§3.2可测函数的收敛性 教学目的使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性,依测度收敛性 和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解. 本节要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛 性.特别是依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差 异.Egorαv定理和 Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz定 理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 设(X,F,)是一测度空间.以下所有的讨论都是在这一测度空间上 进行的.先介绍几乎处处成立的概念 几乎处处成立的性质设P(x)是一个定义在E上与x有关的命题若 存在一个零测度集N,使得当x∈N时P(x)成立(换言之, {x:P(x)不成立}cN),则称P(关于测度)在E上几乎处处成立.记为 P(x)H-ae.,或者P(x)ae 在上面的定义中,若P(x)几乎处处成立,则集{x:P(x)不成立}包含在 个零测度集内.若{x:P(x)不成立}是可测集,则由测度的单调性知道 ({x:P(x)不成立})=0.特别地,当测度空间(x,F,)是完备的时候如 此 例1设给定两个函数∫和g若存在一个零测度集N,使得当x∈N时 f(x)=g(x),则称∫和g几乎处处相等,记为∫=gae. 例2设∫为一广义实值函数.若存在一个零测度集N,使得当xgN时 f|<+∞,则称厂是几乎处处有限的,记为团/<+∞,a 注1设∫是几乎处处有限的可测函数,则存在一零测度集N,使得当 xgN时<+0.令7=nx则是处处有限的可测函数并且f=fae 因此,在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时,若在一个零测度集上改 变函数的值不影响该性质,则不妨假定所讨论的函数是处处有限的 注意,f厂几乎处处有限与f≤Mae是不同的概念团 JsMae表示
83 §3.2 可测函数的收敛性 教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性 和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解. 本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛 性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差 异. Egorov 定理和 Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定 理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 设(X, F ,µ) 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上 进行的. 先介绍几乎处处成立的概念. 几乎处处成立的性质 设 P(x)是一个定义在 E 上与 x 有关的命题. 若 存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时 P(x) 成 立 ( 换言之 , {x N : P(x)不成立} ⊂ ), 则称 P (关于测度 µ )在 E 上几乎处处成立. 记为 P(x) µ − a.e., 或者 P(x) a.e. 在上面的定义中, 若 P(x)几乎处处成立, 则集{x : P(x)不成立}包含在 一个零测度集内. 若{x : P(x)不成立} 是可测集, 则由测度的单调性知道 µ({x : P(x)不成立}) = 0. 特别地, 当测度空间 (X, F ,µ) 是完备的时候如 此. 例 1 设给定两个函数 f 和 g. 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时 f (x) = g(x), 则称 f 和 g 几乎处处相等, 记为 f = g a.e. 例 2 设 f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时 f < +∞, 则称 f 是几乎处处有限的, 记为 f < +∞, a.e. 注 1 设 f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时 f < +∞. 令 . ~ c N f = fI 则 f ~是处处有限的可测函数并且 a.e.. ~ f = f 因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改 变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的. 注意, f 几乎处处有限与 f ≤ M a.e.是不同的概念. f ≤ M a.e.表示
存在一个零测度集N,使得∫在N上有界显然≤Mae蕴涵∫几乎处 处有限.但反之不然.例如,设f(x)=(00.,使得在(,1)-N上,(x)≤M.初学者常常在这里发生 误解,应当引起注意 可测函数的几种收敛性和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性.设E是X的子集 f,fn(n≥1)定义在E上的函数.若对任意E>0,存在N>0,使得当 n≥N时,对一切x∈E成立n(x)-f(x)fun 定义1设{n}为一可测函数列,∫为一可测函数 (1)若存在一个零测度集N,使得当xN时,有 lim f,(x)=f(x), 则称{n}几乎处处收敛于∫,记为 lim f,=∫ae,或∫n->f (2)若对任给的E>0,总有 im({n-f≥e;)=0 则称{n}依测度收敛于f,记为fn“>f (3)若对任给的>0,存在可测集E8,凵(EB)f 容易证明,若将两个ae相等的函数不加区别,则上述几种极限的极限 是唯一的.例如,若∫n->∫,J-→g,则∫=gae.其证明留作习 例3设([O,+∞),M([0,+∞),m)为区间[0,+∞)上的 Lebesgue测度空间 其中M([0,+∞)是[O,+∞)上的L可测集所成的a-代数,m是R上的L测度 在[0,+∞)上的限制令
84 存在一个零测度集 N, 使得 f 在 c N 上有界. 显然 f ≤ M a.e.蕴涵 f 几乎处 处有限. 但反之不然. 例如, 设 (0 1), 1 ( ) = 0, 使得在(0, 1) − N 上, f (x) ≤ M. 初学者常常在这里发生 误解, 应当引起注意. 可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性 . 设 E 是 X 的子集 . f , f (n ≥ 1) n 定义在 E 上的函数. 若对任意 ε > 0 , 存在 N > 0, 使得当 n ≥ N 时, 对一切 x ∈ E 成立 f (x) − f (x) 0, 总有 lim ({ − ≥ }) = 0. →+∞ µ f f ε n n 则称{ }n f 依测度收敛于 f, 记为 f f . n →µ (3) 若对任给的δ > 0 , 存在可测集 Eδ , µ(Eδ ) < δ , 使得{ }n f 在 c Eδ上一致收敛于 f, 则称{ }n f 几乎一致收敛于 f, 记为 n n lim = f f a.un., 或 f f n a..un. → . 容易证明, 若将两个 a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限 是唯一的. 例如, 若 , a.e. f f n → f n →g a.e. , 则 f = g a.e.. 其证明留作习 题. 例 3 设([0,+∞), M ([0,+∞)), m) 为区间[0, + ∞) 上的 Lebesgue 测度空间. 其中M ([0,+∞))是[0,+ ∞)上的 L可测集所成的σ -代数, m是 1 R 上的 L测度 在[0, + ∞) 上的限制. 令
x)n≥1 则对任意x>0,fn(x)→0n→∞).当x=0时fn(x)不收敛于0.但 m({0)=0,因此在[0,+∞)上f0.由于对E=1 m(|2)=m(0.um+∞) =+0-4>0,(n→+∞) 因此{n}不依测度收敛于0.这个例子表明在一般情况下,几乎处处收敛不 定能推出依测度收敛 例4设([O,1,M([0,1,m)是[O,1]上的 Lebesgue测度空间.令 fn(x)=x",n≥1 则对任意δ>0,{G}在[0,1-6]上一致收敛于0.由于m(1-8,1)=6可以 任意小,因此fn—>0.又显然fn>0 例5设([0,1,M([O,D,m)是[O,1上的 Lebesgue测度空间.令 A2=[4-1,2,i=1,…,n,n≥1 将{}先按照n后按照i的顺序重新编号记为{En}显然m(En)→0.令 fn(x)=l(x),n≥1 f(x)=0 对任意E>0,由于 m({-1|≥)=m(En)→0,n→ 故{〃n}依测度收敛于∫.但{n}在⑩,1上处处不收敛.事实上,对任意 x∈[O,1],必有无穷多个E包含x0,也有无穷多个En不包含x故有无 穷多个n使得f(x)=1,又有无穷多个n使得fn(x0)=0.因此{fn}在x不 收敛.这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛.例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大 几种收敛性之间的关系为叙述简单计,以下我们设所讨论的函数都 是实值可测函数.但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见 注1的说明) 引理2设山(X)0有
85 ( ) 1 ( ), 1. , ) 1 ( f x = − I x n ≥ n n n 则对任意 x > 0, ). f n (x) → 0(n → ∞ 当 x = 0 时 f (x) n 不收敛于 0. 但 m({0}) = 0, 因此在[0, + ∞) 上 0. →a.e. n f 由于对 , 2 1 ε = 0, ( ). ] [ , )) 1 }) ([0, 2 1 ({ = +∞ →/ → +∞ ≥ = ∪ +∞ n n n m f n m 因此{ }n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不 一定能推出依测度收敛. 例 4 设([0, 1], M ([0,1]), m)是[0, 1]上的 Lebesgue 测度空间. 令 f (x) = x , n ≥ 1. n n 则对任意δ > 0 , } { n f 在[0, 1− δ ] 上一致收敛于0 .由于m((1−δ , 1]) = δ 可以 任意小, 因此 0 f n a..un. → . 又显然 0. →a.e. n f 例 5 设([0, 1], M ([0,1]), m)是[0, 1]上的 Lebesgue 测度空间. 令 , ], 1, , , 1. 1 [ = ≥ − = i n n n i n i Ai n L 将{ } i An 先按照 n 后按照 i 的顺序重新编号记为{ } En . 显然 ( ) → 0. m En 令 f (x) I (x) n En = , n ≥ 1, f (x) = 0. 对任意ε > 0, 由于 m({ f − f ≥ }) = m(E ) → 0, n → ∞. n n ε 故{ }n f 依测度收敛于 f. 但{ }n f 在[0, 1] 上处处不收敛. 事实上, 对任意 [0, 1] x0 ∈ , 必有无穷多个 En 包含 0 x , 也有无穷多个 En 不包含 0 x . 故有无 穷多个n使得 ( ) 1, f n x0 = 又有无穷多个n使得 ( ) 0. f n x0 = 因此{ }n f 在 0 x 不 收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例 3 和例 4 表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大. 几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都 是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见 注 1 的说明). 引理 2 设µ(X ) 0有
im(U41-f≥c})=0 证明设E>0是一给定的正数.任取x∈X,若对任意n≥1,存在 i≥n,使得(x)-f(x)≥E.则∫(x)不收敛于f(x).这表明 nUM-f≥}c{x:f(x)→→f(x) 由于∫n—°>∫,因此由上式知道 ∩U-≥;|=0 由于(X)f(其证明留作习题)下面的 定理表明当(X)∫蕴涵f-∫ 证明设山(X)0,有 1f-/≥6} 于是对任意的δ>0和自然数k≥1,存在自然数n使得 U-12- 令 Es=UUi,-fl k=l i=nk 由测度的次可数可加性我们有 (E)s∑心U-12|=∑= 往证在E上,{fn}一致收敛于∫.事实上,由 De morgan公式得
86 lim ( { − ≥ }) = 0. ∞ = →∞ U i n i n µ f f ε 证明 设 ε > 0 是一给定的正数. 任取 x ∈ X , 若对任意 n ≥ 1, 存在 i ≥ n, 使得 f (x) − f (x) ≥ ε. i 则 f (x) f (x) n 不收敛于 . 这表明 IU ∞ = ∞ = − ≥ 1 { } n n i i f f ε {x : f (x) / f (x)}. ⊂ n → 由于 , a.e. f f n → 因此由上式知道 { } 0. 1 = − ≥ ∞ = ∞ = IU n n i i µ f f ε 由于µ(X ) 0, 有 lim { } = 0. − ≥ ∞ = →∞ U i n i n µ f f ε 于是对任意的δ > 0 和自然数k ≥ 1, 存在自然数nk 使得 . 2 }1 { k i n i k k f f δ µ < − ≥ ∞ = U 令 }. 1 { 1 UU ∞ = ∞ = = − ≥ k n i i k k E f f δ 由测度的次可数可加性我们有 . 2 }1 ( ) { 1 1 δ δ µ δ µ ≤ = ≤ ∑ − ≥ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = k k k i n i k k E U f f 往证在 c Eδ上, } { n f 一致收敛于 f. 事实上, 由 De Morgan 公式得
∩∩4-f rk0,取k足够大使得kf.定理证毕 注2在叶戈洛夫定理中,条件μ(X)∫蕴涵fn—>∫ 证明设(X)0有 4(U=a 由测度的单调性立即得到 limu(-(2a))f 本节例3表明,在定理4中,条件(X)f,则存在n}的子列{n},使得 f.-ac.>f 证明设∫n—>∫.对任意E>0和d>0,存在N≥1,使得当n≥N 时,有 ({fn-f|2E})<d 于是对任意自然数k≥1,存在自然数n,使得 41-2)<
87 }, 1. 1 { }1 { 1 ⊂ − 0 , 取 k 足够大使得 . 1 0有 lim { } = 0. − ≥ ∞ = →∞ U i n i n µ f f ε 由测度的单调性立即得到 ( ) − ≥ ≤ →∞ lim µ { f f ε} n n lim { } = 0. − ≥ ∞ = →∞ U i n i n µ f f ε 即 f f . n →µ ■ 本节例 3 表明, 在定理 4 中, 条件µ(X ) 0和δ > 0 , 存在 N ≥ 1 , 使得当 n ≥ N 时, 有 µ({ f n − f ≥ ε}) < δ . 于是对任意自然数k ≥ 1, 存在自然数nk , 使得 . 2 1 }) 1 ({ n k k f f k µ − ≥ < (2)
我们可适当选取n使得nf.令 E=∩4m-小 2 对任意x∈E,当k≥i时, 这表明{n}在E上收敛于令E=UE.则{n}在E上收敛于往证 (E)=0.由 De morgan公式,我们有 E=∩E=∩UA- 利用(2)容易得到以(E)≤1.因此由测度的上连续性并且利用(2),我们有 (E)=lim山 ≤lm∑0-2=k) lim 这就证明了f-→)f 定理6设(1)∫.显然{n}的任 子列{}也依测度收敛于∫由定理5,存在m}的子列{f},使得 ∫n-°→f(k→∞ 充分性.用反证法若{〃n}不依测度收敛于∫,则存在E>0,使得 H(n-26}-→0.于是存在6>0和{m}的子列{fn},使得 (1n-26)26 由此知{fn}的任何子列{}都不能依测度收敛于∫由定理4,{fn}也不
88 我们可适当选取nk 使得nk 0, 使得 µ({ f − f ≥ ε}→/ 0. n 于是存在δ > 0 和{ }n f 的子列{ } nk f , 使得 µ({ f − f ≥ ε}) ≥ δ . nk 由此知{ } nk f 的任何子列{ } nk f ′ 都不能依测度收敛于 f. 由定理 4, { } nk f ′ 也不
能ae收敛于∫这与定理所设的条件矛盾.故必有f->f 定理5和定理6给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系.利用这种 联系,常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题.而几乎处处 收敛是比较容易处理的 例6设∫,g,fn,gn(n≥1)是有限测度空间(X,F,p)上的几乎处处有 限的可测函数,fn-"→f,gn->g.又设h是R2上的连续函数则 HJn,gn)—→h(f,g) 特别地,fngn“> 证明不妨设∫,g,fn,gn(n≥1)都是处处有限的.设从(f,gn)是 h(n,gn)的任一子列.由定理6,存在{m}的子列{fm}使得 f-)f(k→∞)同理存在gm}的子列,不妨仍记为{gm},使得 8n-"→g(k→∞)既然h是连续的,因此有h(Jm,8m)°→h(,g) 这表明h(ngn)的任一子列h(fn,gn),都存在其子列H(fn,gn)使得 hfn,8n)-°h(f,g).再次应用定理6,知道H(fn,gn)—>h(f,g).特 别地,若取h(x,y)=xy,则得到fngn-“> 小结本节介绍了几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛,它们是 伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系 其中最重要的是 Egorov定理和 Riesz定理.利用 Riesz定理,可以把较难处 理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题 习题习题三,第18题一第28题
89 能 a.e.收敛于 f. 这与定理所设的条件矛盾. 故必有 f f . n →µ ■ 定理 5 和定理 6 给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种 联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处 收敛是比较容易处理的. 例 6 设 f , g, f , g (n ≥ 1) n n 是有限测度空间(X, F ,µ) 上的几乎处处有 限的可测函数, f f , n →µ g g. n →µ 又设h 是 2 R 上的连续函数. 则 ( , ) ( , ). . h f n gn →h f g µ 特别地, . f n gn → fg µ 证明 不妨设 f , g, f , g (n ≥ 1) n n 都是处处有限的. 设 ( , ) nk nk h f g 是 ( , ) n gn h f 的任一子列 . 由定理 6, 存 在 { } nk f 的子列 { } nk f ′ 使 得 ( ). a.e. → ′ → ∞ ′ f f k nk 同理存在{ } nk g ′ 的子列, 不妨仍记为{ } nk g ′ , 使得 ( ). a.e. → ′ → ∞ ′ g g k nk 既然 h 是连续的, 因此有 ( , ) ( , ). a.e. h f g h f g nk ′ nk ′ → 这表明 ( , ) n gn h f 的任一子列 ( , ) nk nk h f g , 都存在其子列 ( , ) nk nk h f g ′ ′ 使得 ( , ) ( , ). a.e. h f g h f g k k n ′ n ′ → 再次应用定理6, 知道 ( , ) ( , ). . h f n gn →h f g µ 特 别地, 若取h(x, y) = xy, 则得到 f g fg. n n →µ ■ 小结 本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是 伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是 Egorov 定理和 Riesz 定理.利用 Riesz 定理,可以把较难处 理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题. 习题 习题三, 第 18 题—第 28 题
