学校 以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过 2005年数学四试题分析、详解和评注 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)极限 lim x sin 【分析】本题属基本题型,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可 2 【详解】 lim x sin =im x 【评注】若在某变化过程下,a(x)~a(x),则imf(x)a(x)=lmf(x)a(x) 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P23【例128】 (2)微分方程x'+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为xy=2 【分析】直接积分即可 【详解】原方程可化为(xy)=0,积分得xy=C, 代入初始条件得C=2,故所求特解为xy=2 【评注】本题虽属基本题型,也可先变形 再积分求解 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P229【例10.5】 (3)设二元函数二=xe++(x+1)h(1+y),则 edx +(e+2)d) 【分析】基本题型,直接套用相应的公式即可 【详解】arex+y+xex+y+ln(1+y), az 于是 = edx+e+2)dy 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P166【例76】 (4)设行向量组(2,11,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,且a≠1,则
文登学校 1 以下题型均在 05 年考研文登数学辅导班中讲过 2005 年数学四试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 1 2 lim sin 2 → x + x x x = 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 1 2 lim sin 2 → x + x x x = 2. 1 2 lim 2 = → x + x x x 【评注】 若在某变化过程下， (x) ~ (x) ，则 lim f (x)(x) = lim f (x) (x). 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.23【例 1.28】 （2） 微分方程 xy + y = 0 满足初始条件 y(1) = 2 的特解为 xy = 2 . 【分析】 直接积分即可. 【详解】 原方程可化为 (xy) = 0 ，积分得 xy = C ， 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. 【评注】 本题虽属基本题型， 也可先变形 x dx y dy = − ， 再积分求解. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.229【例 10.5】 （3）设二元函数 z xe (x 1)ln(1 y) x y = + + + + ，则 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . 【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】 e xe ln(1 y) x z x y x y = + + + + + , y x xe y z x y + + = + + 1 1 , 于是 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.166【例 7.6】 （4）设行向量组 (2,1,1,1)， (2,1,a,a) ，(3,2,1, a) ，(4,3,2,1) 线性相关，且 a 1 ，则 a= 2 1
文登学校 【分析】四个4维向量线性相关,必有其对应行列式为零,由此即可确定a 【详解】由题设,有 aa (a-1)(2a-1)=0,得a=1,a=,但题设a≠1,故 a= 321 【评注】当向量的个数小于维数时,一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P312【例33】 (5)设a1,a2a3均为3维列向量,记矩阵 A=(a1a2a3),B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3) 如果A=1,那么B=_2 【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 【详解】由题设,有 B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+302+9a3) (a1 于是有=14123=1×2=2 【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若 B=aud,+ana2+.+aina B2 Pn=ama,+am2a2+.+amna
文登学校 2 【分析】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a. 【详解】 由题设，有 = 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 a a a (a −1)(2a −1) = 0 , 得 2 1 a = 1,a = ，但题设 a 1 ，故 . 2 1 a = . 【评注】 当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.312【例 3.3】 （5）设 1 2 3 , , 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = 1 2 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 ， 如果 A = 1 ，那么 B = 2 . 【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可. 【详解】 由题设，有 ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 = 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) 1 2 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A = = 【评注】 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若 1 = a111 + a12 2 ++ a1n n ， 2 = a211 + a22 2 ++ a2n n ， m = am11 + am2 2 ++ amn n
文登学校 21 则有[B1B2…Bn]=[a1,a2…,an ain a 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P268【例1.5】 (6)从数1,2,34中任取一个数,记为X,再从1,2…,X中任取一个数,记为Y,则 【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分 【详解】PF=2}=P{X=PY=2X=l+PX=2P{Y=2X=2} +P{X=3P{Y=2X=3}+PX=4P{Y=2X=4} 评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率,这类题型一直都是 考查的重点 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P407【例131】 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点 【分析】先求出可能极值点,再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析, 当恰好有一个极值为零时,函数f(x)恰好有两个不同的零点 【详解】f(x)=6x2-18x+12=6(x-1x-2),知可能极值点为x=1,x=2,且 f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点 故应选(B) 【评注】对于三次多项式函数fx)=ax3+bx2+cx+d,当两个极值同号时,函数f(x) 只有一个零点;当两个极值异号时,函数f(x)有三个零点:当两个极值有一为零时,,函数 f(x)有两个零点 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P51【例626】 (8)设1=』 cOsT2+yl,l2=」ox2+y2),1=』jox2+y2)hd 其中D={(x,y)x2+y2≤},则
文登学校 3 则有 , , , . 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 1 2 = n n mn m m m n a a a a a a a a a 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.268【例 1.5】 （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2, , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2} = 48 13 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 P{Y = 2}= P{X =1}P{Y = 2 X =1} + P{X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{X = 3}P{Y = 2 X = 3} + P{X = 4}P{Y = 2 X = 4} = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 (0 4 1 + + + = 【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是 考查的重点. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.407【例 1.31】 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x − 9x +12x − a 3 2 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析， 当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解】 ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) ，知可能极值点为 x=1,x=2，且 f (1) = 5 − a, f (2) = 4 − a ，可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点， 故应选(B). 【评注】 对于三次多项式函数 f(x)= ax + bx + cx + d 3 2 ,当两个极值同号时，函数 f(x) 只有一个零点；当两个极值异号时，函数 f(x) 有三个零点；当两个极值有一为零时，，函数 f(x) 有两个零点. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.151【例 6.26】 （8）设 I x y d D = + 2 2 1 cos , I x y d D = cos( + ) 2 2 2 , I x y d D = + 2 2 2 3 cos( ) , 其中 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ，则
文登学校 (A)13>12>1 (C)12>1>l3 (D)13>1>12 【分析】关键在于比较√x2+y2、x2+y2与(x2+y2)2在区域 D=(x,y)x2+y2≤1上的大小 【详解】在区域D={x1y)x2+y2≤上,有0≤x2+y2≤1,从而有 x2+y2≥(x2+y2)2≥0 由于cosx在(0,)上为单调减函数,于是 0≤cos√x2+y2≤co(x2+y)scos( 因此 Cosvn2+ydo<osx2+y)o<』cosx2+y2)l,故应选A) 【评注】本题比较二重积分大小,本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调 性进行分析讨论 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P183【例8.2】 (9)下列结论中正确的是 「“一女与[一女一都收敛(B)「 都发散 x(x+ dh (C) 发散 收敛.(D) H(x+D收敛,a 发散 x(x+ x(x+1) 0x(x+1) 【分析】直接计算相应积分,判定其敛散性即可 详解】「”=hx =hn2,积分收敛 x(x+1)|x+ =0-(-∞)=+∞,积分发散 x(x+1)|x+1° 故应选(D 【评注】广义积分敛散性的判断,一般只要求掌握通过计算能判定的情形 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P23【例452】 (10)设f(x)=xsnx+cosx,下列命题中正确的是
文登学校 4 (A) 3 2 1 I I I . （B） 1 2 3 I I I . (C) 2 1 3 I I I . (D) 3 1 2 I I I . [ A ] 【 分 析 】 关 键 在 于 比 较 2 2 x + y 、 2 2 x + y 与 2 2 2 (x + y ) 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y 上的大小. 【详解】 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y 上，有 0 1 2 2 x + y ，从而有 2 2 1 2 x + y 2 2 x + y ( ) 0 2 2 2 x + y 由于 cosx 在 ) 2 (0, 上为单调减函数，于是 2 2 0 cos x + y cos( ) 2 2 x + y 2 2 2 cos(x + y ) 因此 + x y d D 2 2 cos + x y d D cos( ) 2 2 x y d D + 2 2 2 cos( ) ，故应选(A). 【评注】 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调 性进行分析讨论. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.183【例 8.2】 （9）下列结论中正确的是 (A) + 1 x(x +1) dx 与 + 1 0 x(x 1) dx 都收敛. （B） + 1 x(x +1) dx 与 + 1 0 x(x 1) dx 都发散. (C) + 1 x(x +1) dx 发散， + 1 0 x(x 1) dx 收敛. (D) + 1 x(x +1) dx 收敛， + 1 0 x(x 1) dx 发散. [ D ] 【分析】 直接计算相应积分，判定其敛散性即可. 【详解】 + 1 x(x +1) dx = ln 2 1 ln 1 = + + x x ，积分收敛， + 1 0 x(x 1) dx = = − − = + + 0 ( ) 1 ln 1 0 x x ，积分发散. 故应选(D). 【评注】 广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.123【例 4.52】 （10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是
文登学校 (A)f(O)是极大值,∫()是极小值.(B)fO)是极小值,f()是极大值 (C)fo)是极大值,∫(-)也是极大值.(D)f(0)是极小值,∫(x)也是极小值 【分析】先求出∫(x),∫"(x),再用取极值的充分条件判断即可 【详解】f(x)=snx+ x cosx-six= x cosx,显然∫(0)=0,f(2)=0, 又f"(x)=cosx-xsnx,且f"(0)=1>0,f"( <0,故f(0)是极小值, )是极大值,应选(B) 【评注】本题为基本题型,主要考查取极值的充分条件 对应定理公式见《数学复习指南》(经济类)P41 (11)以下四个命题中,正确的是 (A)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界 (B)若∫(x)在(0,1)内连续,则fx)在(0,1)内有界 (C)若∫(x)在(0,1)内有界,则fx)在(0,1)内有界 (D)若f(x)在(0,1)内有界,则∫(x)在(0,1)内有界 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可 详解】设f(x)=,则fx)及f(x)=-2均在(0,1)内连续,但f(x)在(0,1) 内无界,排除A)、(B),又f(x)=√x在(0,1)内有界,但f(x)=在(0,1)内 2 无界,排除(D).故应选(C) 【评注】本题也可直接证明:用拉格朗日中值定理,有 f(x)-f()=∫((x-)5在(0,1)之间,由此容易推知若f(x)在(0, 1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界 (12)设AB,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+ABC=ACA,则BC为 【分析】利用矩阵运算进行分析即可 【详解】由B=E+ABC=A+CA,知 (E-AB=E, C(E-AFA 可见,E-A与B互为逆矩阵,于是有B(E-A)=E 从而有(BCE-A=E-A,而E-A可逆,故BC=E.应选(A)
文登学校 5 (A) f(0)是极大值， ) 2 ( f 是极小值. （B） f(0)是极小值， ) 2 ( f 是极大值. （C） f(0)是极大值， ) 2 ( f 也是极大值. (D) f(0)是极小值， ) 2 ( f 也是极小值. [ B ] 【分析】 先求出 f (x), f (x) ，再用取极值的充分条件判断即可. 【详解】 f (x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x ，显然 ) 0 2 (0) = 0, ( = f f ， 又 f (x) = cos x − x sin x ，且 0 2 ) 2 (0) = 1 0, ( = − f f ，故 f(0)是极小值， ) 2 ( f 是极大值，应选(B). 【评注】 本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件. 对应定理公式见《数学复习指南》（经济类）P.141 （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f (x) 在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设 f(x)= x 1 , 则 f(x)及 2 1 ( ) x f x = − 均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1） 内无界，排除(A)、(B); 又 f (x) = x 在（0，1）内有界，但 x f x 2 1 ( ) = 在（0，1）内 无界，排除(D). 故应选(C). 【评注】 本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有 ), 2 1 ) ( )( 2 1 f (x) − f ( = f x − 在(0,1)之间，由此容易推知若 f (x) 在（0， 1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. （12）设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB,C=A+CA，则 B-C 为 (A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A [ A ] 【分析】 利用矩阵运算进行分析即可. 【详解】 由 B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A, 可见，E-A 与 B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E. 从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而 E-A 可逆，故 B-C=E. 应选(A)
学校 【评注】本题考查矩阵运算性质,注意当(E-A)B=时,表明EA,B均可逆,且互为逆 矩阵,从而利用逆矩阵的定义,它们还可互换 (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 已知随机事件{X=0}与{X+y=1}相互独立,则 A)a=0.2,b=0.3 =0.4.b=0.1 (C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,b=04 【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=05,其次,利用事件的独立性又可得一等 由此可确定ab的取值 【详解】由题设,知a+b=05 又事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,于是有 P{X=0,X+y=1}=P{X=0}P{x+Y=1} 即a=(0.4+a)a+b),由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B) 【评注】本题考査二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念,均为大纲要求 的基本内容 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P528【习题二,1.(9)】 (14)设X1,X2…Xn,…为独立同分布的随机变量列,且均服从参数为(4>1)的 指数分布,记Φ(x)为标准正态分布函数,则 X.-nd (A) lim P x)=q(x).(B) lim P( X一n ∑X Pi x}=Φ(x) [C] 【分析】只需求出∑X,的期望与方差,再根据中心极限定理将其标准化即可 【详解】由题设 于是 n E>X
文登学校 6 【评注】 本题考查矩阵运算性质，注意当(E-A)B=E 时，表明 E-A,B 均可逆，且互为逆 矩阵，从而利用逆矩阵的定义，它们还可互换. （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等 式，由此可确定 a,b 的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，于是有 P{X = 0, X + Y = 1} = P{X = 0}P{X + Y = 1}， 即 a= (0.4 + a)(a + b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B). 【评注】 本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求 的基本内容. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.528【习题二，1.（9）】 （14） 设 X1 , X2 , , Xn , 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为 ( 1) 的 指数分布，记 (x) 为标准正态分布函数，则 (A) lim { } ( ) 1 x x n X n P n i i n = − = → . (B) lim { } ( ) 1 x x n X n P n i i n = − = → . (C) lim { } ( ). 1 x x n X n P n i i n = − = → (D) lim { } ( ). 1 x x n X P n i i n = − = → [ C ] 【分析】 只需求出 = n i Xi 1 的期望与方差，再根据中心极限定理将其标准化即可. 【详解】 由题设， 2 1 , 1 EXi = DX i = ，i = 1,2, ,n, ，于是 n E X n i i = =1 ， 2 1 n D X n i i = =
文登学校 x-n n 根据中心极限定理,知 其极限分布服从标准正态分布,故应选 【评注】本题考查中心极限定理,应注意中心极限定理的条件和结论,特别是注意结 论之间的转换 完全类似结论见《数学复习指南》(经济类)P484 三、解答题(本题共9小题,满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分8分) 求ln( x→0 【分析】"∞-∞"型未定式,一般先通分,再用罗必塔法则 【详解】m+x1 )=lm 0x(1-e-) =lm x+x 1+e 【评注】本题属基本题型,在里用罗必塔法则求极限的过程中,应注意利用无穷小量 的等价代换进行简化 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P29【例1.5】 (16)(本题满分8分) 设fu)具有二阶连续导数,且8(x,y)=f()+y(-),求x208-y208 【分析】先求出二阶偏导数,再代入相应表达式即可 【详解】由已知条件可得 8=2yr()+yf2)+( 7
文登学校 7 根据中心极限定理，知 n X n n n X n i i n i i = = − = − 1 2 1 其极限分布服从标准正态分布，故应选 (C). 【评注】 本题考查中心极限定理，应注意中心极限定理的条件和结论，特别是注意结 论之间的转换. 完全类似结论见《数学复习指南》（经济类）P.484 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分 8 分） 求 ). 1 1 1 lim ( 0 e x x x x − − + → − 【分析】 " − " 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 【详解】 (1 ) 1 ) lim 1 1 1 lim ( 2 0 0 x x x x x x e x x e e x x − − → − → − + − + − = − + = 2 2 0 1 lim x x x e x x − → + − + = x x e x x 2 1 2 lim 0 − → + − = . 2 3 2 2 lim 0 = + − → x x e 【评注】 本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量 的等价代换进行简化. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.29【例 1.45】 （16）（本题满分 8 分） 设 f(u)具有二阶连续导数，且 ( , ) ( ) ( ) y x yf x y g x y = f + ，求 . 2 2 2 2 2 2 y g y x g x − 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可. 【详解】 由已知条件可得 ( ) ( ) 2 y x f x y f x y x g = − + ， ( ) 1 ( ) ( ) 2 4 2 2 3 2 y x f y y x f x y x y f x y x g = + +
文登学校 所以 8_2C8 f"(-)+f"()-2f"()--f"( 【评注】本题属基本题型,但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P171【例718】 (17)(本题满分9分) 计算二重积分2+y2-1,其中D=(xy)≤x10sys 【分析】被积函数含有绝对值,应当作分区域函数看待,利用积分的可加性分区域积 分即可 详解】记D1=(xy)x2+y21(xy)∈D}, D2={(x,y)x2+y2>1,(x,y)∈D}, 于是x2+y2-1=-J(x2+y2-)dd+∫ 5aO[(r2-1)+j(x2+y2-lkd-』(x2+y2-l)dh +(+y2-101an-y=-3 【评注】形如积分j(x,yo、Jmxf(xyg(xy)do ∫jmtf(xy)g(xy)d、[(x,ydo、 J]sgn((x,y)-8(x,y)d等的被积函 数均应当作分区域函数看待,利用积分的可加性分区域积分 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P193【例818】 (18)(本题满分9分) 求fxy)=x2-y2+2在椭圆域D={(x,y)x2+≤1l}上的最大值和最小值
文登学校 8 ( ) ( ) ( ) 1 y x f y x y x f x y f y x g = + − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 2 2 2 2 y x f y x y x f y x y x f y x x y f y x g = − + + ， 所以 2 2 2 2 2 2 y g y x g x − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y x f y x y x f x y x y f x y + + ( ) ( ) 2 2 2 y x f y x x y f x y − − = ( ). 2 x y f x y 【评注】 本题属基本题型，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.171【例 7.18】 （17）（本题满分 9 分） 计算二重积分 x y d D + −1 2 2 ，其中 D ={(x, y)0 x 1,0 y 1}. 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积 分即可. 【详解】 记 {( , ) 1,( , ) } 2 2 D1 = x y x + y x y D ， {( , ) 1,( , ) } 2 2 D2 = x y x + y x y D ， 于是 x y d D + −1 2 2 = − + − 1 ( 1) 2 2 D x y dxdy + + − 2 ( 1) 2 2 D x y dxdy = − − 2 0 2 1 0 ( 1) d r rdr + + − D (x y 1)dxdy 2 2 − + − 1 ( 1) 2 2 D x y dxdy = 8 + + − − − 2 0 1 0 2 2 1 0 2 1 0 ( 1) ( 1) dx x y dy d r rdr = . 3 1 4 − 【 评 注 】 形如积分 f x y d D ( , ) 、 D max{ f (x, y), g(x, y)}d 、 D min{ f (x, y), g(x, y)}d 、 D [ f (x, y)]d 、 − D sgn{ f (x, y) g(x, y)}d 等的被积函 数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.193【例 8.18】 （18）（本题满分 9 分） 求 f(x,y)= 2 2 2 x − y + 在椭圆域 1} 4 {( , ) 2 2 = + y D x y x 上的最大值和最小值
文登学校 【分析】根据全微分和初始条件可先确定fxy)的表达式.而fxy)在椭圆域上的最大 值和最小值,可能在区域的内部达到,也可能在区域的边界上达到,且在边界上的最值又转 化为求条件极值 【详解】令9=2x=0.9=-2y=0得可能极值点为x0y=0.且 xavi(0,0) △=B2-AC=4>0,所以点(0,0)不是极值点,从而也非最值点 再考虑其在边界曲线x2+y=1上的情形:令拉格朗日函数为 F(xy,)=f(x,y)+x(x2+y-1), F=2+2x=2(1+4)x=0, 解F F 得可能极值点x=0,y=2,λ=4;x=0,y=-2,λ=4:x=1,y=0,4=-1 x=-1,y=0,=-1.代入fxy)得f(0±2)=-2,f(±10)=3,可见zf(xy)在区域 D={(x,y)x2+≤1内的最大值为3,最小值为2 【评注】本题综合考查了多元函数微分学的知识,涉及到多个重要基础概念,特别 是通过偏导数反求函数关系,要求考生真正理解并掌握了相关知识 当在区域边界上求极值时,也可将y2=4-4x2代入fxy)=5x2-2,转化为一元函数 求极值 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P178【例729】 (19)(本题满分8分) 设f(x)g(x)在[O,1上的导数连续,且fO=0,f(x)≥0,g(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1 gx)y(x)t+(xg(x)f(og()
文登学校 9 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定 f(x,y)的表达式. 而 f(x,y)在椭圆域上的最大 值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转 化为求条件极值. . 【 详 解 】 令 2 0, = −2 = 0 = = y y f x x f 得 可 能 极 值 点 为 x=0,y=0. 且 2 (0,0) 2 2 = = x f A ， 0 (0,0) 2 = = x y f B ， 2 (0,0) 2 2 = − = y f C ， 4 0 2 = B − AC = ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线 1 4 2 2 + = y x 上的情形：令拉格朗日函数为 1) 4 ( , , ) ( , ) ( 2 2 = + + − y F x y f x y x ， 解 = + − = + = − + = = + = + = = 1 0, 4 0, 2 1 2 2 2 2(1 ) 0, 2 2 y F x y y y y f F x x x f F y x 得 可 能 极 值 点 x = 0, y = 2, = 4 ； x = 0, y = −2, = 4 ； x = 1, y = 0, = −1 ； x = −1, y = 0, = −1. 代入 f(x,y)得 f (0,2) = −2, f (1,0) = 3 ，可见 z=f(x,y)在区域 1} 4 {( , ) 2 2 = + y D x y x 内的最大值为 3，最小值为-2. 【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别 是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识. 当在区域边界上求极值时，也可将 2 2 y = 4 − 4x 代入 f(x,y)= 5 2 2 x − ,转化为一元函数 求极值. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.178【例 7.29】 （19）（本题满分 8 分） 设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f (x) 0 , g (x) 0 .证明：对任何 a [0,1], 有 + a g x f x dx f x g x dx f a g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)
学校 【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明,或根据被积函数的形式,通过分 部积分讨论 【详解】方法一:设 g(of'(n)dt+f(og (odt-f(x)g(D) 则F(x)在[0,1上的导数连续,并且 F'(x)=g(x)f(x)-f(x)g()=f(xg(x)-g(1) 由于x∈[0,1时,f(x)≥0,g(x)≥0,因此F(x)≤0,即F(x)在0,1上单调递减 注意到 F(1)=g()()dt+f(m)g(t)dt-f()(1), f(1)g(1)-f()g()dh 故F(1)=0 因此x∈[0,1时,F(x)≥0,由此可得对任何a∈[0,1],有 g(x)f'(x)dx+Lf(x)g (x)dx 2 f(a)g(D) 方法二:g(x)f(x)x=g(x)f(x) f(x)g(x)da f(a)g(a)-”f(x)g(x) g(x)f(x)dx+lf(x)g(x)dx f(a)g(a)-f(x)g'( f(x)g(x)dx f(a)g(a)+f(x)g'(x)dx 由于x∈[0,]时,g(x)≥0,因此 f(x)g'(x)≥f(a)g'(x),x∈[a,1 f(x)a'(x)dx 2 f(a)g'()dx=f(a[8(1)-g(a) 从而g(x)f(x)d+(x)g(x > f(ag(a)+f(alg()-g(a=f(a)g) 【评注】对于积分不等式的证明,主要有两个途径:一是转化为函数不等式,二是通
文登学校 10 【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分 部积分讨论. 【详解】 方法一：设 F(x) = + − x g t f t dt f t g t dt f x g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)， 则 F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F(x) = g(x) f (x) − f (x)g(1) = f (x)[g(x) − g(1)] ， 由于 x [0,1] 时， f (x) 0, g (x) 0 ，因此 F(x) 0 ，即 F(x)在[0，1]上单调递减. 注意到 F(1) = + − 1 0 1 0 g(t) f (t)dt f (t)g (t)dt f (1)g(1)， 而 = = − 1 0 1 0 1 0 1 0 g(t) f (t)dt g(t)df (t) g(t) f (t) f (t)g (t)dt = − 1 0 f (1)g(1) f (t)g (t)dt ， 故 F(1)=0. 因此 x [0,1] 时， F(x) 0 ，由此可得对任何 a [0,1] ，有 + a g x f x dx f x g x dx f a g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1). 方法二： = − a a a g x f x dx g x f x f x g x dx 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − a f a g a f x g x dx 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ， + a g x f x dx f x g x dx 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = − + 1 0 0 f (a)g(a) f (x)g (x)dx f (x)g (x)dx a + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . a f a g a f x g x dx 由于 x [0,1] 时， g (x) 0 ，因此 f (x)g (x) f (a)g (x)， x [a,1]， = − 1 0 1 0 f (x)g (x)dx f (a)g (x)dx f (a)[g(1) g(a)] ， 从而 + a g x f x dx f x g x dx 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f (a)g(a) + f (a)[g(1) − g(a)] = f (a)g(1). 【评注】 对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通
