2003年考研数学(二)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)若x→0时,(1-ax2)4-1与xsnx是等价无穷小,则a 【分析】根据等价无穷小量的定义,相当于已知n(1-ax2) 1,反过来求a.注 x→+0xSmx 意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简 【详解】当x→>0时,(1-ax2 w--ax, xsin xx 于是,根据题设有lim sling -a=1,故a=4 x→0 xSIn x 【评注】本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P38【例1.62】 (2)设函数y=(x)由方程xy+2hx=y2所确定,则曲线y=x)在点(1,1)处的切线方 程是 【分析】先求出在点(1,1)处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可 【详解】等式xy+2hx=y4两边直接对x求导,得 y+xy’+==4y3y 将x=1,y=1代入上式,有y'(1)=1.故过点(1,1)处的切线方程为 y-1=1(x-1),即 【评注】本题属常规题型,综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点,类似例 题见《数学复习指南》P55【例2.13】和【例214】 (3)y=2的麦克劳林公式中x"项的系数是(h2) 【分析】本题相当于先求y=fx)在点x=0处的n阶导数值f"(O),则麦克劳林公式 中x"项的系数是(0 【详解】因为y=2h2,y”=2(h2)2,…,y4=2(h2)”,于是有 0()=(h2),故麦克劳林公式中x”项的系数是”(0)_(m2)
1 2003 年考研数学（二）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） 若 x →0 时， (1 ) 1 4 1 2 − ax − 与 xsin x 是等价无穷小，则 a= -4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知 1 sin (1 ) lim 4 1 2 0 = − → x x ax x ，反过来求 a. 注 意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简. 【详解】 当 x →0 时， 4 2 1 2 4 1 (1− ax ) −1 ~ − ax ， 2 x sin x ~ x . 于是，根据题设有 1 4 4 1 1 lim sin (1 ) lim 2 2 0 4 1 2 0 = − = − = − → → a x ax x x ax x x ，故 a=-4. 【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38 【例 1.62】. （2） 设函数 y=f(x)由方程 4 xy + 2ln x = y 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方 程是 x-y=0 . 【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式 4 xy + 2ln x = y 两边直接对 x 求导，得 y y x y + xy + = 3 4 2 ， 将 x=1,y=1 代入上式，有 y (1) = 1. 故过点(1,1)处的切线方程为 y −1 = 1(x −1) ，即 x − y = 0. 【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例 题见《数学复习指南》P.55 【例 2.13】和【例 2.14】. （3） x y = 2 的麦克劳林公式中 n x 项的系数是 ! (ln 2) n n . 【分析】 本题相当于先求 y=f(x)在点 x=0 处的 n 阶导数值 (0) (n) f ，则麦克劳林公式 中 n x 项的系数是 . ! (0) ( ) n f n 【详解】 因为 2 ln 2 x y = ， 2 2 (ln 2) x y = ， x x n , y 2 (ln 2) ( ) = ，于是有 n n y (0) (ln 2) ( ) = ，故麦克劳林公式中 n x 项的系数是 . ! (ln 2) ! (0) ( ) n n y n n =
【评注】本题属常规题型,在一般教材中都可找到答案 (4)设曲线的极坐标方程为p=e(a>0),则该曲线上相应于b从0变到2x的 段弧与极轴所围成的图形的面积为1 【分析】利用极坐标下的面积计算公式S=[p2(0d0即可 【详解】所求面积为 p2(k0= 2ae/2x 【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算,也可化为参数方程求面积,但计算 过程比较复杂.完全类似例题见《数学复习指南》P200【例738】 (5)设a为3维列向量,a是a的转置若a=-1 1|,则 【分析】本题的关键是矩阵aa的秩为1,必可分解为一列乘一行的形式,而行向 量一般可选第一行(或任一非零行),列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成 【详解】由aC 11],知a 于是 aa= 【评注】一般地,若n阶矩阵A的秩为1,则必有A=[b2 完全类似例题见《数学复习指南》P389【例211】和《考研数学大串讲》P162【例 13】 6)设三阶方阵AB满足A2B-A-B=E,其中E为三阶单位矩阵,若
2 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4） 设曲线的极坐标方程为 = e (a 0) a ，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的 一段弧与极轴所围成的图形的面积为 ( 1) 4 1 4 − a e a . 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式 S d = ( ) 2 1 2 即可. 【详解】 所求面积为 S d e d a = = 2 0 2 2 0 2 2 1 ( ) 2 1 = = 2 0 2 4 1 a e a ( 1) 4 1 4 − a e a . 【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算 过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》P.200 【例 7.38】. （5） 设 为 3 维列向量， T 是 的转置. 若 − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T ，则 T = 3 . 【分析】 本题的关键是矩阵 T 的秩为 1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向 量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成. 【详解】 由 − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T = 1 1 1 1 1 1 − − ，知 = − 1 1 1 ，于是 3. 1 1 1 1 1 1 = = − − T 【评注】 一般地，若 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有 . 1 2 2 1 n n b b b a a a A = 完全类似例题见《数学复习指南》P.389 【例 2.11】和《考研数学大串讲》P.162 【例 13】. （ 6） 设三阶方阵 A,B 满足 A B − A− B = E 2 ，其中 E 为三阶单位矩阵，若
A=020,则=1 【分析】先化简分解出矩阵B,再取行列式即可 详解】由A2B-A-B=E知, (A--E)B=A+E, Ep (A+EA-E)B=A+E 易知矩阵A+E可逆,于是有(A-E)B=E 再两边取行列式,得4-EB=1, 00 因为|4-E=|010=2,所以 【评注】本题属基本题型,综合考查了矩阵运算与方阵的行列式,此类问题一般都应 先化简再计算.完全类似例题见《考研数学大串讲》P160【例11】 选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且man=0,lmbn=1,lmcn=∞,则必有 (A)an<b对任意n成立 (B)bn<Cn对任意n成立 (C)极限 lim ac不存在 (D)极限 lim b.c不存在 【分析】本题考查极限概念,极限值与数列前面有限项的大小无关,可立即排除(A)、(B) 而极限 lim a c是0·型未定式,可能存在也可能不存在,举反例说明即可:极限 lim b c 属1·∞型,必为无穷大量,即不存在 【详解】用举反例法,取。2,bn=1,cn=m(n=12,…),则可立即排除 (A)、(B)(C),因此正确选项为(D) 【评注】对于不便直接证明的问题,经常可考虑用反例,通过排除法找到正确选项.完 全类似方法见《数学最后冲刺》P179 (2)设an=3[mx√+x,则极限mmn等于 (B)(1+e-)2-1 (C)(1+e-)2 (D)(1+e)2-1
3 − = 2 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，则 B = 2 1 . 【分析】 先化简分解出矩阵 B，再取行列式即可. 【详解】 由 A B − A− B = E 2 知， (A − E)B = A+ E 2 ，即 (A + E)(A − E)B = A + E ， 易知矩阵 A+E 可逆，于是有 (A − E)B = E. 再两边取行列式，得 A− E B =1， 因为 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 = − A − E = , 所以 B = 2 1 . 【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应 先化简再计算. 完全类似例题见《考研数学大串讲》P.160 【例 11】. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 { },{ },{ } n n n a b c 均为非负数列，且 lim = 0 → n n a ,lim = 1 → n n b , = → n n lim c ,则必有 (A) an bn 对任意 n 成立. (B) n n b c 对任意 n 成立. (C) 极限 n n n a c → lim 不存在. (D) 极限 n n n b c → lim 不存在. [ D ] 【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限 n n n a c → lim 是 0 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限 n n n b c → lim 属 1 型，必为无穷大量，即不存在. 【详解】 用举反例法，取 n an 2 = ， bn =1， ( 1,2, ) 2 1 cn = n n = ，则可立即排除 (A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完 全类似方法见《数学最后冲刺》P.179. （2）设 a x x dx n n n n n = + + − 1 2 3 1 0 1 , 则极限 n n na → lim 等于 (A) (1 ) 1 2 3 + e + . (B) (1 ) 1 2 3 1 + − − e . (C) (1 ) 1 2 3 1 + + − e . (D) (1 ) 1 2 3 + e − . [ B ]
【分析】先用换元法计算积分,再求极限 【详解】因为 +x=3[1+xd(+ 2 (1+x")2 {1+(-)"]2-1 n 可见 lim na=lm{[1+()"]2-1}=(1+e-)2-1 n+1 【评注】本题属常规题型,综合考査了定积分计算与求数列的极限两个知识点,但定 积分和数列极限的计算均是最基础的问题,一般教材中均可找到其计算方法 3)已知y=,x是微分方程y=2+(-)的解,则o()的表达式为 (A)-y D A 【分析】将ylnx 代入微分方程,再令的中间变量为u,求出()的表达式,进 而可计算出q() 【详解】将y=,代入微分方程y=2+(-),得 In Inx In x +0(hx),即Phx)=-、1 令lnx=u,有o() 故q( 应选(A) 【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来,具有一定的综合性,但 问题本身并不复杂,只要仔细计算应该可以找到正确选项 (4)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点
4 【分析】 先用换元法计算积分，再求极限. 【详解】 因为 a x x dx n n n n n = + + − 1 2 3 1 0 1 = 1 (1 ) 2 3 1 0 n n n n x d x n + + + = ) ] 1} 1 {[1 ( 1 (1 ) 1 2 3 1 0 2 3 − + + = + + n n n n n n n x n ， 可见 n n na → lim = ) ] 1} (1 ) 1. 1 lim{[1 ( 2 3 2 1 3 − = + − + + − → e n n n n 【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定 积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法. （3）已知 x x y ln = 是微分方程 ( ) y x x y y = + 的解，则 ( ) y x 的表达式为 （A） . 2 2 x y − (B) . 2 2 x y (C) . 2 2 y x − (D) . 2 2 y x [ A ] 【分析】 将 x x y ln = 代入微分方程，再令 的中间变量为 u，求出 (u) 的表达式，进 而可计算出 ( ) y x . 【详解】将 x x y ln = 代入微分方程 ( ) y x x y y = + ，得 (ln ) ln 1 ln ln 1 2 x x x x = + − ，即 x x 2 ln 1 (ln ) = − . 令 lnx=u，有 2 1 ( ) u u = − ，故 ( ) y x = . 2 2 x y − 应选(A). 【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但 问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项. （4）设函数 f(x)在 (−,+) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]
【分析】答案与极值点个数有关,而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点, 共4个,是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定 【详解】根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3个,而x=0则是导数不 存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值点 一个极大值点;在x=0左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x=0为极大值点,故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C) 【评注】本题属新题型,类似考题2001年数学一、二中曾出现过,当时考查的是已 知fx)的图象去推导∫(x)的图象,本题是其逆问题.完全类似例题在文登学校经济类串讲 班上介绍过 (5)设1=-a,l2= x,则 (A)1>12>1 (B)1>l1>12 (C)12>1>1 (D)1>12>1 【分析】直接计算l12l2是困难的,可应用不等式tanx>xx>0 【详解】因为当x>0时,有tanx>x,于是 tan x ,1= 兀I2 - dx 可见有1>12且l2s时,向量组Ⅱl必线性相关 (C)当rs时,向量组I必线性相关 【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:若向量组I 1a2,…a可由向量组I:B13B2,…,B,线性表示,则当r>s时,向量组I必线性相关 或其逆否命题:若向量组I:a1,a2,…,a1可由向量组Ⅱ:B1,B2,…,B,线性表示,且向量
5 y O x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点， 共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不 存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点， 一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注】 本题属新题型，类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已 知 f(x)的图象去推导 f (x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲 班上介绍过. （5）设 = 4 0 1 tan dx x x I , dx x x I = 4 0 2 tan , 则 (A) 1. I 1 I 2 (B) 1 . 1 2 I I (C) 1. I 2 I 1 (D) 1 . 2 1 I I [ B ] 【分析】 直接计算 1 2 I ,I 是困难的，可应用不等式 tanx>x, x>0. 【详 解 】 因为当 x>0 时，有 tanx>x， 于是 1 tan x x ， 1 tan x x ，从而有 4 tan 4 0 1 = dx x x I ， tan 4 4 0 2 = dx x x I ， 可见有 1 2 I I 且 4 2 I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B). 【评注】 本题没有必要去证明 I 1 1 ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项. （6）设向量组 I： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，则 (A) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关. [ D ] 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I ： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，则当 r s 时，向量组 I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组 I： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，且向量
组I线性无关,则必有r≤s.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案 【详解】用排除法:如a1≈/0) (oB、=03/0,则=0月+0月,但B,B 线性无关,排除(A):ar1= a=B2=0|,则a1a2可由B1线性表示,但月线 性无关,排除(B):a1=月 ,a1可由B1,B2线性表示,但a1线性无 关,排除(C).故正确选项为(D 【评注】本题将一已知定理改造成选择题,如果考生熟知此定理应该可直接找到答案 若记不清楚,也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P409定 理11 三、(本题满分10分) In(1+ax) x0. xsin 问a为何值时,f(x)在x=0处连续;a为何值时,x=0是fx)的可去间断点? 【分析】分段函数在分段点ⅹ=0连续,要求既是左连续又是右连续,即 f(0-0)=f(0)=f(0+0) 【详解】f(0-0)=lmnf(x)=l1+ax2)=m →0°x- arcsin x x0x- arcsin x fax x+01=-6a f(0+O)=lim f(x)=lim e+r-ar-l xsIn 4 lim e"+x-ax 4 lim =2a2+4
6 组 I 线性无关，则必有 r s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解】用排除法：如 = = = 1 0 , 0 1 , 0 0 1 1 2 ，则 1 0 1 0 2 = + ，但 1 2 , 线性无关，排除(A)； = = = 0 1 , 0 1 , 0 0 1 2 1 ，则 1 2 , 可由 1 线性表示，但 1 线 性无关，排除(B)； = = = 1 0 , 0 1 , 0 1 1 1 2 ，1 可由 1 2 , 线性表示，但 1 线性无 关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案， 若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定 理 11. 三 、（本题满分 10 分） 设函数 0, 0, 0, , 4 sin 1 6, , arcsin ln(1 ) ( ) 2 3 = + − − − + = x x x x x e x ax x x ax f x ax 问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？ 【分析】 分段函数在分段点 x=0 连续，要求既是左连续又是右连续，即 f (0 − 0) = f (0) = f (0 + 0). 【详解】 x x ax x x ax f f x x x x arcsin lim arcsin ln(1 ) (0 0) lim ( ) lim 3 0 3 0 0 − = − + − = = → − → − → − = 1 1 3 lim 1 1 1 3 lim 2 2 0 2 2 0 − − = − − → − → − x ax x ax x x = 6 . 2 1 3 lim 2 2 0 a x ax x = − − → − 4 sin 1 (0 0) lim ( ) lim 2 0 0 x x e x ax f f x ax x x + − − + = = → + → + = 2 4. 2 2 4 lim 1 4 lim 2 0 2 2 0 = + + − = + − − → + → + a x ae x a x e x ax ax x ax x
令f(0-0)=f(0+0),有-6a=2a2+4,得a=-1或a=-2 当a=-1时,linf(x)=6=f(0),即fx)在x=0处连续 当a=2时,lnf(x)=12≠f(0),因而x=0是f(x)可去间断点 【评注】本题为基本题型,考查了极限、连续与间断等多个知识点,其中左右极限的 计算有一定难度,在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P22【例1.38-39】,《考研数学大串讲》 P15【例23】,《文登数学全真模拟试卷》数学二P3第四题 四、(本题满分9分) 设函数y=y(x)由参数方程 y=am>D所确定,求y d x I r=9 【分析】本题为参数方程求二阶导数,按参数方程求导的公式进行计算即可.注意当 时,可相应地确定参数t的取值 【详解】由 2et =4t, dt 1+2Int t 1+2nt dr dy 2et 得=m_1+2ht 2(1+2ht) dt 所以 d-y d dy e dx dt dx dx 2(1+2In ()t 4t 4n2(1+2hn)2 当x=9时,由x=1+2t2及t1得t=2,故 dx2|x9-4n2(1+2hn)21m2-16(1+2h2) 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P53【例29】,《考研数学大串讲》P15【例 五、(本题满分9分) 计算不定积分 xe山 ctan x 【分析】被积函数含有根号√1+x2,典型地应作代换: x-tant,或被积函数含有反三 7
7 令 f (0 − 0) = f (0 + 0) ，有 6 2 4 2 − a = a + ，得 a = −1 或 a = −2. 当 a=-1 时， lim ( ) 6 (0) 0 f x f x = = → ，即 f(x)在 x=0 处连续. 当 a=-2 时， lim ( ) 12 (0) 0 f x f x = → ，因而 x=0 是 f(x)的可去间断点. 【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的 计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.22 【例 1.38-39】, 《考研数学大串讲》 P.15 【例 23】，《文登数学全真模拟试卷》数学二 P.3 第四题. 四 、（本题满分 9 分） 设函数 y=y(x)由参数方程 ( 1) 1 2 , 1 2ln 1 2 = = + + t du u e y x t t u 所确定，求 . 9 2 2 x= dx d y 【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当 x=9 时，可相应地确定参数 t 的取值. 【详解】由 t et t t e dt dy t 1 2ln 2 2 1 2ln 1 2 ln + = + = + ， t dt dx = 4 ， 得 , 4 2(1 2ln ) 1 2ln 2 t e t t et dt dx dt dy dx dy + = + = = 所以 dt dx dx dy dt d dx d y 1 ( ) 2 2 = = t t t e 4 2 1 (1 2ln ) 1 2 2 + − = . 4 (1 2ln ) 2 2 t t e + − 当 x=9 时，由 2 x = 1+ 2t 及 t>1 得 t=2, 故 . 4 (1 2ln ) 16(1 2ln 2) 2 2 2 2 9 2 2 + = − + = − = = e t t e dx d y x t 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.53 【例 2.9】, 《考研数学大串讲》P.15 【例 23】. 五 、（本题满分 9 分） 计算不定积分 . (1 ) 2 3 2 arctan dx x xe x + 【分析】 被积函数含有根号 2 1+ x ，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三
角函数 arctan,同样可考虑作变换: arctan=t,即ⅹ=tant 【详解】设x=tant,则 arctan e tan t (+rxd l a+ tan n s sec td =Je sin dt 又「e' sin tdt=-e' d cost ecost +e sin t-e' sin tdt 故 e(sin t-cost)+C 因此 rre ctan.r dx=-e arctan r ratan x 【评注】本题也可用分布积分法: (1+x2 xe 1+x2 arctan x arctan x xe +x 移项整理得 ddx +c 本题的关键是含有反三角函数,作代换 arctan x=t或tant=x,完全类似例题见《数学 复习指南》P86【例323】以及P90习题12 六、(本题满分12分) 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数 (1)试将x=x(y)所满足的微分方程+(y+snx)=0变换为y=(x)满足的微
8 角函数 arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即 x=tant. 【详解】 设 x = tan t ，则 dx x xe x + 2 3 2 arctan (1 ) = tdt t e t t 2 2 3 2 sec (1 tan ) tan + = e sin tdt. t 又 e tdt e d t t t sin cos = − = (e cost e costdt) t t − − = e t e t e tdt t t t cos sin sin − + − ， 故 (sin cos ) . 2 1 e sin tdt e t t C t t = − + 因此 dx x xe x + 2 3 2 arctan (1 ) = C x x x e x + + − + ) 1 1 1 ( 2 1 2 2 arctan = . 2 1 ( 1) 2 arctan C x x e x + + − 【评注】本题也可用分布积分法： dx x xe x + 2 3 2 arctan (1 ) = x de x x arctan 2 1 + = dx x e x xe x x + − + 2 3 2 arctan 2 arctan 1 (1 ) = x x de x x xe arctan 2 2 arctan 1 1 1 + − + = dx x x e x e x x e x x x + − + − + 2 3 2 arctan 2 arctan 2 arctan 1 1 (1 ) ， 移项整理得 dx x xe x + 2 3 2 arctan (1 ) = . 2 1 ( 1) 2 arctan C x x e x + + − 本题的关键是含有反三角函数，作代换 arctan x = t 或 tant=x, 完全类似例题见《数学 复习指南》P.86【例 3.23】以及 P.90 习题 12. 六 、（本题满分 12 分） 设函数 y=y(x)在 (−,+) 内具有二阶导数，且 y 0, x = x( y) 是 y=y(x)的反函数. (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 ( sin )( ) 0 3 2 2 + + = dy dx y x dy d x 变换为 y=y(x)满足的微
分方程 (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y(0)=的解 【分析】将女转化为少比较简单,女=1=1,关键是应注意 d y dy d d dx. d dx 然后再代入原方程化简即可 【详解】(1)由反函数的求导公式知 ,于是有 dy dydy 代入原微分方程得 (2)方程(*)所对应的齐次方程y”-y=0的通解为 Y=C 设方程(*)的特解为 y=Acos x+ Bsin x, 代入方程(*),求得A=0,B=-,故y=-Snx,从而y"-y=snx的通解是 r+y =Cle+C 由y(0)=0,y(0)=,得C1=1,C2=-1.故所求初值问题的解为 【评注】本题的核心是第一步方程变换,完全类似例题见《数学复习指南》P53的【例 .8】和P59的【例222】 七、(本题满分12分) 讨论曲线y=4血x+k与y=4x+h4x的交点个数
9 分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 y(0) = 0, y (0) = 的解. 【分析】 将 dy dx 转化为 dx dy 比较简单， dy dx = y dx dy = 1 1 ，关键是应注意： ( ) 2 2 dy dx dy d dy d x = = dy dx dx y d ) 1 ( = 2 3 ( ) 1 y y y y y = − − . 然后再代入原方程化简即可. 【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 dy y dx = 1 ，于是有 ( ) 2 2 dy dx dy d dy d x = = dy dx dx y d ) 1 ( = 2 3 ( ) 1 y y y y y = − − . 代入原微分方程得 y − y = sin x. ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程 y − y = 0 的通解为 . 1 2 x x Y C e C e − = + 设方程( * )的特解为 y Acos x Bsin x * = + ， 代入方程( * )，求得 2 1 A = 0, B = − ，故 y sin x 2 * 1 = − ，从而 y − y = sin x 的通解是 sin . 2 1 1 2 * y Y y C e C e x x x = + = + − − 由 2 3 y(0) = 0, y (0) = ，得 C1 =1,C2 = −1. 故所求初值问题的解为 sin . 2 1 y e e x x x = − − − 【评注】 本题的核心是第一步方程变换，完全类似例题见《数学复习指南》P.53 的【例 2.8】和 P.59 的【例 2.22】. 七 、（本题满分 12 分） 讨论曲线 y = 4ln x + k 与 y x x 4 = 4 + ln 的交点个数
【分析】问题等价于讨论方程h4x-4hx+4x-k=0有几个不同的实根.本题相当 于一函数作图题,通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数(与ⅹ轴交点的个数) 【详解】设(x)=hnx-4hx+4x-k,↑y 则有(x) 4(h3x-1+x) 4-k 不难看出,x=1是q(x)的驻点 当01时,φ(x)>0,即φ(x)单调 增加,故()=4-k为函数q(x)的最小值 当k0时,(x)=0无实根,即两条曲线无交点; 当k=4,即4k=0时,g(x)=0有唯一实根,即两条曲线只有一个交点 当k>4,即4k<0时,由于 lm (x)=lim [n x(h'x-4)+4x-k]=+oo Im (x)=lim [n x(nx-4)+4x-k]=+oo 故q(x)=0有两个实根,分别位于(0,1)与(1,+∞)内,即两条曲线有两个交点 【评注】讨论曲线与坐标轴的交点,在构造辅助函数时,应尽量将待分析的参数分离 开来,使得求导后不含参数,便于求驻点坐标 完全类似例题见《数学复习指南》P192的【例724】和《数学题型集粹与练习题集》 P89的【例6.18-19】以及《文登数学全真模拟试卷》数学二P1第二大题第(2)小题. 八、(本题满分12分) 设位于第一象限的曲线y=x)过点(22 ),其上任一点Pxy)处的法线与y轴的 交点为Q,且线段PQ被x轴平分 (1)求曲线y=f(x)的方程 (2)已知曲线y=sinx在[0,x]上的弧长为l,试用/表示曲线y=f(x)的弧长s 【分析】(1)先求出法线方程与交点坐标Q,再由题设线段PQ被x轴平分,可转化为 微分方程,求解此微分方程即可得曲线y=(x)的方程.(2)将曲线y=(x)化为参数方程,再 利用弧长公式s=[√x2+y2d进行计算即可 【详解】(1)曲线y=(x)在点P(xy)处的法线方程为
10 【分析】问题等价于讨论方程 ln 4ln 4 0 4 x − x + x − k = 有几个不同的实根. 本题相当 于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与 x 轴交点的个数）. 【详解】 设 (x) = ln x − 4ln x + 4x − k 4 ， y 则有 . 4(ln 1 ) ( ) 3 x x x x − + = 4-k 不难看出，x=1 是 (x) 的驻点. O 1 x 当 0 x 1 时， (x) 0 ，即 (x) 单调减少；当 x>1 时， (x) 0 ，即 (x) 单调 增加，故 (1) = 4 − k 为函数 (x) 的最小值. 当 k0 时， (x) = 0 无实根，即两条曲线无交点； 当 k=4，即 4-k=0 时， (x) = 0 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即 4-k<0 时，由于 = − + − = + → + → + lim ( ) lim [ln (ln 4) 4 ] 3 0 0 x x x x k x x ； = − + − = + →+ →+ lim ( ) lim [ln (ln 4) 4 ] 3 x x x x k x x ， 故 (x) = 0 有两个实根，分别位于(0,1)与 (1,+) 内，即两条曲线有两个交点. 【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离 开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标. 完全类似例题见《数学复习指南》P.192 的【例 7.24】和《数学题型集粹与练习题集》 P.89 的【例 6.18-19】以及《文登数学全真模拟试卷》数学二 P.1 第二大题第（2）小题. 八 、（本题满分 12 分） 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ) 2 1 , 2 2 ( ，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的 交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程； (2) 已知曲线 y=sinx 在 [0, ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s. 【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标 Q，再由题设线段 PQ 被 x 轴平分，可转化为 微分方程，求解此微分方程即可得曲线 y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再 利用弧长公式 s x y dt b a = + 2 2 进行计算即可. 【详解】 (1) 曲线 y=f(x)在点 P(x,y)处的法线方程为