录 第一章自然边界元方法的一般原理 s1.引言 114 §2.边界归化与边界元方法…… §2,1间接边界归化………………………………4 §2.2直接边界归化……………………………12 §2.3边界积分方程的数值解法………………………14 §3.目然边界归化的基本思想 §3.1椭圓边值问题的然边界归化 ,甲,甲· 17 §3.2 Neumann问題的等份变分问題 §3.3自然积分算子的表达式 强奇异积分的数值计算……………………27 §4.1积分核级数展开法…… 29 §4.2奇异部分分离计算法……………………………32 §43有限部分积分的近似求积公式 §4.4正则化方法及间接计算法 §5.自然边界元解的收敛性与误差估计 §5.1近似变分问题及其解的收敛性… §5.2边界上的误差估计…………… §5.3区域内的误差估计……………………… 64 56.关于 Poisson积分公式的计算……… §6.1利用特解求近边界点的解函数值 66 §6.2误差估计…… 69 第二章调和方程边值问题 7 1.引言 §2.解的复变函数表示 72 §2.4定及其证功 72
2.2简单应用实例… 53.白然边界归化原理…………………78 §3.1区城上的变分问题… §3.2日然边界归化及边界上的变分问题 81 §4.典型域上的自然积分方及 Poisson积分公式……85 §4.19为上半平面 §4.29为圆区域………………………………91 §43Q为园外区域………………………………96 54.4几个简单例子……………………………… 专, 55.一般单连運域上的目然边界归化………………103 §5.1保角映射与白边界归化…………… 103 §5.2对角形城、;域与矩形域的应用………… 56.自然积分算子逆算子 6 上半i汽然积分箅子 §6.2圆内公自然分算子 57.自然积分方程的亡接钘究……………………1t6 §7.L上半平面自然积分方程 §7.2圆水!外运域门然积分方程 118 §8.自然积分方的数值解法 122 §8.1度矩系数的计算公式…………………123 §8.2刚度的杀件数……… §8.3自然边界元解的识汽估计 ………}36 §8.4数值例子 s9.断裂及叫角扇形域上自然机分方E的效僖解 !46 §9.1i然积分方程及其边界元解 46 §9.2近似解的误差估计……… …149 §9.3解的奇异性分析 §9.4数值例子 152 第三章駑调和方程边值问题 …………158 §L.引言 §2.解的复变数表示 ……………………h61 §2.1定理反其证明………………… 6
氵2.2简单应用实例 3.台然边界归化原………………………………………167 3,1区域上的变分问题…… 167 §3.2日然边界归化迄界上:的变分间题…… 172 §4.典上的计然分方硅及巳 bIsson积分公式…178 §4.12为上半平 178 §4.2a为國内区城 §4.39为外区域……… 96 §4.4几个简单例………… 55.国然积分算子及共逆算子 210 §5.!上:半平面自然积分算子……………………………210 §5.2:内区域自然可分算子……… §5.3外父域自然东分算子 215 §6.白然积分方程的直接研究…………………………217 §6.1上华平面然积分方程 217 §6.2内区城自然积分方程 §6.3同外区域自然积分方程 226 §7.育然积分方程的数值解法…… 甲,,甲44 233 §7.刚度短阵系数的计算公式… …235 §7.2自然边界元解的误差估计………… §7.3数值例子……… 24.3 s8.多重调和方程边值闸趣……… 249 §8.1解的醚度函数表示…………………………249 §8.2自然边界归化原理……… §83关于上半平面的若千结… 254 第四章平面弹性问题…………………………………259 §1.引言……………………… 259 §2.解的复变恿数表示 、日·。·自甲中 、中中 263 §2.1定理及其证明…………………… 263 52.2简单应用实例…… …267 §3.自然边界归化原理……………………………………273 §3.1区域上的变分问题…… 273
§3.2自然边界归化及边界上的变分问题…… 54.典型域上的自然积分方程及 Poisson积分公式…279 s4.1“为上半平面 §4.2Q为圆内区域………………… 春,甲,、甲,,甲,,,·甲 §4.39为圆外区………… 300 §4.4几个简单例子 308 §5.白然积分算子及其逆算子…………………313 §5.1上半平面自然积分算子………………………314 §5.2圆内区域自然积分算子 …316 §5.3國外区城言然积分算子…… s6.自然积分方程的直接研究………………………328 §6.1上半平面自然积分方程 56.2圆内区域自然积分方程 s6.3圆外区域然积分方程……… 45 7.自然积分方程的数值解法… 347 §7.1测度矩阼系数的计算公式………………………349 72自然边界元解的误差估计……………… 354 §7.3数值例子 ……………355 第五章 Stoke8问题…………………………………359 §1.引言 §2.解的复变函数表示 ……360 §2,1定理及其证期 …361 §2,2简单应用实例 53.自然边界归化原理……… §3.1 Green公式…………………………… 369 §3.2自然边界归化及等价变分问题…………………………372 §4.典型域上的自然积分方程及 Poisson积分公式…375 §4,1口为上￥平面 ……………375 §4,2为圆外区域 379 §43Q为圆内区域…… ,丰,‘,·,,·,中 388 §4.4几个商单例子 391 55.目然积分算子放共逆算子 ………………397
§51上半平面自然积分算子 ……398 55.2國外区域自然积分算子 599 §5,3圆内区域自然积分算子 §6、自然积分方程的直接研究…………………413 §6.1上半平面自然积分方程… 氵6.2圆外区域然积分方程…………… 415 §6.3圆內区域自然积分方程 423 §7.直然积分方程的数值解法 ………………435 §7.1{度矩阵系数的计算公式…… 437 §7.2自然边界元辉的误差伟计 140 §7.3数值例子……………………… 441 第六章自然边界元与有限元辆合法 143 §1.言 §2.耦台法解调和方程边龍问题… 444 §2,1断裂区域间题 4 §2.2无界区域问题…… 453 §2.3数值例子………… …………456 §3.耦合法解重调和方和边值问题…………………461 §3.1耦合法原理………………… 461 §3.2收敛性与误差估计 63 §4.耦合法解平面弹性问题…………………466 §4.1合法原理……………………………466 §4.2收敛性与误差估计… 5.耦合法解 Stokes问题 470 §5,1耦合法原理 470 §5.2收敛树与误差估计 473 §6.无穷远边界条件的近似 ……475 §6.I积分边界杀件的近似…………………………475 §6,2误差估计 ………………480 参事文献 …………………………489
第一章自然边界元方法的一般原理 引言 许多物理问题可通过不同途径归结为不同形式的数学模型 它们或是表现为偏微分方程的边值问题,或是表现为区域上的变 分问题,或是归结为边界上的积分方程。这些不同的数学形式在 理论上是等价的,但在实践口并不等效,它们分别导致有限差分 法、有限元方法和边界元方法等不同的数值计算方法, 边界元方法是在经典的边界积分方程法的基础上吸取了有限 元离散化技术而发展起来的一种偏微分方程的数值解法。它把微 分方程的边值问题归化为边界上的积分方程然后利用各种离散化 技术求解.对微分方程作边界归化的思想早在上世纪就已出现, 仨将边界归化应用于数值计算并为此目的深人研究边界归化理论 则是从本世纪60年代才开始的.随着电子计算机的广泛应用,也 使得有限元方法蓬勃地发展,人们将有限元技术与经典的边界归 化理论相结合,为边界积分方程法在工程技术和科学计算中的应 用打开了新局面。于是到70年代后期,边界积分方程法开始被称 为边界元方法,并被许多数学家和工程师看作继有限元方法之后 出现的一种新的、重要的数值计算方法.大量的理论和应用研究 L是在此期间开始的.C.A. Brebbia,G,C. Hsiao,WL Wendiand,J.C. Nedelec以及我的冯康、杜庆华等人对这一方 法的发展与推广都作了大量的工作.边界元方法已被广泛应用于 弹性力学、断裂力学、流体力学、电磁场和热传导等领城的科学研 究和工程技术的数值计算 边界元方法的主要优点是将所处理问题的空间维数降低 維它只须对边界进行单元剖分,以要求出边界节点上的解函数 9310189
植就叮计算区域内任意点的解函数值。这对于无界区域上的问題 特别有意义。边界元方法也有其局限性.由于数学分析的复杂 性,边界元方法对变系数、非线性间题的应用受到了限制。在数值 计算方面,也由于得到的刚度矩阵的非稀疏性而增加了一些困难 但尽管如此,用边界元方法计算许多工程问题的成功仍引起人们 对这一方法的充分重视。十余年来边界元方法的研究和应用不断 取得新的成果,每年都有大缰文献出版,这一方法与有限元法的 结合也为进一步开拓其应用范围提供了可能 边界归化有很多途径。我们可以从同一边值问题得到许多不 同的边界积分方程。这些积分方程可能是非奇异的,可能是弱奇 异的,可能是 Cauchy型奇异的,也可能是强奇异的,这些差异是 因边界归化途径不同而产生的.不同的边界归化途径可能导致不 同的边界元方祛.国际流行的边界元方法通常被分为间接法与直 接法两大类。间接法从基本解及位势理论出发得到 Fredholm积 分方程,它引入了新变量。直接法则从Gren公式及基本解出 发,并不引人新变量。这两类边界归化得到的边界积分方程通常 并不保持原问题的自伴性等有用的性质 本书介绍的自然边界元方法则不同。它是由 Green函数和 Green公式出发,将微分方程边值问题归化为边界上强奇异积分 方程(或称为超奇异积分方程),然后化成相应的变分形式在边界 上离散化求解的一种数值计算方法。由于自然边界归化保持能量 不变,原边值问题的许多有用的性质,例如双线性型的对称性、强 制性等均被保持,从而自然积分方程的解的存在唯一性及稳定性 等结果也就随之而得.这一优点也保证了自然边界元方法与经典 有限元方法能自然而直接地耦合。这正是自然边界元与有限元耦 合法与其它类型的耦合法相比所具有的最根本的优越性。与一般 边界归化得到的边界积分方程也现决于归化途径及所选择的基本 解不同,自然积分方程是由原边值问唯一确定的,它准确地反映 此边值问题的解的互补的微分边值之间的本质的关系,我们可以 通过各种不同的途径,例如本书中使用的 Green函数法、 Fourier
变换或 Fourier级数法及复变函数论方法等来推求自然积分方 程,但殊途同归,对同一边值问题只能得到同一个自然积分方程 因此可以说,自然边界归化在各种边界归化中占有特殊的地位并 具有许多优越性。至于积分核的强奇异性今天已不成为困难。本 章给出了求解强奇异积分方程及计算强奇异积分的一些简单易行 的数值方法。通过分部积分将强奇异积分化为只有较低奇异性的 积分来处理则是另一类自然而适用的方法,自然积分算子产生光 滑性降阶即作为正数阶拟微分算子的特性恰好保证了积分方程的 解的很好的稳定性。 从数值计算的角度也将看到自然边界元方法的许多优点,如 刚度矩阵的对称正定性,近似解的稳定性,以及在处理无穷区域及 断裂区域时仍保持理想的精度,等等,特别是对于圆周边界的情 况,自然边界元刚度矩阵还有某种循环性,于是我们并不需要计算 全部矩阵系数,而只要计算大约半行系数就可以了,这样,与一般 边界元方法由于刚度矩阵系效计算的复杂性使得边界元降维的优 点在很大程度上被抵消不同,臼然边界元方法确实使计算量大为 减咸少 自然边界元方法也有其明显的局限性。其困难主要是解析上 的。因为对一般区域而言,Gren函数往往难以求得.其它可用 以求得自然积分方程的途径也有同样的局限性.因此我们仅对少 数典型区域应用自然边界元方法,而对一般区域则应用自然边界 元与有限元耦合法.其实,所有边界元方法都有局限性。与有 限元方法耦合对于所有边界元方法都是极其重要的.从这个观点 看,自然边界元方法的优越性就极为明显了,因为唯有自然边界元 与有限元的稠合是基于同一变分原理的自然而直接的耦合.这种 耦合综合了自然边界元方法与经典有限元方法的优点,既克服了 自然边界元方法对区域的局限性,又使经典有限元方法能适于 无界区域及裂缝区域。正如冯康教投所指出的,边界元方法应作 为有限元方法的一个组成部分,完全适合在有限元方法的框架内 发展(见[72]).这正是我们研究自然边界元方法的出发点
本章将首先概述通常的边界归化方法及基于这些边界归化的 边界元方法,以便使读者对一般的间接法和直接法也有所了解.从 第3节起即转人本书主题,依次介绍自然边界归化的基本思想, 强奇异积分的数值计算,自然边界元解的收敛性及误差倍计等内 容 §2.边界归化与边界元方法 边界元方法是将区域内的微分方程边值问题归化到边界上然 后在边界上离散化求解的一种数值计算方法,其基础在于边界归 化,即将区域内的微分方程边值问题归化为在数学上等价的边界 上的积分方程。边界归化的途径很多,可以从同一边值问题得到 许多不同的边界积分方私。不同的边界归化途径可能导纹不同的 边界元方法。下面我们简要介绍通常采用的两种边界归化方法, 即间接归化法及直接归化法 §21间接边界归化 间接边界归化是从基本解及位势理论出发得到 Fredholm积 分方程。这是经典的边界归化方法此时积分方程的未知量不是 原问题的解的边值而是引人的新变,因此这种归化被称为同接 归化。今以二维调和方程边值问题为例来说明之 考察以逐段光滑的简单(无自交点)闭曲线r为边界的平面有 界区域Q←F2内的调和方程第一边值问题 Q内 -an3T上 及第二边值问颗 Q内 g,r上 其中为上的外法线方向。边值问题(1)存在唯一解,而边值问
题(2)在满足相容性条件 ds o 时,在差一个任意常数的意义下有唯一解。 类似地考察Q的补集的内部Ω上的调和方程的第一边值问 题 Q内 ,上 及第二边值问题 内, du r上 边值间题(3)及(4)的解的唯一性依于“在无穷远的性态,即必 须对解在无穷远处的性态作一定的限制才能保证解的唯一性。 为了建立解的积分表达式,要用到如下 Green公式 vAwdxdx-Cv ou ds-[ vw. vudxdx: (5) 及由此推出的Gren第二公式 (△x-n△#)dxd: 6 r\ On (6) 今后常简记x-(x1,x2),dx-dx1dx2,又已知二维调和方程的 基本解为 (7) 其中r-|x-y-√(x-y1)+(x2-y2),y-(y1,y)为 平面上某定点。基木解E满足 △E_6(x-y) 这里(·)为二维 Dirac)函数,其定义如下 2