§3.4乘积空间 定理3.4.1若AcR",BcR”,且均可测,则A×B={(a,b)|a∈A,b∈B} R"×R为可测集,且m(A×B)= mAXmB 证明1)若区间IcR",I2cR,则显然I×I2为R"×R中的区间,从 而可测。且|I×12|=|I|×|I2|。 2)若开集GcR",0cR”,则显然G×0为R"×R中的开集,从而可测 G=∪G",0=∪0,其中Gn,0n分别为R"、R”中的左开右闭的互不相交 的区间,则Gn×0m为R”×R中的左开右闭的互不相交的区间,且 G×0=Gn×]0 U∪(G×0m),于是 m(G×0)=∑∑(mG =(>mG")×(>m0m)=mG×m0 3)对一般可测集,且mA0,存在开集GA、GB,闭集FA、FA满足FAcA∈G4,且 m(GA-FA)<ε,FBCB∈GB,且m(GB-FB)<ε,即存在开集 GA×GB,闭集 FAXFB满足FA×FBcA×B∈GA×GB,且
§３.4 乘积空间 定理３.4.1 若 A⊂ R p ，B⊂ R q ，且均可测，则 A×B＝｛(a,b)｜a∈A，b∈B｝ ⊂ R p ×R q 为可测集，且 m(A×B)＝mA×mB 证明 1)若区间 I1 ⊂ R p ，I 2 ⊂ R q ，则显然 I1×I 2 为 R p ×R q 中的区间，从 而可测。且|I1×I 2 |＝|I1 |×|I 2 |。 2)若开集 G⊂ R p ，O⊂ R q ，则显然 G×O 为 R p ×R q 中的开集，从而可测。 G＝U ∞ n=1 G n ，O＝U ∞ n=1 O n ，其中 G n ，O n 分别为 R p 、R q 中的左开右闭的互不相交 的区间,则 G n ×O m 为 R p ×R q 中的左开右闭的互不相交的区间，且 G×O＝U ∞ n=1 G n ×U ∞ m=1 O m ＝U ∞ n=1 U ∞ m=1 (G n ×O m )，于是 m(G×O)＝∑ ∞ n=1 ∑ ∞ m=1 (mG n ×mO m ) ＝(∑ ∞ n=1 mG n )×(∑ ∞ m=1 mO m )＝mG×mO 3) 对一般可测集，且 mA＜+∞，mB＜+∞，A⊂ R p ，B⊂ R q ，则对任意 ε＞0，存在开集 G A 、G B ，闭集 F A 、F A 满足 F A ⊂ A⊂ G A ，且 m(G A -F A )＜ε，F B ⊂ B⊂ G B ，且 m(G B -F B )＜ε，即存在开集 G A ×G B ，闭集 F A ×F B 满足 F A ×F B ⊂ A×B⊂ G A ×G B ，且
[GA×GB-FA×FB]c[GA-F4)×GB]U[F4×(GB-FB)] c[G4-FA)×GB]U[G4×(GB-FB)] 这里[GA×GB-FA×FB]、[(G4-F4)×Ga]UcG4×(GB-FB)]、(G4-FA) (GB-FB)均为开集。 m(GA×GB-FA×FB)≤m[(GA-FA)×GB]+m[GA×(GB-FB)] 0 由ε的任意性和定理3.3.3的2)知:A×B可测。而 m(A×B)≤m(GA×GB)=mGA×mGB≤(mA+E)(mB+E), 由ε的任意性知m(A×B)≤mA×mB。同理,因为A×B彐FA×FB,所以 m(AXB)≥m(F4×FB)≥m[(GA×GB)]-a(E) =mGA×mGB-a()≥mA×mB-a() 由E的任意性知m(A×B)≥mA×mB,故m(A×B)=mA×mB。 4)当皿A、mB至少有一个无限时,A Bn,其中 mAn<+∞,mBn<+∞,仿2)即可证明结论成立。证毕 第三章习题
[G A ×G B -F A ×F B ]⊂ [(G A -F A )×G B ]U [F A ×(G B -F B )] ⊂ [(G A -F A )×G B ]U [G A ×(G B -F B )] 这里[G A ×G B -F A ×F B ]、[(G A -F A )×G B ]U [G A ×(G B -F B )]、(G A -F A )、 (G B -F B )均为开集。 m(G A ×G B -F A ×F B )≤m[(G A -F A )×G B ]＋m[G A ×(G B -F B )] ＜ε×(mB＋ε)＋（mA+ε）×ε=α(ε ) 0 ε →→ 0 由 ε 的任意性和定理３.３.３的 2〕知：A×B 可测。而 m(A×B)≤m(G A ×G B )＝mG A ×mG B ≤(mA＋ε)(mB＋ε)， 由 ε 的任意性知 m(A×B)≤mA×mB。同理，因为 A×B ⊇F A ×F B ，所以 m(A×B)≥m(F A ×F B )≥m[(G A ×G B )]－α(ε ) ＝mG A ×mG B －α( ) ε ≥mA×mB-α(ε )， 由 ε 的任意性知 m(A×B)≥mA×mB，故 m(A×B)＝mA×mB。 4) 当 mA、mB 至少有一个无限时，A＝U ∞ n=1 A n ，B＝U ∞ n=1 B n ，其中 mA n ＜+∞，mB n ＜+∞，仿 2)即可证明结论成立。证毕 第三章 习 题
1.证明若E有界,则mE0,则对满足0CF是G6型集,G为G6型集CG是Fa型集 6.证明:开集、闭集均既是Fσ型集又是G。型集 7.验证:(0]既是Fa型集,又是G型集。有理数集只F型集而不是G型集 无理数集是G6型集而不是Fσ型集。 8.证明直线上所有可测集合作成集合类的基数等于直线上所有集合类的基数。 9.若∑mEn<+∞,则limE为可测集,且m(imEn)=0
1.证明若 E 有界，则 m* E＜＋∞。 2.证明可数集的外测度为 0。 3.设 E 是直线上一有界集，m* E＞0，则对满足 0＜c＜m* E 的任意 c，恒ョ E 0 ⊆ E 满足 m* E 0＝c. 4.设 S1，S 2 ，...，S n 是一些互不相交的可测集合，E i ⊆ S i (i=1,2,...,n) 求证 ： m* (U n i=1 E i )＝∑ ∞ n=1 m* E i 5．证明：F 为 F σ 型集CF 是 G δ 型集,G 为 G δ 型集CG 是 F σ 型集。 6．证明：开集、闭集均既是 F σ 型集又是 G δ 型集。 7．验证：(0,1]既是 F σ 型集，又是 Gδ 型集。有理数集只 F σ 型集而不是 Gδ 型集, 无理数集是 Gδ 型集而不是 F σ 型集。 8.证明直线上所有可测集合作成集合类的基数等于直线上所有集合类的基数。 9.若∑ ∞ n=1 m* E n ＜＋∞，则n→∞ lim E n 为可测集，且 m( n→∞ lim E n )＝0