第三章函数的极限与连续 §2.1数列的极限 lim v=A n1-0o §2.2函数的极限 §2.3极限的运算 §2.4极限存在的准则与两个重要极限 §2.5无穷小量与无穷大量 §2.6函数连续的概念
1 第二章 函数的极限与连续 §2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 §2.3 极限的运算 §2.4 极限存在的准则与两个重要极限 §2.5 无穷小量与无穷大量 §2.6 函数连续的概念 lim n n y A → =
第二章极限与连续 极限概念是微积分学的基本概念.极限是研究变量 变化趋势的重要工具,后面要用到极限的思想和方法来 研究函数的连续性、微分、积分.连续性是函数的一种 重要性态 §2.1数列的极限 数列 定义Ⅰ按一定顺序排列的一列数a1,a2,…,anp…,叫做 个数列,数列中的每一个数叫数列的项,第n项an叫数 列的一般项或通项简记为{an}数列也可称作整标函数
2 第二章 极限与连续 极限概念是微积分学的基本概念. 极限是研究变量 变化趋势的重要工具, 后面要用到极限的思想和方法来 研究函数的连续性、微分、积分. 连续性是函数的一种 重要性态. §2.1 数列的极限 定义1 按一定顺序排列的一列数 a1 ,a2 ,…,an , …叫做一 个数列, 数列中的每一个数叫数列的项, 第 n项 an 叫数 列的一般项或通项.简记为{ an }.数列也可称作整标函数. 一、数列
因为数列an=f(n)可看成是定义在正整数集合上 的函数.当自变量n按正整数1,2,3,依次增大的顺 序取值时,函数值按相应的顺序排列成一串数 f(1),∫(2),…,∫(n), 称为一个无穷数列,简称数列. 问题:什么是有界数列呢? M>0mEN,恒有f(l)sM
3 因为数列 an= f (n) 可看成是定义在正整数集合上 的函数. 当自变量 n 按正整数 1,2,3,… 依次增大的顺 序取值时, 函数值按相应的顺序排列成一串数: 称为一个无穷数列, 简称数列. 问题:什么是有界数列呢? M n N f n M 0, , ( ) . 恒有 f f f n (1), (2), , ( )
例1(1),an 2 即元4 8 (2)n,=1+-,即2 2”3”4 (3)an=2n,即2,4,6,8, 4)c ,即0,1,0,1, 2 (5)an=(-1) 即 2”3 n+1,即1,23 34 7) 即O,325 n十(-1) 234
4 1 1 1 1 (1). , , , , 2 2 4 8 a n = n 即 1 3 4 5 (2). 1 , 2, , , , 2 3 4 a n n = + 即 (3). 2 , 2,4,6,8, a n n = 即 1 ( 1) (4). , 0,1,0,1, 2 n an + − = 即 1 1 1 1 (5). ( 1) , 1, , , , 2 3 4 n a n n = − − − 即 1 2 3 (6). , , , , 1 2 3 4 n n a n = + 即 ( 1) 3 2 5 (7). , 0, , , , 2 3 4 n n n a n + − = 即 例 1
从以上几例可以看出,随着n逐渐增大时,数列 有着各自的变化趋势.当n无限增大时,数列(1)、(5) “无限接近”数0;数列(2)、(6、(7)“无限接近” 数1;数列(3)“无限增大”;数列(4)在数0和1间摆 动在几何上,{an}表示数轴上一列点,也可以把(n,n) 看成平面上的点 数列
5 从以上几例可以看出, 随着 n 逐渐增大时, 数列 有着各自的变化趋势. 当 n 无限增大时 , 数列(1)、(5) “无限接近”数 0; 数列(2)、(6)、(7) “无限接近” 数1; 数列(3) “无限增大”; 数列(4) 在数 0和 1间摆 动.在几何上, { an }表示数轴上一列点,也可以把(n ,an ) 看成平面上的点. • • • • • • o ¼ ½ 1 8 1 16 1 1 2 n n 数列 a = o n n a 1 • • • • •
数列an=(-1) 数列an=2n (4,a4)
6 n n a o • • 1 –1 • • • • • 4 (4, ) a 数 列 1 ( 1)n an n = − o n n a 1 1 2 • • • • • 数列 2 a n n = • • • • • • 1 a 2 a 3 a 4 a –1 1 o o • • • • • 1 a 2 a 3 a 4 a
(2,a2) (1,a1) 数列an 1+(-1 结论当n无限增大时(n→>∞),数列的变化趋势有 种情形:an无限增大;an的变化趋势不定;an“无 限接近”某个常数A.此时我们说数列{an}当n无 限增大时,以常数A为极限.这便是数列极限的直观描 述
7 结论 当 n 无限增大时 ,数列的变化趋势有 三种情形： an 无限增大; an 的变化趋势不定; an “无 限接近”某个常数 A . 此时我们说数列 {an }当 n 无 限增大时, 以常数 A 为极限.这便是数列极限的直观描 述. ( ) n → n a o 1 n 1 • 1 (1, ) a • 2 (2, ) a • • 数列 1 ( 1) 2 n an + − = 0 • • 1 a 3 a 2 a 4 a 1
对数列(2)当n→∞时,a无限接近于1 即ln→1则当n→时an-1可以任意小 即无论给定多么小的正数,从某项起,以后每项都满 足{an1|小于给定的正数.下面以数列(2)来说明其含 意 令石=1,an-1=1 即从第项后有a2-1<1,a3-1<1
8 对数列(2)当 , 1 n a → 时 n无限接近于 ， 2 3 1 1, 1 1 1 1 1, 1 1, n a n n a a = − = − − 令 即从第一项后有 即无论给定多么小的正数, 从某项起, 以后每项都满 足 |an–1|小于给定的正数. 下面以数列(2)来说明其含 意. 1. 1 . n n 即 则当 时 可以任意小 a n a → → − • • • • • 1 a 2 a5 a a4 1 2
E n103n>10,有a 令公、,-12W心mm有1￥1mm 令E n0→n>100,有a 继续下去,无论多么小的正数E都可以找到相应的一个 正整数使得从第N项以后(n>M各项都满足lanl|N表示
9 由 ε 的任意性, 不等式 |an -1| N 表示. 10 11 12 101 102 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 , 1 10, 1 , 1 , 10 10 10 10 1 1 1 1 1 , 1 100, 1 , 1 , 100 100 100 100 1 1 1 1 , 1 10 , 1 , 10 10 10 n n n a n a a n a n a a n a n a n + = − = − − = − = − − = − = − 令 有 令 有 令 有 继续下去, 无论多么小的正数 ε 都可以找到相应的一个 正整数使得从第 N 项以后(n > N)各项都满足 |an -1|<ε 即 1 N [ ], = 1 2 1 , 1 , . N N a a + + − −
从而当n→∞时an={1+1m以1为极限<> 对VE>0,彐N,使得当n>N时,恒有anI03N,当n>N时,有an-A<E 则称数列{an在n→+∞时以常数A为极限也称数列 收敛于A记 iman=A或an→A(n→∞) n→ 否则说数列发散
10 对 使得当 n > N时, 恒有|an 0, , N -1| N时, 有
