第七章无穷级教 §7.1数项级数的概念与性质 §7.2正项级数 §7.3任意项级数 §7.4霖级数 §7.5函数的幂级教畏开式
第七章 无穷级数 §7.1 数项级数的概念与性质 §7.2 正项级数 §7.3 任意项级数 §7.4 幂级数 §7.5 函数的幂级数展开式 1 ? n n n a x = =
第七章无穷级数 无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数 值计算及其它领域.无穷级数是研究函数的工具,它既可 作为一个函数或一个数的表达式,又可用它求得一些函 数的近似公式;本章主要介绍无穷级数的概念、性质、 收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级 数展开式。 定义1设有一个无穷序列1,l2 用加号把此序列的项依次连接起来的表达式 1+l2+…+Wn+… 称为无穷级数(简称级数).常缩写为∑,其中第n项矶n H=1 叫做级数的一般项或通项.表达式∑矶n=H1+2+…+n+
2 第七章 无穷级数 定义1 设有一个无穷序列 1 2 , , , , u u un 用加号把此序列的项依次连接起来的表达式 u u u 1 2 + + + + n 称为无穷级数(简称级数).常缩写为 1 , n n u = 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项或通项. 1 2 1 n n n u u u u = 表达式 = + + + + 无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数 值计算及其它领域. 无穷级数是研究函数的工具, 本章主要介绍无穷级数的概念、性质、 作为一个函数或一个数的表达式, 又可用它求得一些函 它既可 数的近似公式； 收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级 数展开式
中前n项的和,称为级数∑"n的部分和,记为Sn即 H=1 ∑ =n1+2+…+l 而式∑4中除去S后其余各项的和称为级数∑u的余项 H=1 记为R,即Rn=n1+un2+ 由级数∑u的第n项u的结构给出了两大类级数 (1)若Ln只是n的函数,就称级数∑为常数项级数; (2)若un是x的函数,就称级数∑un(x)为函数项级数
3 由级数 的第 n 项 的结构给出了两大类级数: 1 n n u = un (1)若 un 只是 n 的函数, 1 n n u = (2)若 是 x 的函数, 1 ( ) n n u x = un 中前 n 项的和, 称为级数 1 n n u = 而式 中除去 后其余各项的和称为级数 的余项, 记为 , 即 的部分和, 记为 Sn 即 1 2 1 n n i n i S u u u u = = = + + + 1 n n u = n S 1 n n u = R n 1 2 . R u u n n n = + + + + 就称级数 为常数项级数; 就称级数 为函数项级数
§7.1数项级数的概念与性质 数项级数的概念 定义2若级数∑"n的部分和数列{Sn}的极限imSn n→ 存在,则称级数∑un收敛;否则就发散,当 lim s=S时称 n→ 级数∑un收敛于S,并把S称为级数∑"n的和,记为 ∑un=+2+…+un+…=S H=1 注1当级数收敛时前m项的和星级数和S的近似值, 它们之间的差值Rn=S-Sn=un-称为级数的 余项泪你的近似值所产生的误差就是余项的绝 对值|R
4 §7.1 数项级数的概念与性质 1 2 1 n n n u u u u S = = + + + + = 它们之间的差值 称为级数的 余项. Sn R S S u u n n n n = − = + + + + 1 2 Sn . R n 一. 数项级数的概念 定义2 若级数 的部分和数列 的极限 存在, 1 n n u = { } Sn lim n n S → 1 n n u = lim n n S S → = 1 n n u = 1 n n u = 并把S称为级数 的和, 记为 则称级数 收敛; 否则就发散;当 时,称 级数 收敛于S, 注1 当级数收敛时,前n项的和 是级数和S 的近似值, 用 作S的近似值所产生的误差,就是余项的绝 对值
倒1讨论级数∑a=a+a+…+a+…的敛散性 解因S=m则imS,=mm=∞,故级数发散 例2判定级数 十 n(n+1)1·22.3 n·(n+1) 的敛散性.若收敛,则求出其和 解因 n n·(n+1)nn+1 且 1.22.3 n(n+1 =(1一)+ nn+ n 所以imSn=lim(1 n→ n+1 故级数收敛,其和为1
5 n 1 a a a a = = + + + + 故级数发散. S na n = lim lim , n n n S na → → = = 例1 讨论级数 的敛散性. 例2 判定级数 1 1 1 1 1 n n n n n ( 1) 1 2 2 3 ( 1) = = + + + + + + 的敛散性. 若收敛, 则求出其和. 解 因 1 1 1 ( 1,2, ) ( 1) 1 u n n n n n n = = − = + + 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) 且 Sn n n = + + + + 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 1 n n = − + − + + − + 1 1 n 1 = − + 1 lim lim(1 ) 1 1 所以 n n n S → → n = − = + 故级数收敛, 其和为1. 解 因 则
例3讨论几何级数(或等比级数) ∑qm=a+mg+aq2+…+mqn+ (其中a≠A0,q称为级数的公比,n=m"为它的一般项) 的敛散性.若收敛,则求出其和 解当q≠1时,部分和 mq+mq+…+aq a(1-q q 1)当|q|1时 lim s =lim n→0∥ n→0 q (3)当|q|=1时
6 例3 讨论几何级数(或等比级数) 1 2 1 1 n n n aq a aq aq aq − − = = + + + + + 解 当 q ≠1时, 部分和 (1 ) 1 n a q q − = − (1)当∣q ∣1时, (1 ) lim lim 1 n n n n a q S → → q − = = − (其中a≠0, q 称为级数的公比, 为它的一般项) n 1 u aq n − = (3)当∣q ∣=1时, 的敛散性. 若收敛, 则求出其和. 2 1 n S a aq aq aq n − = + + + +
(i)若q=1时,则 lim S= limna (ⅱ)若q=-1时,则级数成为a-a+a-a+…+a-a+…, 当n为偶数时,Sn=0 当n为奇数时,Sn=a,从而 lim s不存在 n→0 故原级数发散 综上所述有重要结论: 几何级数,∑mn=a+mg+m2+…+mqrn1+ 当|q1<1时,收敛于 q 当q|≥1时,发散
7 (ⅰ)若 q = 1时, 则 lim lim n n n S na → → = = (ⅱ)若 q =–1时, 则级数成为a – a+a – a+…+a – a+…, 0 当 n 为偶数时, Sn = 当 n 为奇数时, , S a n = lim n n S → 几何级数, 1 2 1 1 n n n aq a aq aq aq − − = = + + + + + 1 a − q 故原级数发散. 从而 不存在. 综上所述有重要结论: 当∣ q ∣≥1时, 发散. 当∣q ∣<1时, 收敛于
级数的基本性质 定理1若级数∑和∑v收敛,则级数∑(n,) =1 也收敛,且∑(an±vn)=∑"n±∑ 证设∑,∑v∑(,±vn)部分和分别为Sn,Tn,Hn, H=1 且令 lim s=a, limT=b n→ n→0 则Wn=(1±v)+(l2±v2)+…+(un土vn) =(1+l2+…+Ln)土(v1+V2+…+vn) S士T 所以 lime=lim(Sn±T)=a±b n→0 故∑(n±vn)=∑n土∑ 1
8 二. 级数的基本性质 1 1 n n 和 n n u v = = 也收敛, 且 1 ( ) n n n u v = 1 1 1 ( ) . n n n n n n n u v u v = = = = 定理1 若级数 收敛, 则级数 1 1 1 n n n n , , ( )的部分和 n n n u v u v = = = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) W u v u v u v n n n = + + + = S T n n lim , lim n n n n S a T b → → = = 1 2 1 2 ( ) ( ) = + + + + + + u u u v v v n n 证 设 且令 分别为 则 所以 lim lim( ) n n n n n W S T a b → → = = 1 1 1 故 ( ) n n n n n n n u v u v = = = = , , , S T W n n n
注2两个无穷级数必须收敛才能相加而不象有限 项情形逐项相加总是可行的 注3此定理反之不一定成立例级数 ∑+(-I川收敛,但级数∑1与∑(-1)发散 H=1 H=1 nE 定理2若级数∑un收敛于a,C是一个常数,则级数 ∑mn也收敛于ca 证设∑un与∑cun的部分和分别为S,T c1+c2+……+c S limT= limes = ca n→0 n→0 则级数∑cn收敛于c即∑cn=ca
9 注3 此定理反之不一定成立.例级数 1 [1 ( 1)] n = + − 1 1 1 ( 1) 与 n n = = − 注2 两个无穷级数必须收敛才能相加,而不象有限 项情形,逐项相加总是可行的. 收敛, 但级数 发散. 1 n n u = 定理2 若级数 1 n n cu = 1 1 n n n n u cu = = 与 的部分和 T cu cu cu cS n n n = + + + = 1 2 lim lim n n n n T cS ca → → = = 1 即 n n cu ca = = 也收敛于ca. 收敛于 a, c是一个常数, 则级数 , 证 设 分别为 S T n n 则级数 1 n n cu = 收敛于ca
注4由Tn=CSn,知,若∑un发散,则imSn不存在,从而当 n→∝ c均0时,必有imT不存在这表明:级数的每一项同乘以 个不为零的数所得的级数与原级数具有相同的敛散性 例:级数∑2与之都是收敛的 定理3在级数中增加或去掉有限项级数的敛散性不变。 证因在级数中增加或去掉有限项,总可通过在该级数 前增加或去掉有限项来实现,故只须证在级数前增加或 去掉有限项而其敛散性不变. 设在级数+l2+…+un+un+1+…+unm+n+ 中去掉前m项,则得级数Wn+um+2+…+m+n+
10 一个不为零的数,所得的级数与原级数具有相同的敛散性. 1 , , n n n n T cS u = 由 知 若 = lim n n S → lim n n T → 1 1 1 2 2 n n 与 n n a = = 定理3 在级数中增加或去掉有限项,级数的敛散性不变。 证 因在级数中增加或去掉有限项, 总可通过在该级数 前增加或去掉有限项来实现, 故只须证在级数前增加或 去掉有限项而其敛散性不变. 设在级数 中去掉前m项, 则得级数 c≠0时, 必有 注4 发散, 则 不存在, 从而当 不存在. 这表明: 级数的每一项同乘以 例: 级数 都是收敛的. 1 2 1 (1) u u u u u + + + + + + + m m m n + + 1 2 (2) u u u m m m n + + + + + + +