录 第一章弹性变形的商单模式 51弹簧的简单伸缩…… 1.1变形模式… 1.2变分原理与平衡方程…… §2均匀杆的伸缩…… ·甲,, 2.L变形模式 22变分原理与平衡方程………… 441q1 POpE自中 23分段均匀杆 …13 2.4平面抗拉杆系………………… 18 53非均匀杆的伸缩 自中,b阳·非中』 32 3.1变形模式…… 3.2变分原理 3.3边界值问題… 40 3.4平衡方程 司甲中母 击香谁鲁B日香 35无应变状态……………………………………号 54各向伸缩 50 4.1虎克定律与应变能……………………50 4.2体积变化…………………… 55剪切变形… …………………54 5.1切应力 a…54 5.2切应变…………… …55 5.3切变虎克定律与应变能 ……………58 56圆杆的扭转 58 6.1变形模式 62变分原理与平衡方程…… ………60 63圆管的扭转……………… §7梁的弯曲 ………63
7.1变,式 63 2变分原理与平衡方程…………………………… 7.3边界条牛与交界条件…………… 74无应变状态………………………………………73 第二章静态弹性力学 51位移与应变 。。.甲●.,...+.,,.,·..、垂 75 1.【应变…… 1.2旋转…………………………………7 13无应变状态与无穷小刚性位移 52主轴变换与主应变… 80 2.1坐标转轴 萨●。●、中·,● 22新老坐标系上的应变张量 甲,中由电中中d中D 2.3主轴与主应变 ……83 53应力……………………………84 3.1应力分量………………………………84 32平衡方程…………………………………86 3.3主应力………………………………………88 54虎克定律与应变能…………………………89 耳.I虎克定律…………………………………………89 42应变能……………………………………………91 55变分原理与弹性平衡 …93 5,1变分原理……………………………… 52平衡方程 96 53边界条件和交界条件 54无应变状态………………… 55关于变分原理和有限元方法…………………102 56几何协调性 103 6.1向量场的可积分条件与区域的拓扑………………103 62几何协调方程与积分条件…………… 111 57热效应 117 7.1虎克定律与应变能……………… ↓17 72变分原玛与平衡方程 L
第三章典型的弹性平衡问题 124 1平面弹性问题……………………………………124 1.I平面应变间题… 】25 1.2平面应力诃题………………………………………128 13比较 1.4一维问题 非。·面由·,面甲帝 131 52平面几何协调性与应力函数…… 布布 ……132 2.1平面几何协调性…………………………………………132 22应力函数……… 134 2.3边界条件……137 24篡连通域………………… ……139 53柱体的扭转 ··,自·节日 142 3.I变形模式…………………… 42 32扭转函数……………144 33应力函数 …………………………………∵…147 3手几忡特殊断面的扭转公式…………………………150 54薄板的弯曲…………… ……………153 41变形模式 153 42变分原理………………………………………156 4.3平衡方程 159 4.4边界条件与交界条件…… 166 45无应变状态 174 46热效应………………………………176 55空间梁的弯曲…………180 5.】变形模式…… ………I80 52变分原理……………………………… 183 53平衡方程 186 5.4边界条件与交界条件…………………………189 55无应变状态 190 5.6热效应…………………… D中甲甲甲,中·,中,上司_曲罪 191 第四章组合弹性结构…… 193 §1引言 t93
52平面组合结构…………195 2.1几何描述…………………… 2.2基本构件 …………………200 2.3刚接连系 2.4边界条件…………………………………210 25铰接连系……………………………………………211 2.6变分原理 中_中面中,D中,中自省电自中中:}甲.中,面B。p·香自●罪 2.7平蘅方程………………… 28无应变状态……… 由,,,,,、 2I7 53空间组合结构………………………………220 3.1几何述………………………………………………220 3.2基本构件 …225 33刚接连系 237 3.4边界条件 p杂ppp卓p甲B专。q ……239 35铰接连系…………………………………241 3.6变分原理 甲专,面,由面中甲甲、看,,, 37平衡方程…1245 38无应变状态……………………253 3.9偏心距的处理…………………………………………256 第五章有限元方法………………… …261 §1引言 ………………261 §2杆件的拉伸与扭转……………………………262 21变分何题 ……262 22剖分与插值……………………………………………263 23单元分析(一次元)……………………………………………265 4总体合成…………………… 268 25强加条件的处狸……… 2.6二次元的应用…………… 272 53梁的弯曲………… 275 3.1变分问题………………… …………………275 32三次 Hermite元………………… 276 54泊松方程………………… 280
4.1变分问题…… 280 4.2剖分与插值… 281 4.3单元分析(一次元与二次元)…………………291 4.4总体合成及其他…………………………297 §5平面弹性问题………………………………300 5.1变分问题 300 5.2双线性矩形元 目、着中·中 …302 5.3强加边界条件 308 §6薄板弯曲问题………………………………310 6.1变分原理………………………………………………310 62不完全双三次矩形元( Adini-Clough-Mclosh元) 3l1 6.3不完全三次三角形元( Zienkiewicz元)……………319 64完全二次三角形元( Morley元)……………………323 65关于非协调元…………………………………………328 §7组合结构 7.1平面组合结构………………………………329 7.2空间组合结构……………… 336 73非标准交接与偏心距欠理 ,:,,+中甲.,· 345 参考文献 ……………………………………………348
第一章弹性变彩的简单模式 §1弹簧的简单伸缩 1.1变形模式 设有一长度为L的弹簧,一端O固定在另一端A加力使之拉 伸或压缩.设在外力f作用下,弹簧的伸长即A点的位移为a(图 1).规定“>0为拉伸,“0是弹簧常数,依赖于 弹簧的材料特性与几何尺 寸 弹簧的一端加力后,内 图1 部产生所谓弹性反力.根据作用与反作用互等原理,弹簧伸长 时的弹性反力为 R R是弹簧的内力,方向与外力相反,这就是虎克定律 因此,在外力f作用下,当弹簧伸长为时,其合力为 FR+fa-cu+ f 符别当合力F0时,弹簧处于平衡状态即 十f=0 (1.3) 这是质点d的平衡方程。由此解出平衡态的位移 f 再由虎克定律得到d点的弹性反力
R Fact f. 再考察弹簧的合力F.当一质点在外力F作用下移动距离 da,若力与位移的方向一致,则所作的功等于 dw a fdu 质点的势能dJ3按照习惯表为功的反号,即 d=-dw aaa- Fdu 或者写为 =-F (14) 积分后得 J=一}Fd+Jo (15) 其中J是一个积分常数,表示某一基准势能,不妨取J=0.因 此,若已知势能丿则微分一次并取反号即得力F,反之着已知 力F,则积分一次并取反号即得势能J 今弹簧的合力 F=F()=-c+f 而受力方向又与伸缩方向一致所以其势能 J(a)= Fdu =cu-fu (16) 这就是弹簧在外力f作用下伸长#时所具有的势能(不管是否为 平衡态) 弹簧的合力F是由两部分组成的.一部分是内力,一部分是 外力,分别记为 F内=R F=F十F 与之相应,势能J也可分为两部分 丿〓l内十J 并且有 F 内 =一c F d u d
内是弹簧内部的弹性能是位移的二次函数,而且是正定的,即 内≥0,j=0当且仅当4=0时, 注意式中有因子±。孙称为外功势能,是“的一次函数,并有负 号 12变分原理与乎衡方程 以上是从直观的力的平衡原理来推导平衡方程.重要的是 弹性力学中的平衡方程还可以从全然不同的途径即根据最小势能 原理导出 事实上根据(14)3势能与力的关系为 dj 因此,平衡方程F=0等价于“0.由于二阶导数 >0 d u2 所以平衡态位移H使势能J取极小值。反之,使势能取极小值的 状态必为平衡态,这就是最小势能原理 这样,力学上的平衡问题归结为数学上的极值问题即变分问 题 J Cu)=-cu2-fu* Min 最小势能原理还有另一种等价形式,所谓虚功原理。设平衡 态位移κ获得增量或称虚位移v而变为十v.这时弹簧的势能 从∫(a)变到r(a-).由于f()是a的二次函数,所以 (a+v)=J(a)+rx)+±丿"(a)n2 ∫(x)+∫(x)x+1 由此显然可见,J达到极小值的充要条件是 丿(x)=0
亦即 c-f=0,对一切虚位移 它的力学意义为:平衡态位移使虚功总和为零,因此也叫虚功原 理 综上所述,下列三个问题的解是等价的: 1°最小势能原理:J(a)=cn2-fn=Min; 20虚功原理:cu一扣=0对一切虚位移v; 3°平蘅方程:cu-f0 对于弹簧伸缩这种最简单的一个自由度的平衡问题来说,上述三 种数学提法的等价性几乎是同义反复,没有什么实质性的内容差 别.然而这种等价性对于本书将要讨论的其他各种弹性平衡问题 也都是普遍成立的.那时将会表明,不同的数学提法将导致不同 的解题途径,而其实际效果则是极不相同的.换句话说,数学上的 等价性并不意味着实际上的等效性。 §2均匀杆的伸缩 21变形模式 取一条沿x轴向的等断面细长杆,长度为L,断面积为A 将其一-端固定。另一端加以均布的纵向载荷使杆拉伸.设载荷合 力为f杆件的伸长为BL〔图2).与弹簧伸缩一样,这时有虎克定 律即作用于杆件的单位面积力fA恒和相对伸长δL/L成正比: (21) E为只依赖于杆件材料而不依赖于几何尺寸的常数,叫做弹性模 量或杨氏模量.由于为无量纲,所以弹性模量z的量纲与左 端上,即为力 面积
BE 图2 杆件在载荷作用下发生弹性变形,内部处于紧张状态产生内 力.任取横断面(与杆的纵向x轴正交)S它将杆件Q分割为叶 -两部分(图3a),跨过S彼此有力作用,其单位面积力称为应 力.命正方Ω跨过S作用于负方Q的应力为σ.在端面上载荷 为均布的以及杆件细长的条件下,可以认为应力a在S上也是均 布的.所以整个断面上正方作用于负方的应力的合力即内力为 (22) 断面上负方作用于正方的内力则为一Q,>0表示拉力,Q<0 表示压力 “0耳更事 图3 任取两个断面S,S其坐标分别为x,x,相应的内力为Q(x), Q(x).考虑这两个断面间的截断的平衡(图3c).由于S-S之 间没有载荷,所以 -Q(x)+Q(x)=0, 从而 σ(x)←0(x) 即应力a(x)与断面所在的x坐标无关 常数