硕士生入学应试指导书 高等数学 线性代数 1200题 李大华 华中理工大学出版社
前言 本书根据国家教委制订的全国硕士研究生入学考试数学考试大 纲的要求，精选了高等数学与线性代数共1200多道题·分为例题和 习题两部分编写而成，这些题目大多选自历年各高校的研究生入学 试题及全国统考试题，类型全面，覆盖面广，信息量大 我们假定读者手中已有一套高等数学与线性代数的教材，因而 在每节的开头只列出内容要点，或列出一些很重要的但不易记往的 公式.各种类型问题的解题方法和技巧将有层次地贯率于整节的例 题之中，以此为读者提供切实有效的指南.每节后面都有相应数量的 习题.供读者通过自己动手解题来掌握要领，触类旁通，提高解题的 能力.在书的末尾、给出了数学（一）至数学（五）的五套摸拟试题·供 读者自我检验. 左上角标有“△”记号者，表示该题为全国统考试题 本书除作为硕士生入学考试的应考指南外，也可作为工科院校 (包括电大、夜大、业大、职大等)学生学习高等数学和线性代数的教 学参考书. 愿本书能给读者带来信心和希望. 编者 1995年4月 于华中理工大学
日录 第一章函致……………………………………………… () 1.1函数慨念……·…………………… 1.2函数的几种特性 ·〔】 .3复合函数与反敦………………………………(3) 1.4一元历数的连续性与可性…………………6) 写题1.1……………“………(11) 第二章极隆……………………………………………-(15) 21利用已知重要极限求极限…………… (I5 习葱2.1………·……………………………………………(19) 22用罗必塔法则求极限 (20 弓题2.2………………………………〔23) 23利用泰勒公式求极限………………… (24) 习题2.3………………………(28) 2.4无穷小量的比较………………………………(29) 弓题2.4………………………………………………(31) 2.5剩用极限存在准测求极限…………………(32) 习题2.5 37 2.6与导数有关的极限 (38) 习题2.6……… (41) 2.7与积分有关的极限………………………(43) 习题2,?……………………………… 47 2.8其他类型的极限 (48) 习题28 歌(51) 第三章微分法… 〔52) 31复合函数微分法 (52) 习题3.1 (54 3.2参数方程表示的函数的微分法……………………(56 习题3,2………………(58)
3.3偏导数与全傲分的计算………………………………(59) 习题3.3………………………(63) 3.4隐函数微分法…………………………………(1 习题3.4…………………………………………(9) 35高阶偏导数的计算…………………………………………(70 习题3,5…………………(74) 3.6方向导效与梯度 习题3.6 n(79) 3.7n阶导数的计算………………(79) 习题3.7……………………”(83) 3.8验证给定函数清足某微分方程………(84) 马愿3,8……………"…………………"…(87) 3.9变量代换问题 (89 习题3.9 …中品(93) 第四章微分学的应用… w(95) 4.1导数的几何意义与物理意义……………(95) 习题4.1…………………………………………(98) 42函数性态的研究……………………………………(100) 习题4.2·……………(103) 4.3一元函数的极值·… (105) 于题4.3………………………(110) 4.4多元函数的极值…·(112) 题44…………………(116) 4.5切线切平面问题…………………………………………(117 习题4.5………………………………………(122) 第五章向量代效和空间解析几何 〔124 5.1向量代数………………………………………(124 习题5.1… (125 52空间中的直线与平面…26 习题5.2……………………………………(131) 第六章一元函微积分法及量积分…………………(133) 2
61基本积分公式的运用……4133 习题6.1………………………………"(135) 62换元法与分部积分法……944(136 习题6.2·……………“(141) 63有理西数及含三角函数的有理函数的积分……(113) 习题6.3·…………………(147) 64其他类型的积分题… (118) 习6 (152) 6.5广义积分“…………ss(153) 习题6.5·………s…(155) 6.6二量积分的计算…(155) 习题6.6 (160) 6.7三重溴分的计算 (162) 习题6.7 (168) 第七章曲线积分与虚积分 (170 7.1曲线积分的计算…………(10 习题7.1 .(l74 7,2格林公式·曲线积分与路径无关的条件……(175 习题7.2 ‘中 182 73曲面积分的计算………………………………………(184 习题7.3 s…(I91) 7.4高斯公式和斯托克斯公式…………… (193) 习题7.4………………………………………………(199) 第八章积分学的应用………(292 8.弧长和平面区域的面积 (202) 习题8.1…………………………………………(206 82体积·旋转体的侧面积……(29 习题8.2…………… 2I1) 83积分在物理上的应用 (216 习题8.3………………………………………………………………《2:1) 8.4综合应用题…… 甲 )b) 3
习题8.4………………………………………(227) 第九章微积分证明题……… 面电 230 91零点问题 (230 习题9.1…………………………………卹………(23手 92中值定理…(236 习题9.2·… a(2↓3 93泰勒公式…………………………………“……(245) 习题93 ·(250 9,4不等式……………………………………(252) 习题9.4………………………·(257) 第十章无穷緞……………………………………(260) 10.1正项级数 参【260 习题10.1… (263) 10.2任意项级效…………… (265 习题10.2“……………… (270) 10,3幂圾数的收敛域与和函数………………………(272) 习蹰10.3……………………(278) 10.4求函效的幂级数展开式…………………(280J 习题104………………………“………(284 16.5傅立叶级效 (286) 巧题10.5 292) 第十一章常微公方程………………………………(295) 11.1一粉微分方程………………(295 题11.1…………………………………(298) 11.2全微分方程和可降阶的高阶方程………………………………(300 习11.2……………………………………(303) 11.3二阶线性做分方程……………………………(304) 习题11.3………………………………"(310) 11.4用积分给出的方程 311 习题11.4…………………………………(314) 11.5分方程的应用……………(3t5
∵蔥11.5………………………………………………………1321} 11.6其他类型的问题……………………………………(32 习题11.6…………………………………………………(328) 第十二章线性代微……………………………………(331) 12.1行列式的计算………………………………… 33】 习题12.1 12.2矩阵及其运算 (34) 题12,2…………………………(354 12.3向量组的线性相关性·矩阵的秩……………………(359) 习题12、3………… 血垂 〔365 12.4线性方程组………… 弓题12.4… 379) 12.5矩阵的特征值和特征向量……………… 习题12.5……………………………… 392) 12.6二次型………………… (398 习题12.6…… 40 12.7向量空间………………… 甲…(405) 卫败12.7………………… …(417) 模拟试蘧 (423 数学(试卷一)模拟试题〔附多考解答)……………(423 数学(试卷二)棋拟试题(附参考解答) s(430) 數学(试卷三)模拟试题(附多考解答) …(431 数学(试卷四)糗拟试逦(附參考解答)……………(437) 效学(试卷五)模拟试题(附参考解答)……………………………( 参事书目………………………………………………………………(451
第一章函数 i.I函数概念 1.1.1求函数y=√x-in|x-3的定义域 解x-1≥0→x≥1·|x-3|>0x≠3故函数的定义域 为[13)U〔3,+∞). 1.1.2函数y= arccos 的定义域是 解由|年1及x≠-1推得-3≤x≤ 1.L.3求函数y=y 的定义域 解c-叫)≥0=2x-≤誓一x≤2k+故得 2kx-≤x≤2k+(k=0、士1±2,…). 1.14下列各题中函数∫(x)和g(x)是否相同?为什么? (1)f(r)=lgx g(x)=21gxi (2)f(x)=x,g(x)=√x2; (3)f(x)=1.g(r)= sin2.r+coir 解(1)∫与8不相同,因为定义域不同 (2)∫与g不相同.因为对应规则不同. (3)∫与g相同,因为定义域与对应规则部相同 1.2函数的几种特性 1.2.1证明∫(x)=hn(x+√1+x)为奇函数. 证f(--x)=ln(-x+√1+(-x)2)
+ ∫(x) 1.2.2证明:定义在对称区间(一l)上的任意函数都可表示 为一个奇函数与一个偶函数的和,并且这种表示方法唯 f(x)-f(-x),f(x)+f( 唯一性请读者自己证明 1.2.3设x≠0时,∫(x)满足关系式 f(x)+f(1}=是,a为常数 (1) 证明∫(x)为奇函数 证用代替(1)中的x,得 f(r)==ax 2) 由(1)(2)解得∫(x)=(2-x1,则f(-x)=-f(x) 1.24设f(x)是(-+∞)上的奇函数.且图形关于直线 2对称,证明f(x)为周期函数 证依题设,有∫(-x)=-f(x),f(x)=∫(4-x)由此推 得∫(4-x)=-f(x-4),f(-x)=f(4+x)进一步推得f(4 +x)=f(x-4),令x-4=u即得f(u+8)=f(u),故f(x)是 以8为周期的周期函数 12.5设k>0为常数,f(x)≠0且f(x+8)=f(x 求证:f(x)是以2k为周期的周期函数 证f(x+2k)=f((x+k)十k) for+ 1.2.6设a,b为常数,且b>a函数y=f(x)定义于(-∞ ∞),它的图形既对称于直线x=4,又对称于直线x=b.则∫(x)
必是 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)周期函数, (D)单调函数; 答( 解应选(C)函数的奇偶性和单调性都可排除.下面验明周期 性:对8>0,令x=a+B,则有 f(a+8)= f(a-a)=f(x)=f(2a 同理可得f(2b灬x)=∫(x).于是可以推出 f(x)亠f(2a-x)=f(2b-(2a-x)=f(x+2(b-a)) 1.27设∫(x)和g(x)在(a,b)内严格单调增加,证明x) max{∫(x)g(x)}在(a,b)内严格单调增加 设x1:x∈(a,b),x;f(x2),max{f(x2),g(x2)}> g(x1)于是得gx)>gx1) 1.28设∫(x)为严格单调增加函数求证:若∫(x1)=f(x2) 则 证用反证法.若x1≠x2,不妨设x10 <0 解f(-x) 132已知f如否=1+0,求fcow景)