第一章 集合及其基数 集与集的运算是测度与积分理论的基础.本章先介绍集论的一些基本 知识,包括集与集的运算,可数集和基数,具有一定运算封闭性的集类如 环与σ-代数等.然后介绍R中的一些常见的点集 §1.1集合及其运算 教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算 规律 本节要点 De morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系 是经常要遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是 种新型的运算,学生应理解其概念. 集是数学的基本概念之一.它不能用其它更基本的数学概念严格定义 之,只能给予一种描述性的说明.例如,数学分析中的实数集,有理数集, 函数的定义域和值域,满足某些给定条件的数列或函数的全体所成的集等 都是常用的集.几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或空间的点所 构成的集 般用大写字母如A,B,C等表示集,用小写字母如a,b,c等表示集的 元素.若a是集A的元素,则用记号a∈A表示(读作a属于A).若a不是集 A的元素,则用记号agA表示(读作a不属于A) 不含任何元素的集称为空集,用符号必表示约定分别用R,Q,N和 z表示实数集,有理数集,自然数集和整数集 集的表示方法 第一种方法:列举法,即列出给定集的全部元素.例如 A=a,b,cl B={1,3,5,…,2n-1,…} 第二种方法:描述法.当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构 成时,用下面的方式表示集A
1 第一章 集合及其基数 集与集的运算是测度与积分理论的基础. 本章先介绍集论的一些基本 知识, 包括集与集的运算, 可数集和基数, 具有一定运算封闭性的集类如 环与σ − 代数等. 然后介绍 n R 中的一些常见的点集. § 1.1 集合及其运算 教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算 规律. 本节要点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系 是经常要遇到的论证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一 种新型的运算, 学生应理解其概念. 集是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义 之, 只能给予一种描述性的说明. 例如, 数学分析中的实数集, 有理数集, 函数的定义域和值域, 满足某些给定条件的数列或函数的全体所成的集等 都是常用的集. 几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或空间的点所 构成的集. 一般用大写字母如 A, B, C 等表示集, 用小写字母如 a, b ,c 等表示集的 元素. 若a 是集 A的元素, 则用记号a ∈ A表示(读作 a 属于 A). 若a 不是集 A的元素, 则用记号a ∉ A表示(读作a 不属于 A). 不含任何元素的集称为空集, 用符号∅表示. 约定分别用 , 1 R Q , N 和 Z 表示实数集, 有理数集, 自然数集和整数集. 集的表示方法 第一种方法: 列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如 {1, 3, 5, ,2 1, }. { , , }. = L − L = B n A a b c 第二种方法: 描述法. 当集 A 是由具有某种性质 P 的元素的全体所构 成时, 用下面的方式表示集 A:
A={x:x具有性质P} 例如,设∫是定义在R上的实值函数,则f的零点所成的集A可表示成 A={x:f(x)=0} 集的相等与包含设A和B是两个集.如果A和B具有完全相同的元 素,则称A与B相等,记为A=B.如果A的元素都是B的元素,则称A是B 的子集,记为AcB(读作A包含与B),或B→A(读作B包含A)若ACB 并且A≠B,则称A为B的真子集.按照这个定义,空集②是任何集的子集 由定义知道A=B当且仅当AcB并且BcA 集的运算 并运算与交运算设A和B是两个集.由A和B的所有元素构成的集 称为A与B的并集,简称为并(图1-1),记为A∪B.即 A∪B={x:x∈A或者x∈B} 由同时属于A和B的元素构成的集称为A与B的交集,简称为交(图1-2), 记为A∩B.即 A∩B={x:x∈A并且x∈B} 若A∩B=必,则称A与B不相交此时称A∪B为A与B的不相交并 A∩B 图1 图1-2
2 A = {x : x具有性质P}. 例如, 设 f 是定义在 1 R 上的实值函数, 则 f 的零点所成的集 A可表示成 A = {x : f (x) = 0}. 集的相等与包含 设 A 和 B 是两个集. 如果 A 和 B 具有完全相同的元 素, 则称 A 与 B 相等, 记为 A=B. 如果 A 的元素都是 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 记为 A ⊂ B(读作 A 包含与 B), 或 B ⊃ A (读作 B 包含 A). 若 A ⊂ B 并且 A ≠ B, 则称 A为 B 的真子集. 按照这个定义, 空集∅是任何集的子集. 由定义知道 A = B当且仅当 A ⊂ B并且 B ⊂ A. 集的运算 并运算与交运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 和 B 的所有元素构成的集 称为 A 与 B 的并集, 简称为并(图 1—1), 记为 A ∪ B. 即 A ∪ B = {x : x ∈ A或者x ∈ B}. 由同时属于 A 和 B 的元素构成的集称为 A 与 B 的交集, 简称为交(图 1—2), 记为 A ∩ B. 即 A ∩ B = {x : x ∈ A并且x ∈ B}. 若 A∩ B = ∅, 则称 A 与 B 不相交.此时称 A∪ B为 A 与 B 的不相交并. 图 1—1 图 1—2
设T是一非空集(T可以是有限集或无限集),{A1}a是一族集.这一族 集的并集和交集分别定义为 ∪A,={x:存在某个∈T,使得x∈A} ∩A,={x:对每个t∈T,x∈A} 当T=N为自然数集时,∪4和∩4分别记成∪A和∩A,分别称为 {An}的可数并和可数交 并与交的运算性质 (1)A∪A=A,A∩A=A.(幂等性) (2)A∪=A,A∩= (3)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(交换律) (4)(A∪B)∪C=A∪(B∪C (A∩B)∩C=A∩(B∩C).(结合律 (5)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).(分配率) 分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形 A∩(UB)=U(A⌒B) AU0B)=∩(AUB,) 差运算与余运算设A和B是两个集.由A中的不属于B的那些元素 所构成的集称为A与B的差集(图1-3),记为A-B或AB.即 A-B={ 并且x∈B} A-B
3 设 T 是一非空集(T 可以是有限集或无限集), At t∈T { } 是一族集. 这一族 集的并集和交集分别定义为 I U t T t t t T t t A x t T x A A x t T x A ∈ ∈ = ∈ ∈ = ∈ ∈ { : , }. { : , }, 对每个 存在某个 使得 当 T=N 为自然数集时, U n∈N An 和 I n∈N An 分别记成U ∞ n=1 An 和 , 1 I ∞ n= An 分别称为 { } An 的可数并和可数交. 并与交的运算性质 (1) A∪ A = A, A∩ A = A. (幂等性) (2) A∪ ∅ = A, A∩ ∅ = ∅. (3) A∪ B = B ∪ A, A∩ B = B ∩ A. (交换律) (4) (A∪ B) ∪ C = A∪ (B ∪C), (A∩ B) ∩C = A∩ (B ∩C). (结合律) (5) A∩ (B ∪C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C),. ). A∪ (B ∩C) = (A∪ B) ∩ (A∪ C (分配率). 分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形: ( ) I I U U U U t T T t t t t T T t t t A B A B A B A B ∈ ∈ ∈ ∈ = ∩ = ∩ ( ) ( ). ( ) , 差运算与余运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 中的不属于 B 的那些元素 所构成的集称为 A 与 B 的差集(图 1—3), 记为 A − B 或 A\B. 即 A − B = {x : x ∈ A并且x ∉ B}. 图 1—3 图 1—4
通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集,X称为全空间我们 称全空间X与子集A的差集X-A为A的余集(图1-4),记为AC.设A和 B是两个集.称集(A-B)∪(B-A)为A与B的对称差集,记为A△B 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质 (6)A∪AC=X,A∩AC (7)Y=8, C=X 8)A-B=A∩BC 关于余运算还成立下面重要的运算法则 定理1( De morgan公式)设(4)=x是一族集.则 ()(UA1)=∩4.(并的余集等于余集的交 i)(∩4)=UA.(交的余集等于余集的并) 证明()设x∈(∪4),则xg EUA 故对任意t∈T,xgA,即对 任意t∈T,x∈A.因此x∈∩4.这表明(∪4)c∩4.上述推理可以 反过来,即从x∈∩4可以推出x∈(∪4).这表明∩4c(UA).因 此(i)成立.类似地可以证明(i) 定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法 例1设{}是定义在集X上的一列实值函数.令 x: lim f,(x)=0}.则成立 A=∩U∩x:(x) kel mel nen 证明由于lmfn(x)=0当且仅当对任意k≥1,存在m≥1,使得对任 意n≥m成立(x)<因此我们有
4 通常我们所讨论的集都是某一固定集 X 的子集, X 称为全空间. 我们 称全空间 X 与子集 A的差集 X − A为 A 的余集(图 1—4), 记为 C A . 设 A 和 B 是两个集. 称集(A − B) ∪ (B − A)为 A与 B 的对称差集, 记为 A∆B. 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质: (8) . (7) , . (6) , . C C C C C A B A B X X A A X A A − = ∩ = ∅ ∅ = ∪ = ∩ = ∅ 关于余运算还成立下面重要的运算法则. 定理 1 (De Morgan 公式)设 At t∈T ( ) 是一族集. 则 (i). (U ) I . (并的余集等于余集的交), t T C t C t T At A ∈ ∈ = 证明 ). (i 设 ( ) , C t T At x U ∈ ∈ 则 U . t T At x ∈ ∉ 故对任意 t ∈T, . At x ∉ 即对 任意t ∈T, . c At x ∈ 因此 I . t T c At x ∈ ∈ 这表明 (U ) I . t T c t C t T At A ∈ ∈ ⊂ 上述推理可以 反过来, 即从 I t T c At x ∈ ∈ 可以推出 ( ) . C t T At x U ∈ ∈ 这表明 ( ) . C t T t t T c IAt UA ∈ ∈ ⊂ 因 此(i)成立. 类似地可以证明(ii). ■ 定理 1 的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 例 1 设 { }n f 是定义在集 X 上的一列实值函数 . 令 = { : lim ( ) = 0.}. →∞ A x f x n n 则成立 }. 1 { : ( ) 1 1 IUI ∞ = ∞ = ∞ = = < km m n n k A x f x (1) 证明 由于 lim ( ) = 0 →∞ f x n n 当且仅当对任意 k ≥ 1, 存在 m ≥ 1, 使得对任 意n ≥ m成立 . 1 ( ) k f x n < 因此我们有 (ii). (I ) U . ( ). tT C t C t T At = A 交的余集等于余集的并 ∈
x∈A分vk213m21使得vn2m,x∈{x:J(x)< Vk≥1,彐m≥1,使得x∈ f,(x) 分k21x∈U∩x(x)<k x∈nU∩x:(x<k 因此(1)成立 在例1中,集A的表达式(1)看起来较复杂,但它是通过比较简单的集 {x:|fn(x)<}的运算得到的,以后会看到集的这种表示方法是很有用的 乘积集设A1,…A1为n个集.称集 {(x1,…,xn):x1∈A1,i=1,…,n} 为A1…,An的乘积集简称为乘积,记为A1x…×A或者∏A1,注意即使 A1…,4,都是x的子集,A1x…xA已经不是x的子集,它是x…×x 的子集 例如,二维欧氏空间R2可以看作是R与R的乘积,即R2=R×R 又例如,E=[a,b]×[c,d]就是平面上的长方形 集列的极限设{An}是一列集.称集 {x:x属于无穷多个An,n≥1} 为集列{A4}的上极限,记为 lim a称集 x:x至多不属于有限个An,n≥l} 为集列{An}的下极限,记为limA,显然limA1 clim a若limA1=limA 则称集列{An}存在极限,并称A= lim a=limA,为集列{An}的极限,记为 lim d 定理2设{An}是一列集.则
5 I ∞ = ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∈ < ∈ ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∀ ≥ ∈ < n m n n k k m x x f x k x A k m n m x x f x } 1 1, 1, { : ( ) } 1 1, 1, , { : ( ) 使得 使得 }. 1 { : ( ) } 1 1, { : ( ) 1 1 1 IUI UI ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ⇔ ∈ < ⇔ ∀ ≥ ∈ < km m n n m m n n k x x f x k k x x f x 因此(1)成立. ■ 在例 1 中, 集 A的表达式(1)看起来较复杂, 但它是通过比较简单的集 } 1 { : ( ) k x f x n < 的运算得到的, 以后会看到集的这种表示方法是很有用的. 乘积集 设 A An , , 1 L 为n 个集. 称集 {( , , ) : , 1, , } x1 L xn xi ∈ Ai i = L n 为 A An , , 1 L 的乘积集(简称为乘积), 记为 A1 ×L× An 或者 . 1 ∏= n i Ai 注意即使 A An , , 1 L 都是 X 的子集, A1 ×L× An 已经不是 X 的子集, 它是 X ×L× X 的子集. 例如, 二维欧氏空间 2 R 可以看作是 1 R 与 1 R 的乘积, 即 . 2 1 1 R = R × R 又例如, E = [a,b]×[c,d]就是平面上的长方形. 集列的极限 设{ } An 是一列集. 称集 {x : x A , n ≥ 1} 属于无穷多个 n 为集列{ } An 的上极限, 记为lim . n n A →∞ 称集 {x : x A , n ≥ 1} 至多不属于有限个 n 为集列{ } An 的下极限,记为 lim . n n A →∞ 显然 ⊂ →∞ n n lim A lim . n n A →∞ 若 = →∞ n n lim A lim , n n A →∞ 则称集列{ } An 存在极限, 并称 A = = →∞ n n lim A n n A →∞ lim 为集列{ } An 的极限, 记为 lim . n n A →∞ 定理 2 设{ } An 是一列集. 则
lm4=∩U4,mA=U∩41 nel ken 证明我们有 lim a={x:x属于无穷多个An,n≥1} {x:对任意n≥1存在k≥n,使得x∈A} 任意n21xeU4}=∩U4 类似地可证明第二式 设{An}是一列集.若对每个n≥1,均有AncA(相应地A1CAn) 则称{A4}是单调增加的,记为A↑(相应地,单调减少的,记为An↓).单调 增加和单调减少的集列统称为单调集列 定理3单调集列必存在极限.并且 ()若A↑,则imA,=UA i)若Ay,则imA=∩4 证明().因为A个,故对任意n21,有∩4=A,∪4=U4.因 此由定理2得到 imAn=U∩4=UA lm4=∩U4=U4-U4 所以im4,=limA=∪A,这表明imA存在,并且imA,=∪A,类似可 证明结论(i) 例2设A,=(0,1-Bn=(0.1+]则A↑,Bn,并且
6 IU UI ∞ = ∞ = →∞ ∞ = ∞ = →∞ = = 1 1 lim , lim . n n k n k n n n k n k n A A A A 证明 我们有 { : 1, } . { : 1, , } lim { : , 1} 1 U IU ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = ≥ ∈ = = ≥ ≥ ∈ = ≥ n n k k k n k k n n n x n x A A x n k n x A A x x A n 对任意 对任意 存在 使得 属于无穷多个 类似地可证明第二式. ■ 设{ } An 是一列集. 若对每个 n ≥ 1, 均有 An ⊂ An+1 (相应地 An+1 ⊂ An ), 则称{ } An 是单调增加的, 记为 An↑ (相应地, 单调减少的, 记为 An ↓). 单调 增加和单调减少的集列统称为单调集列. 定理 3 单调集列必存在极限. 并且 (ii). , lim . (i). , lim . 1 1 I U ∞ = →∞ ∞ = →∞ ↓ = ↑ = n n n n n n n n n n A A A A A A 若 则 若 则 证明 ). ( i 因为 An↑ , 故对任意n ≥ 1, 有 , n k n Ak = A ∞ = I . 1 U U ∞ = ∞ = = k k k n Ak A 因 此由定理 2 得到 lim . 1 1 UI U ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = n n n n k n k n A A A lim . 1 1 1 1 IU IU U ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = = k k n k k n n k n k n A A A A 所以 lim lim . 1 U ∞ = →∞ →∞ = = n n n n n n A A A 这表明 n n A →∞ lim 存在, 并且 lim . 1 U ∞ = →∞ = n n n n A A 类似可 证明结论( ii). ■ 例 2 设 ]. 1 ], (0,1 1 (0, 1 n B n An = − n = + 则 ↑ , ↓ , An Bn 并且
imA,=UA,=(0,1),imB2=∩Bn=(0,1 集的特征函数设A是X的子集令 A 14( 0若x∈A 则(x)为定义在X上的函数,称之为A的特征函数 小结本节介绍了集的基本概念,运算和运算性质.这些知识是本课程 的基础。诬明两个集的相等是经常会遇到的,应掌握其证明方法.De Morgan公式很重要,以后也会经常用到例1中把一个集分解为一些较简 单的集的运算,是应该掌握的有用的技巧.集列的极限与数列的极限不同, 应正确理解 习题见P11习题第1题一第8题
7 lim (0, 1), 1 = = ∞ = →∞ U n n n n A A ]. lim (0, 1 1 = = ∞ = →∞ I n n n n B B 集的特征函数 设 A是 X 的子集. 令 ∉ ∈ = 0 . 1 ( ) x A x A I x A 若 若 则 I (x) A 为定义在 X 上的函数, 称之为 A的特征函数. 小结 本节介绍了集的基本概念, 运算和运算性质. 这些知识是本课程 的基础. 证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后也会经常用到. 例 1 中把一个集分解为一些较简 单的集的运算, 是应该掌握的有用的技巧. 集列的极限与数列的极限不同, 应正确理解. 习 题 见 P11 习题第 1 题—第 8 题
