第1章函数极限与连续 1.1函数 1.2极限的概念 1.3极限的运算 1.4函数的连续性
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性 第1章 函数极限与连续 结束
11函数 111函数的概念 定义1设与是两个变量,若当变量x在非空数集D内任取 一个数值时,变量x按照某种对应法则f总有一个确定的 数值y与之对应,则称变量为变量x的函数,记作 x∈Dy=f(x) 称D为该函数的定义域记为D.称为自变量,称为因变量 当自变量取数值x∈D时,与x对应的因变量v的值 称为函数y=f(x)在点处的函数值记为f(xn)或x=x 当x取遍D内的各个数值时,对应的变量y取值的全体组成 数集称做这个函数的值域记为Z。 前页后页结束
前页 后页 结束 当自变量x取数值 时，与 对应的因变量y的值 称为函数 在点 处的函数值,记为 或 . 当x 取遍D内的各个数值时, 对应的变量y 取值的全体组成 0 x D 0 | x x y = 0 x 0 x 0 f x( ) 定义1 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取 一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定的 数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作 称D为该函数的定义域.记为Df ．称x为自变量，称y为因变量. x D 1.1.1 函数的概念 数集称做这个函数的值域.记为Zf 。 1.1 函 数 y f x = ( ) y f x = ( )
11.2函数的表示法 (1)公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关 系,是函数的公式表示法如例1是用公式法表示函数. 例1已知某商品的总成本函数为:C=C()=100÷4 (2)表格法自变量x与因变量的一些对应值用表格列出 例2某工厂全年16月原材料进货数量如下表,这 里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系 7(月) Q(吨) 10 前页后页结束
前页 后页 结束 1.1.2 函数的表示法 例1 已知某商品的总成本函数为： 2 ( ) 100 4 Q C C Q = = + 例2 某工厂全年1—6月原材料进货数量如下表，这 里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系． T(月) 1 2 3 4 5 6 Q(吨) 11 10 12 11 12 12 (1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关 系，是函数的公式表示法.如例1是用公式法表示函数. (2)表格法 自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出
(3)图示法用函数y=(x)的图形给出自变量x与因变量y 之间的关系 例3需求函数与供给函 s 数.Q=从P)Q=0(P) Q=o(P) 如图P表示商品价格,Q 表示需求量供给量,E点 s 为需求和供给平衡点 P 说明 三种表示法各有所长,缺一不可,如三角函数,三角 函数表,三角函数图像,都是表示三角函数,可以相 互补充。 前页后页结束
前页 后页 结束 (3) 图示法 用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y 之间的关系. 例3 需求函数与供给函 数. , 如图.P表示商品价格,Q 表示需求量,供给量,E点 为需求和供给平衡点． Q f P = ( ) Q P =( ) S S E Q P O Q=φ(P) Q=f(P) 说明 三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角 函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相 互补充
注 (1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素 (2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则,则 它们是相同的函数 (3)在实际问题中,函数的定义域是由实际意义确定的 (4)在研究由公式表达的函数时,我们约定:函数的定义 城是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组 成的数集 x+1 例4求函数y x+3 的定义城 解当分母x+3≠0时,此函数式都有意义 因此函数的定义域为(-0,-3)U(-3,+0) 前页后页结束
前页 后页 结束 例4 求函数 的定义域 (1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素。 注: (2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则 它们是相同的函数． (4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义 域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组 成的数集. (3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的. 1 3 x y x + = + 解 当分母 x + 3 0 时,此函数式都有意义 因此函数的定义域为 ( , 3) ( 3, ) − − − +
例5求函数y=√16-x2+ In(sin x)的定义域 解要使函数y有定义,必须使 16-x2≥0 成立 inx>o 即2m x<4 n<x<(2n+1)兀,n=0,±1,±2, 这两个不等式的公共解为 -4≤x<-z与0<x<兀, 所以函数的定义域为|-4,-x)与(0,x) 前页后页结束
前页 后页 结束 例5 求函数 的定义域. 2 y x x = − + 16 ln(sin ) 4 4, 2 (2 1) , 0 1 2 x n x n n 即 ， ， ， − + = 所以函数的定义域为[ 4, ) (0, ) − − 与 . 解 要使函数y 有定义，必须使 2 16 0, sin 0, x x 成立 − − − 4 0 , x x 与 这两个不等式的公共解为
例6设有函数∫(x)=x-1,g(x)=x问它们是否为 x+1 同一个函数 解当x≠-1时,函数值∫(x)=g(x) 但是f(x)的定义域(-∞,+∞) 而8(x)在点x=-1无定义 其定义域为(-0,-1)与(-1,+0) 由于f(x)与g(x)的定义域不同所以它们不是 同一个函数 前页后页结束
前页 后页 结束 解 当 时,函数值 设有函数 ,问它们是否为 同一个函数. 2 1 ( ) 1, ( ) 1 x f x x g x x − = − = + 例6 f x g x ( ) ( ), = ( , ), − + 由于 与 的定义域不同,所以它们不是 同一个函数. f x( ) g x( ) x −1 但是 f x( ) 的定义域 而 在点 无定义 其定义域为 g x( ) x = −1 ( , 1) ( 1, ). − − − + 与
在实际问题中有时会遇到一个函数在定义域的 不同范围内,用不同的解析式表示的情形,这样的函 数称为分段函数 例如符号函数 1,x>0 y=sgx 0 x=0 1。x<0 是一个分段函数,它的定义域为(-∞,+0) 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数,而不 是表示几个函数 前页后页结束
前页 后页 结束 在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的 不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函 数称为分段函数． 例如符号函数 1 0 0 0 1 0 , sgn , , x y x x x = = = − 是一个分段函数，它的定义域为 ( , ) − + 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不 是表示几个函数
例7y=∫(x) 0≤x≤1, 2x,1<x≤2. f(x)的定义域是0,2], 当x∈|0,1时,f(x)=x2当∈(1,2时,f(x)=2x 由于1 l∈[0,1 2 因此f (2 =,f(1)=12=1; 而∈(1,2,因此f 432 3 3. 前页后页结束
前页 后页 结束 2 , 0 1, ( ) 2 , 1 2. x x y f x x x = = f (x)的定义域是[0,2]， 2 2 1 1 1 2 , (1) 1 1; 2 2 4 f f = = = = 因此 1 ,1 [0,1] 2 由于 ， 例7 3 3 3 (1,2] 2 3. 2 2 2 f = = 而 ，因此 当 x [ , ] 0 1 时, 2 f x x ( ) = 当 x ( , ] 1 2 时, f x x ( ) 2 =
11.3复合函数 定义设是n的函数,y=f(ukU,而n是x的函数 u=g(x)x∈D,并且m(x)的值坷包含fn)的定义 域,即g(x)∈U,x∈D,则y通过m的联系也是x的函 数,称此函数是邮u)及=m(x)复合而成的复合 函数,记作y=f|p(x), 并称x为自变量,称u为中间变量. 例8分析函数y=cs2x是由哪几个函数复合而成 解函数=c0s2是由y=c0su,u=2和v=x-1 复合而成并易知其定义域为(-,+∞) 前页后页结束
前页 后页 结束 定义 设y是u的函数，y = f (u)， ，而u是x的函数 ，并且 的值域包含f (u)的定义 域，即 ，则y 通过u 的联系也是x的函 数，称此函数是由y =f(u) 及 复合而成的复合 函数，记作 u x x D = ( )， uU ( ) x U x D ， (x) u =(x) 1.1.3 复合函数 并称 x 为自变量，称 u 为中间变量. y f x = [ ( )], 例8 分析函数 是由哪 几个函数复合而成. 1 cos2x y − = 解 函数y = cos2 x−1 是由 y = cosu， 2 1 v u v x = = − 和 复合而成,并易知其定义域为 ( , ) − +