§3.3开集的可测性 定义3.3.1若E可以表成至多可列个闭集之并,则称E为Fa型集;若 E可以表成至多可列个开集之交,则称E为G型集;若E可以看成由区间出发 经至多可列次交并余差运算的结果,则称E为 Borel集 由开集与闭集的对偶性可直接得到Fa型集与G6型集的对偶性:F为Fa型 集CF是G型集,G为G型集CG是F型集 证明留作习题。 推论3.3 切Fσ集、G°集、 Borel集均为可测集。 反过来,可测集不一定是Fσ集、G集、 Borel集但与这些集合非常接近,下 述三个定理将给出具体描述。 定理3.3.1以下三命题是等价的 1)E可测 )对任意ε>0存在开集G满足GE,且m(G-E)2)因为E可测,若皿 存在开集G→E满足mG0存在开集0nEn满足m0n<mEn+ 令G=U0”, 则开集GE,从而m(GB)≤∑m(0")<∑5=
§3.3 开集的可测性 定义3.3.1 若 E 可以表成至多可列个闭集之并,则称E为F σ 型集;若 E 可以表成至多可列个开集之交,则称E为Gδ 型集;若 E 可以看成由区间出发 经至多可列次交并余差运算的结果,则称 E 为 Borel 集。 由开集与闭集的对偶性可直接得到 F σ 型集与 G δ 型集的对偶性:F 为 F σ 型 集CF 是 Gδ 型集,G 为 Gδ 型集CG 是 F σ 型集。 证明留作习题。 推论3.3.1: 一切 F σ 集、G δ 集、Borel 集均为可测集。 反过来,可测集不一定是 F σ 集、Gδ 集、Borel 集但与这些集合非常接近, 下 述三个定理将给出具体描述。 定理3.3.1 以下三命题是等价的 1) E 可测 2) 对任意 ε>0 存在开集 G 满足 G ⊃ E,且 m* (G-E)<ε。 3) 存在 Gδ 集 G 0满足 G 0 ⊃ E,且 m* (G 0 -E)=0。 证明:1)=>2)因为 E 可测,若 mE<+∞,对由外测度定义知,对任意 ε> 0 存在开集 G ⊃ E 满足 mG<mE+ε,即 m(G-E)<ε;若 mE=+∞,则存在 E n 满足 m* E n <+∞,且 E=U ∞ n=1 E n ,对任意 ε>0 存在开集 O n ⊃ E n 满足 mO n <mE n + n 2 ε , 令 G=U ∞ n=1 O n , 则开集 G ⊃ E,从而 m * (G-E)≤∑ ∞ m=1 m* (O n -E n )<∑ ∞ m=1 n 2 ε =ε
2)=>3)对任意ε=-存在开集Gn满足GnE,且mGn-E)0存在闭集F满足E=F,且m(E-F)0存在开集G,闭集F满足F∈EcG,且m(GF)<ε 3)存在G6集G0,Fa集满足F0cEcG0,且m(G0-F0)=0
2)=>3) 对任意 ε= n 1 存在开集 G n 满足 G n ⊃ E,且 m* (G n -E)< n 1 ,令 G 0 =I ∞ n=1 G n 则 G 0为 Gδ 集,且 G 0满足 G 0 ⊃ E,且 m* (G 0 -E)<m* (G n -E)< n 1 →0, 故 m* (G 0 -E)=0。 3)=>1) 因为存在 G δ 集 G 0满足 G 0 ⊃ E,且 m* (G 0 -E)=0,所以 G 0 -E 可测, 从而 E=G 0 -(G 0 -E) 可测。证毕 利用E与E c 可测的等价性,开集与闭集、Gδ 集与 F σ 的对偶性不难得到下 述定理: 定理3.3.2 以下三命题是等价的 1) E 可测 2) 对任意 ε>0 存在闭集 F 满足 E ⊇F,且 m* (E-F)<ε。 3) 存在 F σ 集 F 0满足 E ⊇F 0,且 m* (E-F 0 )=0。 证明留给读者。 将定理3.3.1与定理3.3.2相结合即得: 定理3.3.3 以下三命题是等价的 1) E 可测 2)对任意 ε>0 存在开集 G,闭集 F 满足 F⊂ E⊂ G,且 m(G-F)<ε。 3)存在 Gδ 集 G 0,F σ 集满足 F 0 ⊂ E⊂ G 0,且 m(G 0 -F 0 )=0