西南财经大学：《经济数学基础》课程PPT教学课件（微积分）第五章 不定积分（5.3）基本积分法

§5.3基本积分法 利用直接积分法求出的不定积分是很有限的 为了求出更多函数的不定积分,下面建立一些有效地积分法 凑微分法 例计算 cos xax 分析:此不定积分的被积函数是复合函数在积分表中查不到 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x,与积分变量“x不 如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与 积分变量变得相同,那么就可用公式| cos ud=sinu+C (l是x的函数)求出此不定积分

1 利用直接积分法求出的不定积分是很有限的. 一.凑微分法 例 计算 cos 2xdx  分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到. §5.3 基本积分法 为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效地积分法. 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“ x”不 同. 但如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与 积分变量变得相同, 那么就可用公式 cos udu  sin u  C  (u是x的函数) 求出此不定积分

∴x d2x .cos 2xdx= cos 2x.d(2x) cos 2xd(2x) u=2x- cos udu sinu+Ca回代sin2x+C 注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将原来的微分d凑成新的微分dp(x)(可不必换元) 使原积分变成一个可直接用积分公式来计算 这种方法称为凑微分法其理论依据为

2 1 cos 2 cos 2 (2 ) 2  xdx  x  d x   1 2 cos 2 u  x udu 令  1 cos 2 (2 ) 2  xd x  1 sin 2  u  C 1 sin 2 2 u回代 x  C 注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(x)(可不必换元), 使原积分变成一个可直接用积分公式来计算. 这种方法称为凑微分法. 其理论依据为 1 2 2 解  dx  d x

定理4设∫(m)m=F(m)+C,且=(x)具有连续导数则 ∫ ((x)]d(x)=F[(x)+C 证利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可 [F(q(x)+C]=F2=f((x)·q(x) 注1.定理4中,若i自变量时,当然有∫()m=F()+C 成立当换为q)时,就有∫(x)0(x)=F(x+C 成立.—不定积分的这一性质称为积分形式的不变性 注2.凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的 中间变量变得与积分变量相同.即 ∫/o(x)g(x)凑∫/o(x)d(x)

3 定理4 f (u)du  F(u)  C, u  (x) , 设  且 具有连续导数 则 f [(x)]d(x)  F[(x)] C.  证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可. [ ( ( )) ] ( ( )) ( ) F u x  x C F u f  x  x           注1.定理4中,若u为自变量时,当然有 f ( u )d u  F ( u )  C  当u 换为(x)时, 就有 f [(x)]d(x)  F[(x)]  C  成立. ——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性. 注2. 凑微分法的关键是“凑” , 凑的目的是把被积函数的 中间变量变得与积分变量相同. 即 f [(x)](x)dx  凑 f [(x)]d(x).  成立

凑微分”的方法有: 1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式 依据恒等变形的原则,把d凑成do(x).如 Je dr =nJed(2x)=)e2+ (2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分dp(x)如 nx nxd Inx=(n x)+C 方法1较简单,而方法2则需一定的技巧,请同学们务必记牢 以下常见的凑微分公式!

4 (1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如 2 1 2 1 2 (2 ) . 2 2 x x x e dx  e d x  e  C   (2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如 “凑微分”的方法有: ln xdx x  方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢 以下常见的凑微分公式！ 3 2 2 ln ln (ln ) 3  xd x  x C 

1d=1d(a)=1a(ax+b0ab为常数a≠0) dx a+1 (a≠-1) dx=d(2√x) +1 3. a dx=d dx de e dx=d( na dx d(arcsin x)=-d(arccos x) d(arctan x)=-d(arc cot x) x 6-=dInx d In(1+x) 1+x 7. sin xdx ==d cos x cos xdx=d sin x

5 1 1. dx d(ax) a  1 1 2. ( 1), 1 x dx dx          1 d(ax b)(a,b ,a 0) a   为常数  2 4. (arcsin ) (arccos ) 1 dx d x d x x     1 dx d(2 x ) x  3. , ln x x a a dx d a  , x x e dx  de ( ) x x e e dx d        2 5. (arctan ) ( cot ) 1 dx d x d arc x x     6. ln , dx d x x  ln(1 ) 1 dx d x x    7.sin xdx  d cos x, cos xdx  d sin x

8.(sin x+cos x dx=d(cos x+sin x) 9(2x+=dx+x)10a d tanx COS x 11 d cotx 例8求下列各式的不定积分 (2) tax ()解a d(3-2 3-2x2J3-2 3-2 (2)解∫ ax d(-3x+1) e 结论1:(ax+b)=(ax+b)d(ax+b)

6 例8 求下列各式的不定积分 3 2 1 (2) . x e dx    1 ( 2 ) (1) 3 2 2 3 2 dx d x x x      解   3 3 2 2 1 1 3 2 2 (2) 1 3 x x e dx e d x         解   （ ） 结论1: 1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) a       8.(sin x  cos x)dx  d(cos x sin x) 2 9.(2x1)dxd(x x) 2 10. tan cos dx d x x  2 11. cot sin dx d x x   1 (3 2 ) 2 3 2 d x x      1 ln 3 2 2    x C 3 2 2 1 3 x e C      (1) ; 3 2 dx  x 

解原式= 2a·a+xa-x d(a+x) (a-x) 2a·a+x a·a-x a+ nla+x Inla-x+C 2a C 2a a-x (a>0) a·d 解原式 arcsin -+C

7 2 2 (3) dx a  x  1 1 1 [ ] 2 dx a a x a x     解 原式  1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 d a x d a x a a x a a x         1 1 ln ln 2 2 a x a x C a a      1 ln 2 a x C a a x     2 2 (4) ( 0) dx a a x    2 2 (1 ( ) ) dx x a a   解 原式  2 ( ) (1 ( ) ) x a d a x a a      2 ( ) (1 ( ) ) x d a x a    arcsin x C a  

x 解原式 dx arctan -+O (1+ +( 例9求下列各式的不定积分 解原式2x=3)=mF2-2x-3+C 结论2:「f(x) dx=In f(x)+C f(x (2) tan xdx 解原式 SIn x d cosx =-Incosx+C=In/ x+C COS X COS x

8 2 2 (5) dx a  x  2 2 (1 ( ) ) dx x a a   解 原式  2 2 ( ) 1 1 ( ) x a d a a x a     2 ( ) 1 1 arctan 1 ( ) x d a x C a x a a a      例9 求下列各式的不定积分 2 3 3 2 (1) 2 3 x dx x x    3 3 ( 2 3) 2 3 d x x x x      解 原式  3  ln x  2x  3  C 结论2: '( ) ln ( ) ( ) f x dx f x C f x    (2) tan xdx  sin cos x dx x  解 原式  cos cos d x x    ln cos x  C  ln sec x  C

不理可得 cot xdx=In lsin x +C=-In esc x+C +nx dx 解原式=∫+ InxdInx=J+x+nx)=2(+hx)2+C 解原式 d(e2+1) 2√e2+1+C e+1 例10求下列各式的不定积分 x 3x2+4 解原式= d(3x2+4) 3x2+4 23x2+43V3x2+4+C

9 同理可得 cot xdx  ln sin x  C  ln csc x  C  1 ln (3) x dx x    1 ln xd ln x 解 原式   1 ln xd(1 ln x)  3 2 2 (1 ln ) 3   x  C 例10 求下列各式的不定积分 (4) 1 x x e dx e   ( 1) 1 x x d e e    解 原式  2 1 x  e  C 2 (1) 3 4 xdx x   2 2 1 2 3 4 dx x   解 原式  2 2 1 (3 4) 3 2 3 4 d x x     1 2 3 4 3  x  C

古论3: f(ax"+b)dx f(ax"+b)d(ax"+b) (2 x(x'+1)dx 解原式=了J(x+Ddx+)=(2++C 解原式=Jcos sin -+C SIn √x 解原式=2sin√dNx=-2cx+C

10 结论3: 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n x f ax b dx f ax b d ax b an        sin (4) x dx x  2 3 2 (2) x (x 1) dx  1 3 2 3 ( 1) ( 1) 3  x  d x  解 原式  1 3 3 ( 1) 9  x  C 2 1 1 (3) cos dx x x  1 1 cos d ( ) x x   解 原式  1 sin C x     2 sin xd x 解 原式   2cos x C