实验数据处理方法 第一部分:概率论基础 第四章 特殊的概率密度函数
实验数据处理方法 第一部分：概率论基础 第四章 特殊的概率密度函数
概率分布函数反映了随机变量的概率分布规律; 在概率论中处理概率分布时一般不涉及分布的物理来源,为 在实验数据分析中正确地掌握和运用这些分布函数,需要: 熟悉公式及运算规则; 分布的物理意y; 实验数据处理中所用到的概率分布的来源: 1.实验所涉及到的物理问题本身的统计性质带来的,这类 分布比较多样化,是和所处理的物理问题有直接的联系; 2.对实验测量结果作数据处理时F引进的。这一类分布比 较标准化,且处理的方法也比较明确; 本章内容: 数据处理过程中常用的概率分布函数,给出它们的定义、 性质和实际应用
• 概率分布函数反映了随机变量的概率分布规律； • 在概率论中处理概率分布时一般不涉及分布的物理来源，为 在实验数据分析中正确地掌握和运用这些分布函数，需要： – 熟悉公式及运算规则； – 分布的物理意义； • 实验数据处理中所用到的概率分布的来源： 1. 实验所涉及到的物理问题本身的统计性质带来的，这类 分布比较多样化，是和所处理的物理问题有直接的联系； 2. 对实验测量结果作数据处理时所引进的。这一类分布比 较标准化，且处理的方法也比较明确； • 本章内容： – 数据处理过程中常用的概率分布函数，给出它们的定义、 性质和实际应用
第四章 特殊的概率密度函数 4二项式分布 Binomial Distribution)
第四章 特殊的概率密度函数 4.1 二项式分布 （Binomial Distribution)
4.二项式分布 Binomial distribution 、定义(亦称伯努利分布) 考虑一个随机实验的两个互斥的结果:成功和失败,设成功的概率为, 则不成功的椰率为1=q。在m次独立的实验中,有r次成功的概率为: B(r,n,p)=p(1-p) n-1 01,2 二、性质 1.满足归一化条件 ∑B(r;n,p) 证:∑B(,nP)=∑p(-p)=∑|pq=(p+q =0(F
− = − − = = − n r n r n r n r n p p r n r n B r n p r n r !( )! ! ( ; , ) (1 ) , 0,1,2, ( ; , ) (1 ) ( ) 1 ( ; , ) 1 0 0 0 0 = + = − = = = = − = = − = n n r r n r n r n r r n r n r p q p q r n p p r n B r n p B r n p 4.1 二项式分布 （Binomial distribution) 一、定义（亦称伯努利分布）： 考虑一个随机实验的两个互斥的结果：成功和失败，设成功的概率为p， 则不成功的概率为1-p=q。在n次独立的实验中，有r次成功的概率为： 二、性质： 1. 满足归一化条件 证：
4.二项式分布 Binomial distribution 2.在变换(r;p)<→(m-,1-)下保持不变:B(r;n)=B(m-r;m,1-p) 3.当p=q=0.5时,是对称的; 0.40 0.4 对于任意的p值,是非对称的; 0.30 0.30 当n增大时,分布趋于对称: n= 5 p=0.2 p=0.5 当n很大时,近似为正态分布 0.20 0.10 4.服从二项式分布的随机变量r的平均值和 方差: 0246r 02468r 0.30 30 E(r=np n=10 n=1 D=0.5 ()=Er-E)=m(-p)=y1 0.20 三、应用: 0 46 02468 给出进行N次实验有r次成功的概率。 020 0.20 010 0.10 04812 0481216
V r E r E r np p npq E r np − = − = = ( ) [ ( )] (1 ) ( ) 2 4.1 二项式分布 （Binomial distribution) 2. 在变换(r,p)➔(n-r,1-p)下保持不变：B(r;n,p)=B(n-r;n,1-p) 3. 当p=q=0.5时，是对称的; 对于任意的p值，是非对称的; 当n增大时，分布趋于对称; 当n很大时，近似为正态分布 4. 服从二项式分布的随机变量r 的平均值和 方差: 三、应用： 给出进行N次实验有r次成功的概率
4.二项式分布 Binomial distribution 例1:直方图( Histogram) 考虑一直方图,设A表示一事例落入Bini,A表示某事例落入直方图 中其它的Bin,如果共有n个独立的事例,其中有r个事例落入Bini n-r个事例分布于其它的Bn→r服从二项式分布 Bin冲事例数r的期望值和方差 u=E(r)=np 一维散点图 v(r=np(1-P) 概率p是未知的,可由实验结果估计: 维直方图 r的标准偏差 a=√T(r)=1r(1 x
4.1 二项式分布 （Binomial distribution) 例1：直方图（Histogram) 考虑一直方图，设A表示一事例落入Bin i，A表示某事例落入直方图 中其它的Bin，如果共有n个独立的事例，其中有r个事例落入Bin i， n -r个事例分布于其它的Bin ➔r服从二项式分布 Bin i中事例数r的期望值和方差： μ≡ E(r) = n p V(r) = n p (1 - p) r的标准偏差： → → = = − r n n r V r r , ( ) (1 ) 概率p是未知的，可由实验结果估计： n r p = p ˆ = 一维散点图 一维直方图 x r i x
4.二项式分布 Binomial distribution 例2.设在某实验中,所期望的事例出现的概率为p。问,需要作多少次实 验才能使至少有一个这样的事例出现的概率为a? 设在N次实验中共出现了X这样的事例。X服从二项式分布 B(X;M,)≈/4 (1-p 至少有一个这样的事例出现的概率 p(X≥1)=∑B(X;N,p)=1-B(0,N,P)≥a 1-p(X=0)=1-B(0;N,p)≥a B(0;N,p)=(1-p) (1-p)≤1 N≥og(1-a)/log(1-p)
4.1 二项式分布 （Binomial distribution) 例2．设在某实验中，所期望的事例出现的概率为p。问，需要作多少次实 验才能使至少有一个这样的事例出现的概率为α？ 设在N次实验中共出现了X这样的事例。X服从二项式分布 X n X p p X N B X N p − − ( ; , ) = (1 ) 1 ( 1) ( ; , ) 1 (0; , ) N X p X B X N p B N p = = = − 至少有一个这样的事例出现的概率： log(1 ) log(1 ) (1 ) 1 (0; , ) (1 ) 1 ( 0) 1 (0; , ) N p p B N p p p X B N p N N − − − − = − − = = −
N次 成功次数r ○●●○○○ N次实验观测到r次(二项式分布) ○○○○○ ○0○●●○○○ 3 口 计数 ○○●○●③ 3
0 2 1 3 2 3 1 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 3 N 次实验观测到 r 次（二项式分布） 计 数 N次 成功次数r
4.二项式分布 Binomial distribution 几何分布 作一系列独立的伯努利实验,前r-1次实验失败,第次成功的概率 g(r,p)=p(1-p) 不是从m次实验中抽取的 负二项式分布 作一系列独立的伯努利实验,在第r次实验中事件是第A次成功,这类 事件的概率为: P(r p) p*(1-py- 超几何分布 M个元素,其中a个表示成功,N个表示失败,从M个元素中一次抽 取n个元素,其中有个成功,n-个失败的概率为: N-ala N, n, a) n-I
4.1 二项式分布 （Binomial distribution) 几何分布 负二项式分布 超几何分布 作一系列独立的伯努利实验，前r-1次实验失败，第r次成功的概率： 1 ( , ) (1 )r g r p p p − = − 1 ( ; ) (1 ) 1 k r k k r P r p p p k − − = − − 不是从n次实验中抽取的。 作一系列独立的伯努利实验，在第r次实验中事件是第k次成功，这类 事件的概率为： ( ; , , ) N a a N P r N n a n r r n − = − N个元素，其中a个表示成功，N-a个表示失败，从N个元素中一次抽 取n个元素，其中有r个成功，n-r个失败的概率为：
4.二项式分布 Binomial distribution - a-I 超几何分布的期望值和方差为: na E(r) n a 当n≤N时,超几何分布近似为二项式分布 B(r, n, P 其中P=N
4.1 二项式分布 （Binomial distribution) ( ) na E r N = 超几何分布的期望值和方差为： ( ) (1 ) 1 N n na a V r N N N − = − − 当 n N 时，超几何分布近似为二项式分布 B r n p ( ; , ) 其中 。 a p N = a-r r n-r N-a