常数项级数审敛法 在研究级数时,中心问题是判定级数的敛散 性,如果级数是收敛的,就可以对它进行某些 运算,并设法求出它的和或和的近似值但是除 了少数几个特殊的级数,在一般情况下,直接 考察级数的部分和是否有极限是很困难的,因 而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行 ,这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛 散性,这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数 来讨论
常数项级数审敛法 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散 性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些 运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除 了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接 考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因 而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行 ，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛 散性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数 来讨论
正项级数及其审敛法 1定义:如果级数∑u中各项均有un≥0, 这种级数称为正项级数这种级数非常重要, 以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题 都可归结为正项级数的收敛性问题 2.正项级数收敛的充要条件:S1≤S2≤…≤Sn≤ 部分和数列{sn为单调增加数列 定理 正项级数收敛部分和所成的数列s有界
一、正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1 = n n un u 这种级数称为正项级数.这种级数非常重要， 以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题 都可归结为正项级数的收敛性问题 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn 部分和数列 {sn } 为单调增加数列. 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 有 界. n s
3比较审敛法设∑u,和∑均为正项级数, n-=1 且mnS"n(n=1,2,),若∑v收敛则∑1收敛; n=] H-=1 反之,若∑Ln发散,则∑发散 nE 证明(1)设σ=∑"n∵Ln≤ n=」 且Sn=1+2+…+Ln≤v1+"2+…+vn 即部分和数列有界 ∑un收敛
3.比较审敛法 设 和 均为正项级数， = =1 n 1 n n n u v 且u v (n = 1,2,) n n ,若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un收敛； 反之，若 n=1 un发散，则 n=1 n v 发 散. 证明 = = 1 (1) n n 设 v , n n u v n u u un 且s = 1 + 2 ++ n v + v ++ v 1 2 即部分和数列有界 . 1 收敛 = n un
(2)设sn→>∞(m→)且un≤vn, 则an≥Sn>0不是有界数列 ∑ν发散 定理证毕 推论:若∑收敛(发散) 且vn≤ kun(n2 N(huns则∑v收敛(发散) 比较审敛法的不便:须有参考级数
(2) s → (n → ) 设 n , n n 且 u v n n 则 s → 不是有界数列 . 1 发散 = n n v 定理证毕. 推 论: 若 n=1 un 收 敛(发 散) 且 ( )( ) n n n n v ku n N ku v , 比较审敛法的不便: 须有参考级数. 则 n=1 n v 收敛(发散)
例1讨论P级数 1+n++n+…+n+…的收敛性(P>0) 23 P n 解设p≤1, ≥,则P-级数发散 n 设p>1,由图可知1) S.=1++—+…+ 2n3″ n dx 1+
例 1 讨论 P-级数 + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p 0) 解 设 p 1, , 1 1 n n p 则P −级数发散. 设 p 1, 由图可知 − n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++ − + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1 o y x ( 1) 1 = p x y p 1 2 3 4
=1+ 1+ p~n(、1 nn1)1时,收敛 当p≤时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数
= + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 − + p 即 有界, n s 则P −级数收敛. − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
oo 例2证明级数∑ 是发散的 n=1飞 n(n+1) 证明 m+1)2n+1·而级数∑ 发散, n=1h+1 级数∑ 发散 H=1 n(n+ 比较审敛法是一基本方法,虽然有 用,但应用起来却有许多不便,因为它 需要建立定理所要求的不等式,而这种 不等式常常不易建立,为此介绍在应用 上更为方便的极限形式的比较审敛法
比较审敛法是一基本方法，虽然有 用，但应用起来却有许多不便，因为它 需要建立定理所要求的不等式，而这种 不等式常常不易建立，为此介绍在应用 上更为方便的极限形式的比较审敛法 例 2 证明级数 =1 ( + 1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 + n n + n , 1 1 1 n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1 = + n n n 级数 发散
4比较审敛法的极限形式: 设∑un与∑vn都是正项级数如果Ln=1, n→0 H=1 则(1)当0<l<+时,二级数有相同的敛散性; (2)当1=0时,若∑"收敛则∑un收敛; n ()当l=+0时若∑v发散则∑un发散; n-
4.比较审敛法的极限形式: 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散; lim l, v u n n n = → 0 l + l = 0 l = + n=1 n v n=1 un
证明(1)由im=1对1nQ, N,当n>N时,人la,1 N) 由比较审敛法的推论,得证
证明 l v u n n n = → (1)由lim 0, 2 = l 对于 N, 当n N时, 2 2 l l v l u l n n − + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n n n 由比较审敛法的推论, 得证
5.极限审敛法: 设un为正项级数, n=1 如果lmmn=l>0(或 limn=∞) 则级数∑un发散; 如果有P>1,使得imn"un.存在, 1→ 则级数∑u收敛 n:
5.极限审敛法： 设 n=1 un 为正项级数, 如 果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ) , 则级数 n=1 un 发 散; 如果有 p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛