第十章微分方程 §10.1微分方程的基本概念 §10.2一阶微分方程 §10.3高阶傲分方程 §10.4微分方程的应用
1 第十章 微分方程 §10.1 微分方程的基本概念 §10.2 一阶微分方程 §10.3 高阶微分方程 §10.4 微分方程的应用 ( ) ( ) dy f x g y dx =
第十章微分方程 微积分研究的主要对象是函数.因此,如何寻找函数 关系,这在实践中具有十分重要的意义 在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领 域中,反映变量之间内在联系的函数关系,往往都不能直接 得到而必须通过建立实际问题的数学模型—微分方程, 并求解这个微分方程才能得到 什么是微分方程呢?下面通过具体的实例来引入微分 方程的概念
2 第十章 微分方程 微积分研究的主要对象是函数. 因此, 如何寻找函数 关系, 这在实践中具有十分重要的意义. 在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领 域中, 反映变量之间内在联系的函数关系, 往往都不能直接 得到,而必须通过建立实际问题的数学模型—— 微分方程, 并求解这个微分方程才能得到. 什么是微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入微分 方程的概念
§101微分方程的基本概念 例1求过点(1,3)且斜率为2x的曲线方程 解设所求曲线的方程为y=y(x) 则由题意可知,方程应满足 d d y(1)=3 (2) 将方程(1两端积分,得y=2xx=x2+c(3) 再将(2)式代入(3)式,得c=2 又将c=2代入(3)式,即得所求曲线方程为y=x2+2
3 §10.1 微分方程的基本概念 例1 求过点 (1, 3 ) 且斜率为2 x的曲线方程. 解 设所求曲线的方程为 y = y (x) 再将(2)式代入(3) 式，得 c = 2 又将c = 2代入(3) 式，即得所求曲线方程为 y = x 2 + 2 则由题意可知，方程应满足 2 (1) (1) 3 (2) dy x dx y = = 2 y xdx x c = = + 2 (3) 将方程 (1)两端积分,得
例2某种商品的需求量Q对价格P的弹性为-1.5.已 知该商品的最大需求量(即p=0时的需求量)为80,求需 量Q与价格p的函数关系 解设所求的函数关系为Q=Q(p) p do 则由题意可知,它应满足{Q 15p(1 Q(0)=800 将(1)式整理积分,得Q=ce15(3) 再将(2)式代入(3)式,得c=800 又将c=800代入(3)式,即得所求函数关系为 Q=800-15
4 例2 某种商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为-1.5p. 已 知该商品的最大需求量(即 p = 0 时的需求量) 为800，求需 求量 Q 与价格 p 的函数关系. 解 设所求的函数关系为Q = Q (p) 再将(2)式代入(3) 式，得 c = 800 又将c = 800代入(3) 式，即得所求函数关系为 1.5 800 Q e− p = 则由题意可知，它应满足 1.5 (1) (0) 800 (2) p dQ p Q dp Q = − = 1.5 (3) 将 Q ce = − p (1)式整理积分，得
上述两个例子,有一个共同特点 它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数 导数的方程的求解问题.数学上,人们把这种方程称为 微分方程 一.微分方程及其阶的定义 定义10.1含有未知函数的导数(或偏导数)的方程,称为 微分方程.当未知函数是一元函数时,称为常微分方程;当未 知函数是多元函数时,称为偏微分方程微分方程有时也简称 方程 例如,方程 D,J+x2v=sinx,y+2y'-3y=U, 4+2x=0等都是常微分方程
5 上述两个例子, 有一个共同特点： 定义10.1 含有未知函数的导数(或偏导数)的方程, 称为 微分方程. 当未知函数是一元函数时, 称为常微分方程; 当未 知函数是多元函数时, 称为偏微分方程. 微分方程有时也简称 方程. 一. 微分方程及其阶的定义 它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数 导数的方程的求解问题. 数学上, 人们把这种方程称为 微分方程. 例如, 方程 , 2 ' sin , " 2 ' 3 0, dy x y x y x y y y dx y = − + = + − = 等都是常微分方程. (4) y x + = 2 0
而方程 +m=0,m=4等都是偏微分方程 定义10.2微分方程中出现的未知函数的最高阶导数 的阶数,称为微分方程的阶 例如,方程 ”+P(x)y=q(x)都是一阶微分方程, 方程y"+2y'-3y=x2都是二阶微分方程 般地,n阶微分方程的形式为 F(x,y,y y)=0 其中F是xy,y,…,y(的已知函数,x为自变量,y 为未知函数,且方程中一定含有y)
6 2 2 2 2 2 2 2 2 0, 4 u u u u u x y z x y + + = = 而方程 等都是偏微分方程. 定义10.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数 的阶数, 称为微分方程的阶. 例如, 方程 , ' ( ) ( ) dy x y p x y q x dx y = − + = 都是一阶微分方程, 2 方程 y y y x " 2 ' 3 + − = 都是二阶微分方程. 一般地, n阶微分方程的形式为 ( ) ( , , ', , ) 0 n F x y y y = 其中 F 是 x, y , y ’ , … , y (n) 的已知函数, x 为自变量, y 为未知函数, 且方程中一定含有 y (n)
n阶微分方程的另一种形式为 )=f(x,y,y',…,y"-") 其中∫是x,y,y,…,y(n-1)的已知函数这种已就 最高阶导数解出的方程,称为正规形微分方程 如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导 数都是一次的,则称方程为线性微分方程.线性微分方程 的一般形式为 y+a(x)y a (x)y=f(x) 其中a1(x)、…、an-1(x)、an(x),∫(x)都是x的已 知函数 不是线性方程的微分方程,统称为非线性微分方程
7 ( ) ( 1) ( , , ', , ) n n y f x y y y − = 其中f 是 x , y , y’ , … , y ( n - 1) 的已知函数. 这种已就 最高阶导数解出的方程，称为正规形微分方程. n阶微分方程的另一种形式为 如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导 数都是一次的，则称方程为线性微分方程. 线性微分方程 的一般形式为: ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) n n n y a x y a x y f x − + + + = 其中 a1 (x) 、…、a n-1 (x)、 a n (x), f (x) 都是 x 的已 知函数 . 不是线性方程的微分方程, 统称为非线性微分方程
例如,方程y+xy=sinx,y"+2y-3y=x2是线性微分方程 方程(y")+y-2y=0,y"+y-y2=0是非线性微分方程 微分方程的解 定义10.3设函数y=g(x)在区间D上有连续的阶导 数,并且对任意的x∈D,均有 F(x,p(x),g'(x),…,g((x)≡0 则称函数y=g(x)为微分方程在区间D上的解 如可以验证函数 y=e2是方程y+2y=0的解 y=sinx,y=cosx都是方程y"+y=0的解
8 例如, 方程 3 2 y x y x y y y x ' sin , " ' + = + − = 2 3 是线性微分方程 方程 3 2 ( ") ' 2 0, " ' 0 y y y y y y + − = + − = 是非线性微分方程. 二. 微分方程的解 定义10.3 设函数 y =φ(x) 在区间Ｄ上有连续的n阶导 数, 并且对任意的 x∈Ｄ, 均有 ( ) ( , ( ), '( ), , ( )) 0 n F x x x x 则称函数 y = φ(x) 为微分方程在区间Ｄ上的解. 如可以验证函数 2 ' 2 0 x y e y y − = + = 是方程 的解 y x y x y y = = + = sin , cos " 0 都是方程 的解
定义104若m阶微分方程的解中,含有n个独立任意 常数,则称其为方程的通解若n阶微分方程的解中不含 有任意常数,则称其为方程的特解 例如y=ce是方程y+2y=0的通解 y=c1sinx+c2cosx是方程y"+y=0的通解 y=e2X是方程y"+2y=0的特解 通常将确定微分方程任意常数的条件称为初始条件 n阶微分方程确定任意常数的附加条件为 x=o Vo,y x J J 其中x0,y0,y1,…,yn是待定的n+1个常数
9 定义10.4 若 n阶微分方程的解中, 含有n个独立任意 常数，则称其为方程的通解; 若n阶微分方程的解中不含 有任意常数，则称其为方程的特解. 2 ' 2 0 x y e y y − = + = 是方程 的特解 例如 2 ' 2 0 x y ce y y − = + = 是方程 的通解 1 2 y c x c x y y = + + = sin cos " 0 是方程 的通解 通常将确定微分方程任意常数的条件称为初始条件． n阶微分方程确定任意常数的附加条件为 0 0 0 ( 1) 0 1 1 0 0 1 1 , ' , , , , , , n x x x x n x x n y y y y y y x y y y n − = = − = − = = = 其中 是待定的 +1个常数
我们称这些条件为微分方程的初始条件微分方程 满足初始条件的求解问题称为初值问题.m阶微分方程 的初值问题通常记作 yn)=∫(x,y,y',…,y"-) yo, y (n-1) J-1 微分方程解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分 曲线.初值问题的几何意义,就是求微分方程的通过点 (x0,y0)的那条积分曲线
10 我们称这些条件为微分方程的初始条件. 微分方程 满足初始条件的求解问题称为初值问题. n阶微分方程 的初值问题通常记作 0 0 0 ( ) ( 1) ( 1) 0 1 1 ( , , ', , ) , ' , , n n n x x n x y f x y y y y y y y y y − − − = = = = 微分方程解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分 曲线. 初值问题的几何意义, 就是求微分方程的通过点 的那条积分曲线. 0 0 ( , ) x y