《经济数学基础》课程教学资源：第四章 向量（4.2-4.3）方阵的特征值与特征向量、实对称矩阵的对角化

能二节降的特征作与特您向量 w吧w吧w吧行吧吧好产

、特征值与特征向量的概念 定义1设4是n阶矩阵如果数和n维非零列向量 使关系式 成立那末,这样的数称为方阵4的特征值非零向 量x称为的对应于特征值的特征向量 说明1.特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的 2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组 (4-aE)x=0有非零解的值,即满足方程A-E =0的都是矩阵A的特征值

说明 1.特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A     = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量     x A A Ax x A n n x =

3.A-E=0 12 1 22 =0 nI n2 称以为未知数的一元m次方程A-E=0 为A的特征方程 记f(4)=A-AE,它是的n次多项式称其 为方阵A的特征多项式

3. A − E = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

4设m阶方阵A=(n)的特征值为气,, n,则有 (1)A1+2+…+n=a1+a2+…+amn; (2)元12…n=A

( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij  =    (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A

例1求/3-1 的特征值和特征向量 13 解A的特征多项式为 3-元-1 2 (3-x) 1 13-元 =8-62+x2=(4-4)(2-) 所以A的特征值为1=2,2=4 当1=2时,对应的特征向量应满足 3-2-1x1(0 -13-2 2

解例 1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量   − − A = A的特征多项式为  − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 00 1 3 2 3 2 1 2 , 21 1    =   − − − − = xx 当 时 对应的特征向量应满足

即 x1-x2=0, x1+x2=0. 解得x=x,所以对应的特征向量可取为p12 当2=4时,由 (3-4-1丫x)(0 13-4八x2 0~1-1x1 1-1八x2)(0 解得x1=-x2,所以对应的特征向量可取为

   − + = − = 0. 0, 1 2 1 2 x x x x 即 , 解得x1 = x2 . 1 1 1       所以对应的特征向量可取为 p = , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2        =            − − − −        =            − − − − = x x x x 即 当 时 由 . 1 1 , 2 1 2       − = = − p 解得 x x 所以对应的特征向量可取为

例2求矩阵A=-430的特征值和特征向量 102 解A的特征多项式为 1-A1 0 A-E=-43-x0=(2-4)(-) 102-2 所以A的特征值为1=2,2=3=1. 当A1=2时,解方程(4-2E)x=0由

例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量   −− A = 解 (2 )(1 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 2       = − − − − − − − A− E = A的特征多项式为2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

3 0 100 A-2E=-410~010 100丿(000 0 得基础解系 P1 0 所以kD1k≠0是对应于1=2全部特征值 当2=3=时,解方程(A-E)x=0由 210)(101 A-E=-420~012 10 000

, 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4 1 0 3 1 0 2 ~                     − − A − E = , 1 0 0 1           得基础解系 p = ( 0) 2 . 所以k p1 k  是对应于1 = 的全部特征值 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 , 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A − E =

得基础解系 所以kp2(k≠0是对应于a2=3=1的全部特征值

, 1 2 1 2           − − 得基础解系 p = ( 0) 1 . 所以k p2 k  是对应于 2 =  3 = 的全部特征值

21 例3设4=020求A的特征值与特征向量 -413 解 2- A-0E=02-元0 13-几 =-(2+1(2-2), 令-(+12-2)2=0 得4的特征值为1=-1,2=3=2

例３ 设 , 4 1 3 0 2 0 2 1 1           − − A = 求A的特征值与特征向量． 解     − − − − − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A E ( 1)( 2) , 2 = −  +  − ( 1)( 2) 0 2 令 −  +  − = 1, 2. 得A的特征值为1 = − 2 = 3 =