目 录 第一章无穷维分析的基础知识 §1. Hilbert空间中的线性算子 11基本概念、记号及若干引理 1.2可闭算子、对称算子与自共轭算子 5 13下半有界对称算子的自共轭延拓 14自共轭算子的谱分解,… 15 Hilbert- Schmidt算子与迹算子 18 2.Fock空间与二次量子化. 2.1 Hilbert空间的张量积, 22Fock空间 23二次量子化算子. §3.赋可列范空间与核空间 31赋可列范空间及其对偶空间 37 3.2核空间及其刘偶空间 3.3拓扑张量积、 Schwartz核定理 ,,,47 §4.拓扑线性空间上的 Borel测度…………51 4. I Minlos- Azarov定瑚 ,51 42 Hilbert空间上的 Gauss测度,,,,,, 43 Banach空间上的 Gauss测度,,,,,,, ,,,,,,,,,4 第二章 Malliavin随机变分学 §L. Gauss概率空间与 Wiener混沌分解 11Gaus概率空间及其上的泛函, 74 1.2数值模型,, 1.3多重 Wiener-lt6积分表示,,,,,…83 §2.泛函的微分运算、梯度与散度. 89
2王有限维Gas概率空间 22光滑泛函的梯度与散度.,, 95 23泛函的 Soboley空间. 100 s3. Meyer不等式及其推论 ,,,,,,106 3.1 Ornstein- Uhlenbeck半群 106 32L乘子定理 111 33 Meyer不等式 34 Meyer- Watanabe广义泛函∴,… §4.非退化泛函的分布密度 ,,,,,,,,.,,...,125 4.1 Malliavin协方差阵及若干引理 ,,,,..·125 42分布密度的存在性,,129 43分布密度的光滑性 b 133 44例 第三章 Wiener泛函的随机变分 §1.t6泛函的微分分析与热核的正则性 140 11 Skorohod积分.., ,,140 1.2随机微分方程解的光滑性 146 13亚椭圆性与 Hormander条件,149 1.4 normande定理的概率证明,…… 155 2. Wiener空间中的位势理论与拟必然分析 .,,,,161 21(kp)-容度 22拟连续修正 23容度的胎紧性、连续性与不变性 24正广义泛与有限能量测度 ,,,172 25随机过程的抵必然轨道性质, ,,,,,,176 §3.非适应随机分析 179 31 Skorohod积分的 Riemann和逼近,,,… 32非适应过程的[公式 33非适应随机微分方程 .193 第四章白噪声分析的一般理论 200 §1.白噪声分析的一般框架 201 11wick张量积与 Wiener- Ito-Segal阿构 ,,,.202
12检验泛函与广义泛函空间,,,.205 1.3经典的白噪声分析框架 211 2.泛函空间的刻画 21S-变换与空间(E)=/(0≤B<1)的刻画 22局部S变换与空间(E)c1的刻画∴ 221 23检验泛函空间的两种刻画 24广义泛函的若干例子.. 228 §3泛函的乘积与Wick积 1泛函的乘积 32广义泛函的wick积 33应用于 Feynman积分, 243 §.广义泛函空间的矩刻画与正广义泛函 41重正化算子 245 4.2广义泛函空间的矩刻画 43正广义泛函的测度表示 44应用于P(小)2-量子场 259 第五章广义泛函空间中的线性算子 ,,,,,.264 §1.广义泛函的分析运算 1.1刻度变换·,, 12推移算子与 Sobolev微分,…, 13梯度算子与散度算子 s2.广义泛函空间中的连续线性算子 275 21算子的象征与混沌分解, 276 22广义算子的S-变换与Wk积 ..282 §3.积分核算子与算子的积分核表示 ,,,,288 31张量积的缩合 32积分核算子 ,,291 33广义算子的积分核表示, .,,,,、.,,,,.299 84.在量子物理中的若干应用 41量子随机积分 ..303 ±2Kein- Gordon场 ,,,,,,,,,,306 43无穷维经典 Dirichlet型
附录 A Hermite多项式与 Hermite函数 ,,,,,...,,317 附录B局部凸空间及其对偶 322 1.半范、范数与H范 2.局部凸拓扑线性空间、有界集∴ .323 3.投影拓扑与拓扑投影极限 4.归纳拓扑与拓扑归纳极限 ...326 5.对偶空间和弱拓扑 6.相容性和 Mackey拓扑 7.强拓扑和自反性 329 8.对偶映射 ..· 9.均匀凸空间和 Banach-Sak定理 331 评注 332 参考文献 名词索引 ,,360 符号说明 .,365
第一章无穷维分析的基础知识 §1. Hilbert空间中的线性算子 令Ⅳ表示实数域配或复数域,HK及E表示巫上的 Hilbert空间.不同 Hilbert空间中的内积和范数统一用(,)及 ·‖表示.我们约定内积(x,y)关于x线性、关于y共轭线性 如不特别指明数域丑或,所有结果同时适用于两种情形 1.1基本概念、记号及若干引理 我们用L(H,K)及C(H,K)分别表示H到K中的线性算子 及有界线性算子全体,并用L(H)及C(H分别简记L(H,H)及 C(H,H).设A∈L(H,K),我们用D(4)表示其定义域,它是H的 线性子空间,今后对A∈C(H,K)恒假定D(A)在H中稠,从而 可进一步假定D(A)=H.对无界线性算子A,它的定义域D(4 必须连同算子一同给定.设A∈L(H,K),令 N(A)={a∈D(A):Ax=0},R(4)={Aa:∈D(A)}, 分别称M(A)及R(A)为A的核(或零空间)及值域.如果(A) 在矿中稠,则称A是稠定的.若M(A)={0},则称A是可逆 的对可逆算子A,定义A的逆A-1如下:D(A-1)=R(A);若 Ax=y,则令A-1y=c 乘积空间H×K按如下内积(,)成为— Hilbert空间: ({x,y},{x,w})=(x,2)+(y,u),a,z∈H,,U∈K, (即 Hilbert空间直和H⊕K)设A∈L(H,K),令 g(A=fa, Ac: IE D(A) (1 W(A)={{Aa,:x∈D(4)} I乙L
则9(A)及M(A)分别为HK及KH的线性子空间.我们分 别称它们为A的图象和逆图象.若A可逆,则w(4)=9A-2) 设A1,A2∈L(H,K),若9(A1)c9(A2),即D(A1)cD(A2)且 限制在D(41)上A2与A1一致,则称A2是A1的延拓,称A1是 A2在D(A1)上的限制,记为A1CA2或A2A1 设A∈L(H,五).如果9(A)是HK的闭子空间(即w(A) 是K⊕H的闭子空间)则称A为闭算子.若9(A)在HK中 的团包g(A)是某个线性算子A的图象,则称A是可闭的,并称 A是A的闭包.显然,A是可闭的当且仅当{0,y}∈9(A)蕴含 y=0.若A是闭算子,且D(A)=H,则由闭图象定理知A是有 界算子.闭算子的零空间为闭子空间 设A∈L(H,K)为稠定的,令 D(A")={y∈K:cy>0,使得Vz∈D(A),(Ax,y)≤cl|l} 则由 Riesz表现定理,vy∈D(A),存在H中唯一元素,记为A·"y 使得 (, A'y)=(Am,y) VeE D(A). 显然有A·∈D(K,H),我们称A为A的共轭算子.若A,B∈ L(H,K)为稠定的,且ACB,则B*CA 设A∈U(H).如果A稠定且ACA°,即 (Ar,y =(a, Ay) Ve,yE D(A) 则称A是对称的;若进一步有A=A*,则称A是自共轭的 引理11设A∈L(H)为稠定算子,且(Ax,2)=0,V∈D(4) (1)若H为复空间,则A为零算子(即Ax=0,YaED(A); (2)若H为实空间,且A为对称算子,则A为零算子 证明(1)设x,∈D(A),则 (Aa,y)+(Ay,x)=(A(m+y),x+y)-(Ax,)-(Ay,y)=0.(1,4)
在上式两边同乘(=√-1)并用ⅳ代替y得 (Ax,y)-(4y,)=0 1.5 于是由(14)及(15)得(Ax,y)=0,y∈D(A).由于D(A)在H 中稠,这表明Ax=0 (2)由(14)及A的对称性推得 设A∈C(HK),我们用‖A‖表示算子A的范数,即 All=sup{‖Aal:】l=1}. 下一引理给出了对称有界算子范数的另一表达式, 引理12设A∈C(H)为对称算子,则 IA= sup (Ar, r) (1.6) l=1 证明我们有 (Ax,y)+(3,Ax)=(Ax,y)+(4y:x) (A(x+y),x+y)-(A(x-y),x-y) 故有 I(Ar, y)+(3, Az)ls(x +yl*+=-gll)sup [(Az, z) |=1 =(|l|}2+|yl|2)sup(Ax,2) (1.7) x|=1 最后一等式是由于平行四边形定律.为证(1.6),不妨设A是非零 算子·记a=8up|z|=1(Aa,x),则由引理11知a>0.在(17)中 令y=a-1Ax,则得 2a-1A|2≤(l2-2+a-21Ax2)a
即有‖Ax|2<a2|x2,从而‖A≤a.但相反的不等式恒成立,故 (1.6)得证 设A∈L(H,K),B∈L(K,E).B与A的乘积定义如下 D(BA)={x∈D(A):Ax∈D(B)}, (BA)x=B(Aa),c∈D(BA) 于是BA∈L(H,E) 引理13设A∈L(H,K),B∈L(K,E).如果A,B及BA都 是稠定的,则 A·B·c(BA) (1.10) 若进一步B是有界算子,则 A"B·=(BA) (1.11) 证明(1.10)可以从共轭算子定义出发直接验证.为证{11) 只需证(BA)°CA·B*.设B∈C(K,E),由于D(A)=D(BA) D(B*)=E,故对任一y∈D(BA)*),有 (A, B"y)=((BA)a, y)=(a, (BA)y), Va E D(A) 这表明B"y∈D(A)(从而y∈D(AB))且有A·B"y=(BA)’y, 于是(BA)cAB.(1.11)得证 设M为H的一个闭子空间,M为M在H中的正交补, 则对任给x∈H,x有如下唯一分解: 十z 其中y∈M,z∈M4.我们用Pa表示y,称Px为x到M上的投 影.显然P为H上的有界对称线性算子,且是冪等的,即P=P 我们称幂等的有界对称线性算子为投影算子 下一引理给出了投影算子的一个刻画 引理14设P∈C(F).则当且仅当R(P)=M(P)且 P2=P时P为投影算子
证明设R(P)=M(P),且P2=P.则Vax,y∈H,a-Px∈ M(P),y-Py∈N(P),故有 (Pa, y)=(P, Py+(y-Py))=(Pa, Py) (Pt +(a- Pr), Py)=(=, Py) 这表明P是对称的,从而依定义P是投影算子.反之,设P是 投影算子,则 x∈N(P)→y∈H,(x,Py)=(Px,y)=0 →c⊥R(P), 即有N(P)=R(P).又由P2=P推知R(P)=M(I-P),从而 欠(P)为H的闭子空间.因此有R(P)=R(P)=M(P).■ 12可闭算子、对称算子与自共轭算子 定理15设A∈L(H,K)为稠定的,则 (1)A·为闭的,且9(A")=W(-A); (2)若A为闭的,则A*稠定,且A*=A; 3)当且仅当A稠定时A可闭.这时A为A的闭包 证明(1)设y∈K,z∈H,则有 {y,z∈9(A}→y∈D(A"),z=A“g →(2,x)=(y,Ax),m∈D(A →({3,2},{-Ax,x})=0,v∈D(A) 这表明9(A)=w(-A).特别9(A)为K⊕H的闭子空间,即 A·为闭算子 2)由于-A为闭算子,故g(-A)是H⊕K的闭子空间,从 而w(-A)是K田H的闭子空间.由(1)知KH有如下正交分 解: K⊕H=Wv(-A⊕9(A°) (112)
现设z∈K,且z⊥D(A*),则{z,0}⊥9(A·).故由(112)知 {z,0}∈w(-A),从而z=-A0=0.这表明D(A*)在K中稠.对 A*及-A应用(1.12)得 H⊕K=)(-A")由9(A-), KH=w(4)⊕9(-A· (1.14) 但(1.14)等价于H⊕K的如下正交分解: H⊕K=g(A)曲W(-A (1.15) 比较(113)及(115)得9(A)=9(4),即有A=A (3)设A可闭,A是A的闭包,则A>A,由共轭算子定义 知A·→A*.特别D(A-)→D(A*),故由(2)知A·是稠定的.对 A应用(1)得 K⊕H=v(A)g(A) 上式等价于 H⊕K=9(4)M(-A^) (1.17 比较(1.13)及(117)知9(A)=9(A),即A*为A的闭包 反之,设A*稠定,往证A可闭.由于A*为闭算子,(1.13) 仍成立.另一方面恒有(117),故得g(A)=9(A),这表明A是 可闭的 定理16设A∈L(H)且对称,则有下述结论: (1)A可闭,A为A的闭包,A对称; (2)若D(A)=H,则A为有界自共轭算子; (3)若A自共轭且可逆,则R(A)在H中稠且A-1自共轭; (4若R(A)在H中稠,则A可逆 (5)若R(A)=H,则A自共轭且A1为有界自共轭算子 证明(1)由于A*A,故A·稠定,从而由定理15(3)知A 可闭,且A*为A的闭包.此外,由于ACA,故A*+cA* 从而A对称