目 录 第一章 Nevanlinna理论概要……… st.. Poisson-Jenscn-公式 …1 1.2.特征函数与第一基本定理……… 5 1.3.第二基本定…………13 .4.第二基本定理的应用 51.5.第二基本定理的推广35 第二章正规族… …………………46 2.1.全纯函数的正规族……… A 46 2.2. Montel定则…52 52.3. . Montel圈属、亚函数的正规族………… 59 第三章 Borel方向… …6 §3..一些预备知识 b §3.2.基本定理 …71 3.3.充满圆与Bor.方 … ………84 53.4 .. Borel方向的一些质…96 第四章亚纯函数结合于导数的值分布10 4.1.T(x,)与T(f)增长性的比较…14 §÷.2.结合于导数的模分布 ………9 5.3. . Miranda定则119 54.4.结合于导数的辐角分布 …125 4.5. ayman不等式及相应的正规定则…135 第五章亚纯函数的重值… …………148 5.1.涉及重值时的模分布…143 §5.2.正规定则与重值 ………155 5.3.结合于导数与重值的辐角分165 第六章 Borel方向的一些新研究184 §6.1,亚纯函数的Bor1方向的分布 18 iii
5.2.亚函数与其导数的公共方向Milu问题195 6.3,亚纯函数与其导数的公共Borc方向. Milloux问题 的逆问题…… 21 第七章亚纯函数的亏值与 Borel方向 …228 §.1.精级与两个引理……28 5.2.亚纯函数具有分值时 Borel方向的分…238 3.亚函数的与值总数与Borc方总数2 57.4.整函数的亏值总数与rel方向总数以级的关系…252 第八章展布关系及其应用275 51.峰及其存在件…25 §8.函数… §8.3.展布关系291 58..展布关系的应用31 58.5.亏星问题37 参考文献… ……………318 人名索引 ………………32 名河索引……330 i
第一章N evanna 理论概要 1925年,R. Nevanlinna建立了亚纯函数的两个基本定理, 开始了值分布理论的近代矸究.几十年来,亚纯函数值分布理论 的新发展都是以 Nevanlinna理论为基础的.所以作为开始的 章,我们扼要介绍 Nevanlinna理论.在本章最后一节还将介绍庄 圻泰关于 Nevanlinna第二基本定理的一个重要推广 §1.1. Poisson- Jensen公式 1.1.1. Poisson- Jensen公式 在 Nevanlinna理论中,下述 Poisson-Jensen公式起着十分重要 的作用 定理11.设函数f()在||≤R(0<R<∞)上亚纯 M),b(=:1,2 分别为f()在 R内的零点和极点.若x=rc为|l<R内不与ab 相重的任意一点,则 log log If(re) R Ricos(6一φ)+r log log rca b,) R2一b (11.1) R 证.首先我们假定在|≤R上,少)既无零点又无极点。 这时gf()是该圆上约全纯函数,于是ogf()在|}≤R 上 Taylor展式的首项系数应为 I)关于 Nevanlinna理论,有兴趣的读者可参阅 Nevanlinna2”, Hayman【2) Tsuj.Iomb6 epr H CCIPoBCKH,小泽满
log f(o) log (5) d=1{2 logf(Re9)φq, 2xijiti= (112) 将上式两端取实部,就证明了(111)式中z=0的情况.对于一 般情形,命 R(-z) R 它将」|≤R映为|w≤1.将5=x映为w=0,其逆为 R(R+2.记F(m)=f((Rm+2),则F(v)在 R+2 R+若 ↓4≤1上亚纯,且既无零点又无极点.按照(112)式应有 但是 du d( log w) d Edc (R2-|12)d x(R2一x)(一x 从而 二,y .(11.3) 在|l|=R上,=Re,=ie, (R2一x)(-x)=(R2-Rrc)(Re甲-re) RePiR2-2Ry cos(o-0)+r2. 将这些代入(11.3)式,并取实部即得 gf3 R 2 (114) R一2 Arcos(φ-)+ 当f()在!1=R上有零点和极点,而在|<R内既无 零点又无极点时,显然在引|=R上f()的零点和极点的数目
是有穷的,以每个零点和极点为心,充分小的正数E为半径作小圆 周.这些小圆周位于|4|≤R内的部分与|!=R上留下的弧 段组成闭围线4,它所范围的区域为D4.在D内 ogf(5)(R2-|z|2) (R2-z2)(-z) 除=2外全纯,在=x处有一个极点,残数为logf(z).根据 残数定埋有 logi(x)= 2xir. ogf(s) (R2-站)(一x 可以看出在2为半径的小圈周弧上,被观函数的模为(g 而小圆周弧的长度小于2re,于是在这些小圆周弧上的积分应随 6趋向于0.从而这时(1.14)式也成立 当f)在|<R内有零点和极点时,记其零点和极点分别 为a2(=1,2,…,M)和b(v=1,2, ),重级零点和 极点须按其重数计算,命 R(-b,) R4-b. 2 (5)=f(2) II R't-s R2 函数g()在|≤R上亚纯,在||<R内既无零点又无极点 根据以上的证明有 gg (Roi 2R, cos8-)+ 但是 lg(Re)|=|fRe)|,(0≤q≤2x)
log Is(x)i= Jog 1/()1+> log R(z-6, v E1 R2-b, R( 这样便可得到(111)式 1.1.2.推论 系1.在定理11条件下,若f(5在l≤R上没有零点和 极点,则对于任意点:,||=r≤R,有 kg(21=11(Re") R2-2 Arcos(0-p)+,(15) 这就是 Poisson公式 系2.在定理1.1条件下若f(0)≠0,∞,则 R R g =1 1br (116)称为 Jensen公式 当f(0)=0时,记其重级为n(0,f=0);当f(0)=∞时, 记其重级为n(D,f=∞0.(当f(0)≠0时,则n(0,f=0)=0 同样当f(0)≠∞时,则n(0,f=∞)=0.)若令v=n(0, f=0)一n(0,f=∞),则无论那种情况在原点邻域内总有展式 (>( ≠0, g()
g()在|引≤R上亚纯,且g(0)≠0,∞,对g()应用 Jensen 公式(1,16),并计及g(Re)一f(Re),则得 「cr!+τlogR logf(Re甲)d R R 8 即 log Ic |+n(0, /=0)logR=i[ log If(Re)ldp R R og o? n(o,t=oo)logR c<<k 0<》l<R 这是 Jensen公式的普遍形式 s1,2.特征函数与第一基本定理 121.特征函数 为了将 Jensen公式变形和定义亚纯函数的特征函数,我们先 引1进正对数 定义11.对于x≥0,定义 (log x, 0) (1.21) L 4 容易看出,对于任意正数x有 lo g x 于是对于|z<R内亚纯的函数f(x)与0<r<R有 f cre)ide logfI Greis) de iA(res) dp
另一方面,记fx)在|x≤r上的极点数为n(,f),重级极 点按其重数计算.以n(0,表示f(x)在原点处极点的重级(当 f(0)≠∞时,则n(0,f=0).fz)在0<|2|≤r的极点 记为b1,b2,…,b,每个b出现的次数等于f(z)在b极点 的重级.这时 分部积分后即有 同样若记()在|1≤上的零点数为n(,,()在原 点处的零点重级为n(0,},记fx)在0<|a!≤r的零点为 a1;a2,…·,4M,每个4出现的次数等于其零点的重级,则 于是 Jensen公式可以写为 log [crI 1 Lo f已 ()-(,) °g tog*if(rei)ldp+['n(s D-no, 1 de t n(o, fl 基于这样的形式, Nevanlinna'2曾引进以下几个函数 定义1.2
log+isro)lde (122) (,)也记为m(r;f=0)或 ),是!f(z)|的正对数 在1-上的平均值;m(1)也记为m(,/=或 定义13 2(,1)-n(D,D)d dt r (12.3) 这里n(t, 表示x|≤t上fx)-a的零点个数,重级 零点按其重数计算,n(t, 也记为n(t,f=a)或n(t,a) 则表示f(x)-a在原点的重级,它也记为n(0,f a)或n(0,a).N(r,f)有时记为N(r,f=∞)或N(r,∞),是 (x)极点的密指量 有时记为N(r,f=a)或N( a),是f(x)的a值点的密值量 定义14.T(r,f)=m(r;1)+N(r,f) (124) T(,f)称为f(x)的特征函数.显然它是非负函数 于是 Jensen公式可以写为 log Ie,I +T T(r,f. (12.5)
(125)有时也称为 Jensen- Nevanlinna公式. 1,22.函数的积与和的特征函数、例 为了讨论有限个亚纯函数的乘积与和的特征函数,我们先注 意正对数的几个性质 设a(=1,2,……p)为任意p个有穷复数,则 lo max(1,]a|) max log imax (1, awD))=>log ga,g 以及 ( ax]ay)}≤∑log+1a,+logp. 据此,若f(x)(v=1,2,…,p为p个于|z}<R内亚纯的 函数,则对于0<r<R有 (r, f,)+ log 此外对于0<<R显然有 )≤∑
