§4.7导数在经济中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数(或微 分)在经济中的一些简单的应用 边际分析与弹性分析 边际和弹性是经济学中的两个重要概念.用导数来研 究经济变量的边际与弹性的方法,称之为边际分析与弹性 分析 1.边际函数
1 §4.7 导数在经济中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微 分)在经济中的一些简单的应用. 一.边际分析与弹性分析 边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研 究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性 分析. 1.边际函数
定义经济学中,把函数f(x)的导函数∫(x)称为f(x)的边际 函数.在点x的值f(x0)称为f(x)在x处的边际值(或变化 率、变化速度等) ∵∫(x0)=lim f(x0+△x)-f(x) △x→>0 ∫(x0+△x)-f(x0) f(o)+a (lima=0) △ △x→>0 当△→0(即很小时,有《x+A)/(xr(x) 在经济学中,通常取Ax=1,就认为Ax达到很小(再小无意义) 故有 f(x+△x)-f(x0)≈f(x0)
2 定义 经济学中,把函数ƒ(x)的导函数 称为ƒ(x)的边际 函数. 在点 的值 称为ƒ(x)在 处的边际值(或变化 率、变化速度等). f x ( ) 0 x 0 f x ( ) 0 x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x → x + − = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (lim 0) x f x x f x f x x → + − = + = 当 即很小 时 0 ( ) , →x 在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无意义). 故有 0 0 0 f x x f x f x ( ) ( ) + − ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) f x x f x f x x + − 有
实际问题中,略去“近似”二字,就得∫(x在x0处的 边际值∫(xn)的 经济意义:即当自变量x在x的基础上再增加一个 单位时,函数y改变量 例33某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的 函数为 C(x) +60x+2050
3 实际问题中, 略去“近似”二字, 就得ƒ(x)在 处的 边际值 的 0 x 0 f x ( ) 经济意义: 即当自变量 x 在 的基础上再增加一个 单位时, 函数y的改变量. 0 x 例33 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的 函数为 1 2 ( ) 60 2050 4 C x x x = + +
求(1)日产量75件时的总成本和平均成本 (2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量 (3)当日产量为75件时的边际成本 解(1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)795625(元) C(75)75=10608(元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量 △CC(90)-C(75 10125(元/件) △v 90-75
4 求(1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量; (3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956.25(元) (2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量 C(75)/75=106.08(元/件) (90) (75) 101.25( / ) 90 75 C C C x − = = − 元 件
(3)当日产量为75件时的边际成本 C(x)2+60∴C(5)=C(x)|x=975(元) 注:当销售量为x,总利润为L=L(x)时,称(x)销售量 为x时的边际利润它近似等于销售量为x时再多销售 个单位产品所增加或减少的利润 例34某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是C(x)=100+2x+0.02x2和R(x)=7x+0.01x 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和 300公斤时的边际利润并说明其经济意义
5 (3)当日产量为75件时的边际成本 1 ( ) 60 2 C x x = + 注:当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 为销售量 为x时的边际利润,它近似等于销售量为x时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润. L x ( ) 例34 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和 300公斤时的边际利润.并说明其经济意义. 2 2 C x x x R x x x ( ) 100 2 0.02 ( ) 7 0.01 . = + + = + 和 75 (75) ( ) 97.5( ) C C x x= = = 元
解(1)总利润函数为L(x)=R(x)-Ca)=5x-1000.01x 边际利润函数为L(x)=5-0.02x (2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边 际利润分别是(200-=(x)x2m=1(元 L'(250)=0(元),L'(300)=-1(元) 其经济意义:当日产量为200公斤时,再增加1公斤,则 总利润可增加1元当日产量为250公斤时,再增加1公斤, 则总利润无增加.当日产量为300公斤时,再增加1公斤, 则反而亏损1元
6 解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) = 2 5 100 0.01 x x − − 边际利润函数为 L x x ( ) 5 0.02 = − (2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边 际利润分别是 200 (200) ( ) 1( ) L L x x= = = 元 L(250) 0( ), = 元 L(300) 1( ). = − 元 其经济意义:当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则 总利润可增加1元.当日产量为 250公斤时,再增加1公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时,再增加1公斤, 则反而亏损1元
结论:当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时(L(x)=0),反而使企业无利可图 弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量 变化时,所作出反映的强弱程度.即弹性是用来描述 个量对另一个量的相对变化率的一个量
7 结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时 ( ( ) 0) L x = ,反而使企业无利可图. 2.弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量 变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述 一个量对另一个量的相对变化率的一个量
定义若函数y=(x)在点x0(≠0)的某邻域内有定义,且 f∫(x)≠0则称Ax和!分别是x和y在点x处的绝 对增量,并称 Ax与^yf(x+△x)-f(xn) f(x0) 分别为自变量x与f(x)在点x处的相对增量 定义设y=()当x→>0时,极限m4 存在,则称此 △x→>0△x 极限值为函数f(x)在点x处的弹性,记为m7(x)
8 定义 若函数y =ƒ(x)在点 的某邻域内有定义, 且 则称 Δ x 和 Δy 分别是 x 和 y 在点 处的绝 对增量, 并称 0 x ( 0) 0 f x( ) 0 0 x 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x y f x x f x x y f x + − 与 = 0 分别为自变量 x与ƒ(x)在点 x 处的相对增量. 定义 设y =ƒ(x)当 0 0 0 0 , lim , x y y x → x x → 时 极限 存在 则称此 极限值为函数 在点 ( ) f x 0 0 x x , ( ). 处的弹性 记为
由弹性定义可知(1)若y=∫(x)在点x处可导.则它 在x处的弹性为 f"(x0) 7(xn)=imn(")=0(x) △x→>0△x (2)n(x)的◆◆意◆是:在x◆◆x◆生1%的改◆◆ f(x)就会产生m(x0)%的改变; 当m(x0)>0(<0)时,x与y的变化方向相同相反) (3)弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关 例35当a、b、a为常数时,求下列函数的弹性函数及在 点x=1处的点弹性,并阐述其经济意义 (1)f(x)=ae"(2)f(x)=x
9 由弹性定义可知(1)若 y = ƒ(x) 在点 处可导. 则它 在 处的弹性为 0 x 0 x 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim( ) ( ) x y x f x x x x y f x → = = 0 0 (2) ( ) : 1% , x x x 的 意 是 在 生 的改 (3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关. 例35 当a、b、α为常数时, 求下列函数的弹性函数及在 点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义. (1) ( ) (2) ( ) bx f x ae f x x = = 0 f x x ( ) ( )% ; 就会产生 的改变 0 当 时 与 的变化方向相同 相反 ( ) 0( 0) , ( ) x x y
f(x)x 解(1)由n(x)=xf(x)ambe=bx故m/()=b (1)的经济意义是:在x=1处, 当b>θ时,x增加(或减少1%,∫(ω就增加(或减少)b%; 当b<0时,x增加(或减少)1%,f(x)就减少(或增加)-b% 解(2)由(x)=xf(x a故n(1)=a f(x) (x的经济意义是: 幂函数在任意一处的弹性均为常数a,从而称之为不变弹性函数
10 ( ) (1) ( ) ( ) bx bx f x x x x abe bx f x ae 解 由 = = = 故 (1) = b η(1)的经济意义是: 在x = 1处, 当b > 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就增加(或减少) b% ; 当b < 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就减少(或增加) –b% . ( ) (2) ( ) ( ) f x x x f x 解 由 = = 故 (1) = 幂函数在任意一处的弹性均为常数 从而称之为不变弹性函数 , . η(x)的经济意义是: