第7章多元函数微分学 7.1多元函数的概念 72偏导数 73全微分 14多元复合函数与隐函数微分法 75多元面数极值与最值 76偏导数在经济学中的应用
7.1 多元函数的概念 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 多元复合函数与隐函数微分法 7.5 多元函数极值与最值 7.6 偏导数在经济学中的应用 第7章 多元函数微分学 结束
第7章多元函数微分学 7.1.1空间解析几何简介 空间 一维只有一个运动方向或其反方向称为一个自由度 a B C D E 二维有两个独立的、 相互垂直的运动方向, 称为两个自由度 坐标系 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 空间 一维:只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度. 二维:有两个独立的、 相互垂直的运动方向, 称为两个自由度. 7.1.1 空间解析几何简介 第7章 多元函数微分学 A B C D E 坐标系
空间直角坐标系 1空间直角坐标系 过空间定点O作三条互相垂 直的数轴,他们都以原点 且一般具有相同的长度单位。 0 这三条轴分别称为袖 岫,轴,统称坐标轴。通常 把轴和轴配置在水平面上 轴在铅垂方向,他们的指向符 合右手法则 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 过空间定点 ，作三条互相垂 直的数轴，他们都以 为原点 且一般具有相同的长度单位。 这三条轴分别称为 轴, 轴, 轴，统称坐标轴。通常 把 轴和 轴配置在水平面上， 轴在铅垂方向，他们的指向符 合右手法则. O x y z x y z O x y z o
三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面,这样定 出的三个平面统称为坐标平面,分别是 xOy面 yOz面 zOx面 三个坐标平面 把空间分成八 个部分,称为八 J 个卦限 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 3 7 8 6 4 2 5 1 三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样定 出的三个平面统称为坐标平面，分别是 三个坐标平面 把空间分成八 个部分,称为八 个卦限. xOy面 yOz面 zOx面 x y z
取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组(x,y,z) 之间的一一对应关系。 空间任意一点M,过M点作三个平面分别垂直于X 轴、y轴、z轴,它们与κ轴、y轴、z轴的交点分别 为R@g如圄), 设三点在三个坐标轴上的坐标 依次为x,yz于是空间一点 R 就唯一地确定了一个有序数 M 组(x,y,通过直角坐标系,就 建立了空间点与有序数组 之间的xy对应关系 J 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 空间任意一点 ，过 点作三个平面分别垂直于 轴、 轴、 轴，它们与 轴、 轴、 轴的交点分别 为 P 、 Q 、（ R 如图）， M M x y z x y z 设三点在三个坐标轴上的坐标 依次为 ， ， ，于是空间一点 就唯一地确定了一个有序数 组 ，通过直角坐标系，就 建立了空间点 与有序数组 之间的一一对应关系 x y z ( , , ) x y z M (x, y,z) M x y z p Q R M 取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组(x, y, z) 之间的一一对应关系
1空间两点间的距离 设M1(x1,y,1)M2为空间两点, 选取坐标系如图。则空间两点间的距离公式为: MM2|=√(x2-x)2+(y2-y)2+(=2-=)2 特别地,点M(x,到坐标原点的距为 OM x+y+ M y 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 1 空间两点间的距离 设 ， ( 为空间两点， , , ) 2 2 2 2 ( , , ) M x y z 1 1 1 1 M x y z 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) 特别地，点 M (x, y 到坐标原点 ,z) O 的距离为 (0,0,0) ： 2 2 2 OM = x + y + z M1 x y z M2 x y z M 选取坐标系如图。则空间两点间的距离公式为： 1 x 2 x z1 y2 z2 y1
<又112空间的平面和直线的一般方程 由天空间中任一平面都可以用一个三元一次方程 来表示,而任一三元一次方程的图形都是一个平面 所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方 程 Ax+By+Ckd=0 由于空间直线可以看作是两个B+(+D=0 平面的交线,因此空间中两个平 面的方程联立而成的方程组: Ax+B,y+cz+D,=o A2x+B2y+C2+D2=0 叫做空间直线的一般方程。2x++C2D2=0 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 7.1.1.2 空间的平面和直线的一般方程 由于空间中任一平面都可以用一个三元一次方程 来表示，而任一三元一次方程的图形都是一个平面， 所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方 程。 Ax + By +Cz + D = 0 由于空间直线可以看作是两个 平面的交线，因此空间中两个平 面的方程联立而成的方程组： 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = 叫做空间直线的一般方程。 2 2 2 2 A x B y C z D + + + = 0 Ax By Cz D + + + = 0
7.1.1.3空间曲面和空间曲线的一般方程 1.曲面的方程 在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹 F(x,y,3)=0 曲面上任一点的坐标都满 足方程,不在曲面上的点 F(x, y, 3=0 的坐标都不满足方程,则 称此方程为曲面的方程, 而曲面就叫做方程的图形。 -(x,y) 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 7.1.1.3 空间曲面和空间曲线的一般方程 1．曲面的方程 曲面上任一点的坐标都满 足方程，不在曲面上的点 的坐标都不满足方程，则 称此方程为曲面的方程， 而曲面就叫做方程的图形。 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹 F x y z ( , , ) 0 = ( , ) x y z F x y z ( , , ) 0 =
2.空间曲线的一般方程 空间曲线可看成是两曲面的交线设F(x,y,z)=0和 G(x,y,z)=0是两个曲面方程 则方程组 ∫F(x,,)=0 F(x,y,=0 G(x,y,z)=0 称为空间曲线的一般方程 即曲线上任何一点都要同 G(x, 3,2)20 时满足两个曲面方程。 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 空间曲线可看成是两曲面的交线设 和 是两个曲面方程 F x y z ( , , ) 0 = 2．空间曲线的一般方程 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z = = 称为空间曲线的一般方程 即曲线上任何一点都要同 时满足两个曲面方程。 G x y z ( , , ) 0 = F x y z ( , , ) 0 = G x y z ( , , ) 0 = 则方程组
71.2多元函数的概念 1引例 例1矩形面积S与长x,宽有下列依赖关系 S=xy(x>0y>0), 其中长x和宽y是两个独立的变量,在它们变化范围内 当x,y的值取定后,矩形面积S有一个确定值之对应 例2为某商品的销售量,为商品的销售价格,为购 买商品的人数为设此种商品的销售量PN 有关系:Q=a-bP+cN(a>0,b>0) 其中a,b,(均为正常数 前页)《后页)结束
前页 后页 结束 7.1.2 多元函数的概念 例1 矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系 S=xy (x>0,y>0)， 1.引例 其中长x 和宽y 是两个独立的变量，在它们变化范围内， 当x，y 的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应. 为某商品的销售量， 为商品的销售价格， 为购 买商品的人数为设此种商品的销售量 与 ， Q Q = a −bP+ cN (a 0 , b 0) P N Q P N 有关系： 其中，a ，b ， c均为正常数 例2