2003年考研数学(三)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) X Cos 若x≠0, (1)设∫(x)= 其导函数在ⅹ=0处连续,则λ的取值范围是A>2 0, 0, 【分析】当x≠0可直接按公式求导,当x=0时要求用定义求导 【详解】当λ>1时,有 f(x) 显然当>2时,有lnf(x)=0=f'(0),即其导函数在x=0处连续 【评注】原题见《考研数学大串讲》P21【例5】(此考题是例5的特殊情形 (2)已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切,则b2可以通过a表示为b2=4a 【分析】曲线在切点的斜率为0,即y=0,由此可确定切点的坐标应满足的条件, 再根据在切点处纵坐标为零,即可找到b2与a的关系 【详解】由题设,在切点处有 y=3x2-3a2=0,有 又在此点y坐标为0,于是有 0=x-3a2x+b=0 【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件,同时切点还应满足曲线方程 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P36第一大题第(3)小题 (3)设a0,f(x)=g(x)= a若05x51而D表示全平面,则 o.其他, 1=f(x)g(y-x)dxdy=a 【分析】本题积分区域为全平面,但只有当0≤x≤10≤y-x≤1时,被积函数才不 为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 【详解】=( f(x)g(-xdxdy a"dxdy 0≤xs1,0≤y-x≤l ∫"=a[(x+1)-x
1 2003 年考研数学（三）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) = = x x x x f x 若 若 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是 2 . 【分析】 当 x 0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导. 【详解】 当 1 时，有 0, 0, 0, , 1 sin 1 cos ( ) 1 2 = + = − − x x x x x x f x 若 若 显然当 2 时，有 lim ( ) 0 (0) 0 f x f x = = → ，即其导函数在 x=0 处连续. 【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例 5】（此考题是例 5 的特殊情形）. （2）已知曲线 y = x − a x + b 3 2 3 与 x 轴相切，则 2 b 可以通过 a 表示为 = 2 b 6 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y = 0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件， 再根据在切点处纵坐标为零，即可找到 2 b 与 a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 3 3 0 2 2 y = x − a = ，有 . 2 2 x0 = a 又在此点 y 坐标为 0，于是有 0 3 0 0 3 2 = x0 − a x + b = , 故 (3 ) 4 4 . 2 2 2 4 6 0 2 2 0 2 b = x a − x = a a = a 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四 P.36 第一大题第（3）小题. （ 3 ） 设 a>0 ， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) = = 而 D 表示全平面，则 = − D I f (x)g(y x)dxdy = 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 0 x 1,0 y − x 1 时，被积函数才不 为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 = − D I f (x)g(y x)dxdy = a dxdy x y x 0 1,0 − 1 2 = [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − = +
【评注】若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积 函数不为零的区域的公共部分上积分即可 完全类似例题见《数学复习指南》P191【例8.16-17】 (4)设n维向量a=(a,0.…,0,a)1,a<0:E为n阶单位矩阵,矩阵 A=E-aa, B=E+-ad, 其中A的逆矩阵为B,则a=-1 【分析】这里aa为n阶矩阵,而aa=2a2为数,直接通过AB=E进行计算并 注意利用乘法的结合律即可 【详解】由题设,有 AB=(E-aaE+-aa) =E-aX't-aa =E-aa+ ala'a)a =E-aCt=aa-2aad =E+(-1-2a+-)a=E 于是有 2a+-=0,即2a2+a-1=0,解得a=,a=-1.由于A<0,故a=1 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P305第2大题第(5)小题 (5)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为 0.9 【分析】利用相关系数的计算公式即可 【详解】因为 cov(Y,Z)=cov(Y,X-0.4)=E[(Y(X-0.4)-E(Y)E(X-0.4) =E(XY)-0.4E(Y)-E(Y)E(X)+0.4E(Y) =E(XY)-E(XE(Y=coV(X, Y), 且DZ=DY 于是有cov(Y,Z= 502mxD==09 【评注】注意以下运算公式:DX+a)=DX,covX,+a)=covX,Y) 完全类似例题见《数学复习指南》P475【例332】的【注】 (6)设总体X服从参数为2的指数分布,X12X2…,Xn为来自总体X的简单随机样
2 【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积 函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例 8.16-17】 . （4）设 n 维向量 = (a,0, ,0,a) ,a 0 T ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 T A = E − ， T a B E 1 = + ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 . 【分析】 这里 T 为 n 阶矩阵，而 2 2a T = 为数，直接通过 AB = E 进行计算并 注意利用乘法的结合律即可. 【详解】 由题设，有 ) 1 ( )( T T a AB = E − E + = T T T T a a E − + − 1 1 = T T T T a a E ( ) 1 1 − + − = T T T a a E 2 1 − + − = E a E a T + − − + ) = 1 ( 1 2 , 于是有 0 1 −1− 2 + = a a ，即 2 1 0 2 a + a − = ，解得 , 1. 2 1 a = a = − 由于 A<0 ,故 a=-1. 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305 第 2 大题第（5）小题 . （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 Z = X −0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 0.9 . 【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为 cov(Y,Z) = cov(Y, X − 0.4) = E[(Y(X − 0.4)] − E(Y)E(X − 0.4) = E(XY) − 0.4E(Y) − E(Y)E(X ) + 0.4E(Y) =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 DZ = DX. 于是有 cov(Y,Z)= DY DZ cov(Y,Z) = 0.9. cov( , ) = XY = DX DY X Y 【评注】 注意以下运算公式： D(X + a) = DX ，cov(X,Y + a) = cov(X,Y). 完全类似例题见《数学复习指南》P.475【例 3.32】的【注】 . （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， X X Xn , , , 1 2 为来自总体 X 的简单随机样
本,则当n→∞时,Y=∑x2依概率收敛于1 【分析】本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 X1,X2,…,Xn,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值: P I X EX,(n→∞) 【详解】这里X2,X2…X2满足大数定律的条件,且 X2=DX1+(EX1)2=+()2 因此根据大数定律有 y=∑x2依概率收敛于∑Ex2=1 【评注】大数定律见《数学复习指南》P484 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) 1)设f)为不恒等于零的奇函数,且f(O)存在,则函数g(x)=/(x) (A)在x=0处左极限不存在 (B)有跳跃间断点x=0 (C)在x=0处右极限不存在 D)有可去间断点ⅹ=0 【分析】由题设,可推出fO)=0,再利用在点ⅹ=0处的导数定义进行讨论即可 【详解】显然x=0为g(x)的间断点,且由f(x)为不恒等于零的奇函数知,fO)=0. 于是有mg(x)=m(x)=m(x)=O=f(0)存在,故x=0为可去间断点 【评注1】本题也可用反例排除,例如f(x)x则此时g(x=x1x≠0 可排除 0,x=0 (A),(B)、(C)三项,故应选(D) 【评注2】若(x)在x=x处连续,则lmnf(x)=Af(x)=0,f(x)=A 本题事实上相当于考查此结论,详情可参见《考研数学大串讲》P18的重要结论与公式 (2)设可微函数f(xy)在点(x0,y)取得极小值,则下列结论正确的是 (A)f(x0,y)在y=y处的导数等于零.(B)f(x0,y)在y=y处的导数大于零 (C)f(x0,y)在y=y处的导数小于零.(D)f(x0,y)在y=y处的导数不存在
3 本，则当 n → 时， = = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于 2 1 . 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 X X Xn , , , 1 2 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： ( ). 1 1 1 1 → → = = EX n n X n n i i n p i i 【 详 解 】 这 里 2 2 2 2 1 , , , X X Xn 满足大数定律的条件，且 2 2 ( ) EXi = DX i + EXi = 2 1 ) 2 1 ( 4 1 2 + = ，因此根据大数定律有 = = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于 . 2 1 1 1 2 = = n i EXi n 【评注】 大数定律见《数学复习指南》P.484 . 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数 x f x g x ( ) ( ) = (A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出 f(0)=0 , 再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 (0) 0 ( ) (0) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 0 f x f x f x f x g x x x x = − − = = → → → 存在，故 x=0 为可去间断点. 【评注 1】 本题也可用反例排除，例如 f(x)=x, 则此时 g(x)= 0, 0, 0, 1, = = x x x x 可排除 (A),(B),(C) 三项，故应选(D). 【评注 2】 若 f(x)在 0 x = x 处连续，则 ( ) 0, ( ) . ( ) lim 0 0 0 0 A f x f x A x x f x x x = = = → − . 本题事实上相当于考查此结论，详情可参见《考研数学大串讲》P.18 的重要结论与公式. （2）设可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零. （B） ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数大于零. (C) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数小于零. (D) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数不存在. [ A ]
【分析】可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论 详解】可微函数f(xy)在点(x0,y)取得极小值,根据取极值的必要条件知 ∫"(x0,yo)=0,即f(x0,y)在y=y处的导数等于零,故应选(A) 【评注1】本题考查了偏导数的定义,f(x0,y)在y=y处的导数即f”(x0,y0):而 f(x,y)在x=x处的导数即∫(x0,y0) 【评注2】本题也可用排除法分析,取f(x,y)=x2+y2,在(000可微且取得极小 值,并且有f(0,y)=y2,可排除(B)(C),(D),故正确选项为(A) (3)设pn qn 2=1,2,…,则下列命题正确的是 (A)若∑an条件收敛,则∑pn与∑q都收敛 (B)若∑an绝对收敛,则∑Pn与∑qn都收敛 (O)若∑an条件收敛,则∑Pn与∑9n敛散性都不定 (D)若∑an绝对收敛,则∑pn与∑qn敛散性都不定 【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案 【详解】若∑an绝对收敛,即∑a收敛,当然也有级数∑an收敛,再根据 a+ p, 及收敛级数的运算性质知,∑Pn与∑qn都收敛,故应选 【评注】完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P23第二大题第(3)小 (4)设三阶矩阵A=bab,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有 bb (A)a=b或a+2b=0 (B)a=b或at+2b≠0 (C)a≠b且a+2b=0 (D)a≠b且at2b≠0
4 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论. 【详解】 可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，根据取极值的必要条件知 f y (x0 , y0 ) = 0 ，即 ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零, 故应选(A). 【评注 1】 本题考查了偏导数的定义， ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数即 ( , ) 0 0 f x y y ；而 ( , ) 0 f x y 在 0 x = x 处的导数即 ( , ). 0 0 f x y x 【评注 2】 本题也可用排除法分析，取 2 2 f (x, y) = x + y ，在(0,0)处可微且取得极小 值，并且有 2 f (0, y) = y ，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A). （3）设 2 n n n a a p + = ， 2 n n n a a q − = ， n = 1,2, ，则下列命题正确的是 (A) 若 n=1 n a 条件收敛，则 n=1 n p 与 n=1 n q 都收敛. (B) 若 n=1 n a 绝对收敛，则 n=1 n p 与 n=1 n q 都收敛. (C) 若 n=1 n a 条件收敛，则 n=1 n p 与 n=1 n q 敛散性都不定. (D) 若 n=1 n a 绝对收敛，则 n=1 n p 与 n=1 n q 敛散性都不定. [ B ] 【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若 n=1 n a 绝对收敛，即 n=1 an 收敛，当然也有级数 n=1 n a 收敛，再根据 2 n n n a a p + = ， 2 n n n a a q − = 及收敛级数的运算性质知， n=1 n p 与 n=1 n q 都收敛，故应选 (B). 【评注】 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P.23 第二大题第（3）小 题. （4）设三阶矩阵 = b b a b a b a b b A ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b 0. (C) a b 且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. [ C ]
【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件 【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知,秩(A)=2,故有 b)a-b)=0,即有a+2b=0或a= 但当a=b时,显然秩(A)≠2,故必有a≠b且a+2b=0.应选(C) 【评注】n(n≥2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系 r(a)=n, r(A*)={1,r(4)=n-1 0,r(A)<n-1 完全类似例题见《数学复习指南》P329【例3.31】 (5)设a1,a2…,a,均为n维向量,下列结论不正确的是 (A)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,k,,都有ka1+k2a2+…+ka,≠0, 则a1,a2,…,a,线性无关 (B)若a12a2,…,a,线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,…k,都有 ka1+k2a2+…+k,a,=0 (C)a12a2,…,a,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s (D)∝1,a2,…,a,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的等 价表现形式.应注意是寻找不正确的命题 【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数k1,k2…k,,都有 ka1+k2a2+…+k,a,≠0,则a1,a2,…a,必线性无关,因为若ax1,a2,…,a,线性相关 则存在一组不全为零的数k1k2,…,k,使得ka1+k2a2+…+k,a,=0,矛盾.可见(A) 成立 (B)若a1,a2…a,线性相关,则存在一组,而不是对任意一组不全为零的数 k1,k2,…,k,都有ka1+k2a2+…+ka,=0.(B)不成立 (C)a12a2,…,a,线性无关,则此向量组的秩为s:反过来,若向量组a1a2,…,a,的秩 为s,则a12a2,…,Q,线性无关,因此(C)成立
5 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件. 【详解】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有 ( 2 )( ) 0 2 = a + b a − b = b b a b a b a b b ，即有 a + 2b = 0 或 a=b. 但当 a=b 时，显然秩(A) 2 , 故必有 a b 且 a+2b=0. 应选(C). 【评注】 n（n 2) 阶矩阵 A 与其伴随矩阵 A*的秩之间有下列关系： ( ) 1. ( ) 1, ( ) , 0, 1, , ( *) − = − = = r A n r A n n r A n r A 完全类似例题见《数学复习指南》P.329【例 3.31】. （5）设 s , , , 1 2 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，都有 k11 + k2 2 ++ ks s 0， 则 s , , , 1 2 线性无关. (B) 若 s , , , 1 2 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，都有 0. k11 + k2 2 ++ ks s = (C) s , , , 1 2 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D) s , , , 1 2 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等 价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题. 【 详 解 】 (A): 若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 s k , k , , k 1 2 , 都 有 k11 + k2 2 ++ ks s 0 ，则 s , , , 1 2 必线性无关，因为若 s , , , 1 2 线性相关， 则存在一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ,使得 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 ，矛盾. 可见（A） 成立. (B): 若 s , , , 1 2 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，都有 0. k11 + k2 2 ++ ks s = (B)不成立. (C) s , , , 1 2 线性无关,则此向量组的秩为 s；反过来，若向量组 s , , , 1 2 的秩 为 s，则 s , , , 1 2 线性无关，因此(C)成立
(D)a1,a2,…a,线性无关则其任一部分组线性无关,当然其中任意两个向量线性无 关,可见(D)也成立 综上所述,应选(B) 【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如,原命题:若存在一组不全为零的数 k1,k2,…,k,使得ka1+k2a2+…+k,a,=0成立,则a1a2,…a,线性相关其逆否 命题为:若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…k,,都有ka1+k2a2+…+k,a,≠0, 则α1,a2,…α,线性无关在平时的学习过程中,应经常注意这种原命题与其逆否命题的等 价性 与本题完全类似例题见《数学复习指南》P313【例34】 (6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次 出现正面},A3={正、反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件 (A)A1,A2,A43相互独立 (B)A2,43,A4相互独立 (C)A1,A2,A3两两独立 (D)A2A3,A4两两独立 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可,注意应先检查两两独立,若成 再检验是否相互独立 【详解】因为 P(A)2,P4)F(A)2’P4小s 且P(A142)=元,P(A1A3) P(A2A,) P(A2A4)=P(41A2A3)=0 4 可见有 P(4A2)=P(A1)P(A2),P(A143)=P(4)P(A3),P(A243)=P(A2)P(A) P(41A42A4)≠P(A1)P(A2)P(A43),P(A2A4)≠P(A2)P(A4) 故A1,A2,A3两两独立但不相互独立;A2,A3,A4不两两独立更不相互独立,应选(C) 【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的,否则结论不一定成立 本题考查两两独立与相互独立的差异,其要点可参见《数学复习指南》P 三、(本题满分8分) f(x)= D SIn A T(1-)”121)
6 (D) s , , , 1 2 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无 关，可见(D)也成立. 综上所述，应选(B). 【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使得 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 成立，则 s , , , 1 2 线性相关. 其逆否 命题为：若对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，都有 k11 + k2 2 ++ ks s 0， 则 s , , , 1 2 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等 价性. 与本题完全类似例题见《数学复习指南》P.313【例 3.4】. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1 ={掷第一次出现正面}， A2 ={掷第二次 出现正面}， A3 ={正、反面各出现一次}， A4 ={正面出现两次}，则事件 (A) 1 2 3 A , A , A 相互独立. (B) 2 3 4 A , A , A 相互独立. (C) 1 2 3 A , A , A 两两独立. (D) 2 3 4 A , A , A 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成 立，再检验是否相互独立. 【详解】 因为 2 1 ( ) P A1 = ， 2 1 ( ) P A2 = ， 2 1 ( ) P A3 = ， 4 1 ( ) P A4 = ， 且 4 1 ( ) P A1A2 = ， 4 1 ( ) P A1A3 = ， 4 1 ( ) P A2 A3 = ， 4 1 ( ) P A2 A4 = P(A1A2A3 ) = 0 ， 可见有 ( ) ( ) ( ) P A1A2 = P A1 P A2 ， ( ) ( ) ( ) P A1A3 = P A1 P A3 ， ( ) ( ) ( ) P A2A3 = P A2 P A3 ， ( ) ( ) ( ) ( ) P A1A2A3 P A1 P A2 P A3 ， ( ) ( ) ( ) P A2A4 P A2 P A4 . 故 1 2 3 A , A , A 两两独立但不相互独立； 2 3 4 A , A , A 不两两独立更不相互独立，应选(C). 【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立. 本题考查两两独立与相互独立的差异，其要点可参见《数学复习指南》P.401 . 三 、（本题满分 8 分） 设 ,1). 2 1 , [ (1 ) 1 sin 1 1 ( ) − = + − x x x x f x
试补充定义1)使得fx)在[1]上连续 【分析】只需求出极限mf(x),然后定义f(1)为此极限值即可 【详解】因为 f(r)=lim[+ x+" sin T(1-x) 1 1 (1 x)sn +-lim ZT -Z COS TA I T II-T cOS A-T coS Dx-(1-x)T sn A 由于f(x)在[1)上连续,因此定义 f(1) 使f(x)在[上连续 【评注】本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,还考查了连续的概念 在计算过程中,也可先作变量代换y=1-x,转化为求y→0的极限,可以适当简化 完全类似例题在一般教科书上都可找到,或参见《文登数学全真模拟试卷》P数学三P24 三题 四、(本题满分8分) 设山具有三阶连续偏导数,且满足。+5=1,又g(xy)=nx31(x2-y g g 【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题:g=f(,v),u=xy,v=(x2-y2), 直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用2/=8 Quay ovau 7
7 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 ,1] 2 1 [ 上连续. 【分析】 只需求出极限 lim ( ) 1 f x x→ − ，然后定义 f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为 lim ( ) 1 f x x→ − = ] (1 ) 1 sin 1 1 lim [ x 1 x x − x + − → − = x x x x x (1 )sin (1 ) sin lim 1 1 1 − − − + → − = x x x x x sin (1 ) cos cos lim 1 1 1 − + − − − + → − = x x x x x x cos cos (1 ) sin sin lim 1 1 2 2 1 − − − − + → − = . 1 由于 f(x)在 ,1) 2 1 [ 上连续，因此定义 1 f (1) = ， 使 f(x)在 ,1] 2 1 [ 上连续. 【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念. 在计算过程中，也可先作变量代换 y=1-x，转化为求 → + y 0 的极限，可以适当简化. 完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》P.数学三 P.24 第三题. 四 、（本题满分 8 分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 1 2 2 2 2 = + v f u f ，又 ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y , 求 . 2 2 2 2 y g x g + 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题： g = f (u,v) ， ( ) 2 1 , 2 2 u = xy v = x − y ， 直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用 . 2 2 v u f u v f =
详解g=y9+x9 agf可 y 2=y20+2y0+x22+g 8-x23-2,0+202f 所以38+8=(x2+y)9+(x+) 【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导 完全类似例题《数学复习指南》P171【例720,722】 五、(本题满分8分) 计算二重积分 I=lle-(r+ty-x)sin(x2+y2)dxdy 其中积分区域D(xy)2+y2≤} 【分析】从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算 详解】作极坐标变换:x= rcos 6,y=rsnO,有 n(x+y ) dxdy del resin r2dr 令t=r2,则 记A=[ e sin to,则 A=-e-lint de = cos tde
8 【详解】 v f x u f y x g + = ， . v f y u f x y g − = 故 v f v f x u v f x y u f y x g + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f v f y v u f x y u f x y g − + − = 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) v f x y u f x y y g x g + + = + + = . 2 2 x + y 【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 完全类似例题《数学复习指南》P.171【例 7.20,7.22】. 五 、（本题满分 8 分） 计算二重积分 sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = + − + − 其中积分区域 D= {( , ) }. 2 2 x y x + y 【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换： x = r cos , y = rsin ，有 I e e x y dxdy D x y sin( ) ( ) 2 2 2 2 = + − + = sin . 2 0 0 2 2 e d re r dr r − 令 2 t = r ，则 I e e tdt t sin 0 − = . 记 A e tdt t sin 0 − = ，则 t t A e de − − = − int 0 = [ sin cos ] 0 0 − − − − e t e tdt t t = − − 0 cos t tde
sin tdt] =e-+1-A 因此A=(1+e), 12+ex)=2(+e") 【评注】本题属常规题型,明显地应该选用极坐标进行计算,在将二重积分化为定积 分后,再通过换元与分步积分(均为最基础的要求),即可得出结果,综合考查了二重积分 换元积分与分步积分等多个基础知识点 六、(本题满分9分) 求幂级数1+∑-y2(<)的和函数f及其极值 【分析】先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数,注意当x=0时和为1.求出 和函数后,再按通常方法求极值 【详解】 f(x)=∑ 上式两边从0到x积分,得 f(x)-f0)=- -dt 1+ 由f(0=1,得 f(x)=1-(1+x2)(x<1) 令∫(x)=0,求得唯一驻点x=0.由于 f∫"(x)= 12、25 (1+x f"(0)=-1<0, 可见fx)在x=0处取得极大值,且极大值为 【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级 数情形,然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P285数学三模拟试题(五)第八题 七、(本题满分9分) 设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件
9 = [ cos sin ] 0 0 e t e tdt t t − − − + = e +1− A. − 因此 (1 ) 2 1 − A = + e ， (1 ). 2 (1 ) 2 e e e I = + = + − 【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积 分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、 换元积分与分步积分等多个基础知识点. 六、（本题满分 9 分） 求幂级数 = + − 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) n n n x n x 的和函数 f(x)及其极值. 【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当 x=0 时和为 1. 求出 和函数后，再按通常方法求极值. 【详解】 . 1 ( ) ( 1) 1 2 2 1 = − + = − = − n n n x x f x x 上式两边从 0 到 x 积分，得 ln(1 ). 2 1 1 ( ) (0) 2 0 2 dt x t t f x f x = − + + − = − 由 f(0)=1, 得 ln(1 ),( 1). 2 1 ( ) 1 2 f x = − + x x 令 f (x) = 0 ，求得唯一驻点 x=0. 由于 , (1 ) 1 ( ) 2 2 2 x x f x + − = − f (0) = −1 0 ， 可见 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=1. 【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级 数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.285 数学三模拟试题（五）第八题. 七、（本题满分 9 分） 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 (−,+) 内满足以下条件：
∫(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e (1)求F(x)所满足的一阶微分方程 (2)求出F(x)的表达式 【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数,提示应先对F(x)求导,并将其 余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程 【详解】(1)由 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) g(x)+∫(x) =[f(x)+g(x)2-2f(x)g(x) =(2e2)2-2F(x) 可见F(x所满足的一阶微分方程为 F(x)+2F(x)=4e2 2dx (2)F(x)=el =e+Ce 将F(0)=f(0)g(0=0代入上式,得 于是 F(x=elr-e-2r 【评注】本题没有直接告知微分方程,要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的 形式,从题型来说比较新颖,但具体到微分方程的求解则并不复杂,仍然是基本要求的范围. 完全类似例题在文登数学辅导班上介绍过,也可参见《文登数学全真模拟试卷》数学 三P17第三题 八、(本题满分8分) 设函数f(x)在0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f0)+f(1)+(2)=3,f(3)1试证必存在 ∈(0,3),使∫(5)=0 【分析】根据罗尔定理,只需再证明存在一点c∈[0,3),使得∫(c)=1=f(3),然后 在[c3]上应用罗尔定理即可.条件fO+()+(2)=3等价于f(O)+f(1)+(2) 1,问题转 3 化为1介于f(x)的最值之间,最终用介值定理可以达到目的 【详解】因为fx)在[0,3上连续,所以fx)在[0,2]上连续,且在0,2上必有最大
10 f (x) = g(x) ， g (x) = f (x) ，且 f(0)=0, ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e (1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其 余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程. 【详解】 (1) 由 F(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) = ( ) ( ) 2 2 g x + f x =[ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 f x + g x − f x g x =(2 2 ) x e -2F(x), 可见 F(x)所满足的一阶微分方程为 ( ) 2 ( ) 4 . 2x F x + F x = e (2) ( ) [ 4 ] 2 2 2 F x e e e dx C dx x dx + = − = [ 4 ] 2 4 e e dx C x x + − = . 2x 2x e Ce− + 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C=-1. 于是 ( ) . 2x 2x F x e e − = − 【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的 形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围. 完全类似例题在文登数学辅导班上介绍过，也可参见《文登数学全真模拟试卷》数学 三 P.17 第三题. 八、（本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 (0,3) ，使 f ( ) = 0. 【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点 c [0,3) ，使得 f (c) = 1 = f (3) ，然后 在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件 f(0)+f(1)+f(2)=3 等价于 1 3 (0) (1) (2) = f + f + f ，问题转 化为 1 介于 f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的. 【详解】 因为 f(x)在[0，3]上连续，所以 f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大