,实际上它还 是完全可分的 例2设s∈T,5为任一无理点,函数x()=0,t∈Ts, (5)=1.则此函数关于r中有理点集R是不可分的;但关于 RU{却是可分的 1。如∈F 例3以F表有理点集,x( 此函数关于F 0。如t∈F 不可分;任取一可列、稠于R1、由无理点构成的集E,则此函数关 于FUE可分 显然,如过程(o),r∈T关于R可分,则(1)中集A与事 件 A'={:5(a)≤λ,一切∈R}∩((u)≤)∈ 1)二点P1=(x1,y(),P2=(x2,y2)间的距离为 dP1,P2)=v(x-xx2+(y1-y2)2