第六章定积分及其应用 §6.1定积分的概念 §6.2定积分的性质 f(r)dx §6.3微积分学基本定理 §6.4定积分的计算方法 §6.5广义积分 §6.6定积分的应用
1 第六章 定积分及其应用 §6.1定积分的概念 §6.2定积分的性质 §6.3微积分学基本定理 §6.4定积分的计算方法 §6.5广义积分 §6.6定积分的应用 ( ) ? b a f x dx =
第六章定积分及其应用 前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题—不定积分 这一章将讨论积分学的另一个基本问题—定积分 本章的主要问题有: 1什么是定积分? 2定积分有哪些性质? 3定积分与不定积分有何关系? 4如何计算定积分和应用定积分?
2 第六章 定积分及其应用 4.如何计算定积分和应用定积分? 前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题——不定积分. 这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分. 1.什么是定积分? 2.定积分有哪些性质? 3.定积分与不定积分有何关系? 本章的主要问题有: 1 0 cos ? xdx =
§6.1定积分的概念 上 引例(曲边梯形的面积 定义1.在直角坐标系中,由一条连续曲线 =/(x)和三条直线x=a、x=b=0(x轴 y=f(x 所围成的图形,称为曲边梯形,如右图 B Aabba(与直边梯形AabB的区别) X=a b 问题: 0 b y=f(x)≥0时,曲边梯形AabB的面积怎么求呢?中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积,下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积
3 一.引例(曲边梯形的面积) 定义1. 在直角坐标系中,由一条连续曲线 y=ƒ(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形, 称为曲边梯形, 如右图 AabBA (与直边梯形AabB的区别) . o x y y=0 y=ƒ(x) x=a x=b a b A B §6.1 定积分的概念 当y = ƒ(x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积. 问题:
分析:问题的难度在于曲边梯形4abB的高对整个区间{ab 来说是一个变量,其最大值与最小值之差较大但从区间 a,b]的一个局部(小区间)来看,它也是一个变量 但因f(x)连续,从而当△x→0时,4y→0,y 故可将此区间的高近似看为一个常量, f(x) B y{4 从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积 F Xx+△xbx 因而,如果把区间a,b任意地划分为n个小区间,并 在每一个区间上任取一点,再以该点的高来近似代替该小 区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地
4 从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积. o x y y=ƒ(x) a b A B x x+Δx H C D E F Δy { 因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并 在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小 区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地 分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b] 来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间 [a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量; 但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, 故可将此区间的高近似看为一个常量
视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值 要想得精确值,只需区间[a,b的分法无限细密(即每 个小区间的长度△x→>0)时,全部窄矩形的面积之和的极限 定是曲边梯形面积的精确值 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积 I化整为零(或分割)—任意划分 (如右图)用分点 y=f(x, x=b 将区间[a,b]任意地划分为n个小区间 b oa=xo x, x
5 视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值. 要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每 个小区间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极限 一定是曲边梯形面积的精确值. 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积: I.化整为零(或分割)——任意划分 (如右图)用分点 0 1 2 1 n n a x x x x x b = = − o x y y=ƒ(x) 0 a x = 1 x 2 x i 1 x − i x n x b = n 1 x − i x 将区间[a,b]任意地划分为n个小区间 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ], ,[ , ], n n x x x x x x −
i个小区间的长度为Ax1=x1-x1(=1,2,…,m) 过每个分点作垂直于x轴的直线,将曲边梯形分成n个窄 曲边梯形(如上图) 若用S表示曲边梯形的面积, △S表示第i个窄曲边梯形(阴影 部分)的面积,则有 S=△S1+△S+…⊥NSn ∑ x,Ax. i I近似代替(或以直代曲)—任意取点 在每个小区间[x12x](=1,2,…,n)上任取一点5 (x1≤≤x),以f(5)为高、以小区间[x1,x]的长度为底
6 o x y y=ƒ(x) 0 a x = 1 x 2 x i 1 x − i x n x b = n 1 x − 记第 i 个小区间的长度为 1 ( 1,2, , ), i i i x x x i n = − = − i x 过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄 曲边梯形(如上图). 若用S表示曲边梯形的面积, 表示第i个窄曲边梯形(阴影 部分)的面积, 则有 i S 1 2 1 n n i i S S S S S = = + + + = II.近似代替(或以直代曲)——任意取点 在每个小区间 1 [ , ]( 1,2, , ) i i x x i n − = 上任取一点 i 1 ( ), i i i x x − 以 f ( ) i 为高、以小区间 [ , ] x x i i −1 的长度为底
在窄矩形(如右图) 该窄矩形的面积f()x y=f(x) 近似等于△S,即 △S f(5)Ax1≈△S 5网州 I求和、取极限 为了从近似过度到精确,将所有的窄矩形的面积相加, 就得曲边梯形的面积的近似值,即S=∑AS≈∑f(5)x 记各小区间的最大长度为=max{Ax1,Ax2…,Axn} 当分点数n无限增大且各小区间的最大长度= maxX}→0 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积,即 S=lim∑f()△x
7 ( )i i f x i S ( )i i i f x S 则该窄矩形的面积 为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加, 就得曲边梯形的面积的近似值, 即 1 1 ( ) n n i i i i i S S f x = = = III.求和、取极限 作窄矩形 (如右图). 近似等于 , 即 记各小区间的最大长度为 max{ , , , } 1 2 n = x x x 当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 1 max{ } 0 i i n x = → 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即 0 1 lim ( ) n i i i S f x → = =
定积分的定义 由引例知,把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结 为一个特殊和式的极限.这种和式的极限应用极广,可解 决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题, 将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象, 就有定积分的定义: 定义1.设f(x)在[a,b上有定义,点a=x<x<x2<…<xn1<x=b 将区间[a,b任意地划分为n个小区间;每个小区间[x=1,x] 的长度为Ax1=x1-x-1(i=1,2,…,n),在每个小区间[x=1,x 上任取一点5(x1≤5≤x)作和式Sn=∑f()x
8 二.定积分的定义 由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结 为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解 决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题, 将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象, 定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点 0 1 2 1 n n a x x x x x b = = − 1 [ , ] i i x x − i i i 1 x x x = − − ( 1,2, , ), i n = 1 [ , ] i i x x − i 在每个小区间 上任取一点 1 ( ), i i i x x − 就有定积分的定义: 将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间 的长度为 作和式 1 ( ) n n i i i S f x = =
若当λ→>0时,S有确定的极限值,且I与区间[a,b]的 分法和5的取法无关,则称函数f(x)在区间[a,b]上可积 并称此极限值为f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为 f(x)dx 即Jf(x)dx=1=m∑()Ax 其中f(x)为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分 变量,a称为积分下限,b称为积分上限,[a,b]称为积分区 间S=∑f(5)x,称为积分和 注1若f()在区间[ab上可积则定积分「f(x)=C常数 它仅与被积函数f(x)和积分区间[a,b有关而与积分变量 的字母无关,即
9 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i f x dx I f x → = = = i ( ) b a f x dx →0 n 若当 时, S 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的 分法和 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积, 并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为 称为积分和. 1 ( ) n n i i i S f x = 间 = 其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分 变量, a称为积分下限, b称为积分上限, [a, b]称为积分区 即 注1.若ƒ(x)在区间[a, b]上可积,则定积分 的字母无关, 即 它仅与被积函数ƒ(x)和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量 ( ) b a f x dx = C 常数
f(x)dx= f(u)du= f()dt 注2极限过程→既保证了分点个数无限增多()2→∞ 又保证了区间分割无限细密即所有小区间的长度都趋于0) 若只有n→>∞则不能保证区间分割无限细密 注3.f(x)在区间[b上可积的充要条件是极限 m∑f(5)Ax=常数 且此极限值与[ab的分法和的取法无关 因此,对于可积函数(x),若要用定义来计算(x) 则可选择较为方便的区间分法和5;的取法,使得计算简便 挂主挂金法挂主出挂主
10 注2. 极限过程 ,既保证了分点个数无限增多( ), 又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于0). →0 n → 因此, 对于可积函数ƒ(x), 若要用定义来计算 0 1 lim ( ) n i i i f x → = = 常数 i ( ) , b a f x dx i ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f u du f t dt = = 若只有 则不能保证区间分割无限细密. 注3. ƒ(x)在区间[a, b]上可积的充要条件是极限 且此极限值与[a, b]的分法和 的取法无关. n → 则可选择较为方便的区间分法和 的取法, 使得计算简便