第五章积分理论 本章定义了可测函数的 Lebesgue积分,并讨论了新积分的性质、计算方法 及其与旧( Riesman)积分的关系,在条件相当弱(相对 Riesman相应定理条件中 的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理,并利用积分的极限定理获得 了 Riesman可积的本质特征;最后研究了重积分与累次积分的关系 §5.1非负函数积分 有了第四章的准备之后,就可以根据对可测集上定义的可测函数f先定义 大、小和 S(D, f)=2 y,mELy;<y 1, s(D, f)=2yi-mELy-sfy, I 然后分别规定supS(D,f)、infs(D,f为上、下积分值,且进一步证明二者相等 从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是 Lebesgue创立新积分的原始思路, 也是传统教材介绍 Lebesgue积分定义的普遍方法 然而在第四章研究可测函数的结构时,我们发现函数可测的实质是函数正 负部下方图形可测,再加之由数学分析我们已经知道:对连续函数而言(R)积分 值是函数曲线与x轴,x=a,x=b所围的x轴上、下方图形面积的代数和,现 遵循此基本思路直接定义新积分概念。 定义5.1.1若f(x)为可测集E上的非负可测函数,则称mG(,E)为f在 E上的 Lebesgue积分值,记为u)Jf,也简称mG(,E)为f在E上的积分值, 并简记fdx。若f()为可测集E上的一般可测函数,且∫fd=m(,B), ∫fd=m(,)至少有一个有限,则称f(x)在E上存在积分值,并规定积 分值为 「fdx=fdx-』fd=m(,E)-m(C,E) 如果一∞<[fdx<+∞,则称f在E上可积
第五章 积分理论 本章定义了可测函数的 Lebesgue 积分，并讨论了新积分的性质、计算方法 及其与旧(Riemman)积分的关系，在条件相当弱(相对 Riemman 相应定理条件中 的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理，并利用积分的极限定理获得 了 Riemman 可积的本质特征；最后研究了重积分与累次积分的关系。 §５.１ 非负函数积分 有了第四章的准备之后，就可以根据对可测集上定义的可测函数 f 先定义 大、小和 Ｓ(D,f)＝∑= n i 1 y i mE[y i−1 ≤f<y i ]， s(D,f)=∑= n i 1 y i−1 mE[y i−1 ≤f<y i ] 然后分别规定 D supＳ(D,f)、 D inf s(D,f)为上、下积分值，且进一步证明二者相等， 从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路， 也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。 然而在第四章研究可测函数的结构时，我们发现函数可测的实质是函数正、 负部下方图形可测，再加之由数学分析我们已经知道：对连续函数而言(R)积分 值是函数曲线与 x 轴，x＝a，x＝b 所围的 x 轴上、下方图形面积的代数和，现 遵循此基本思路直接定义新积分概念。 定义５.１.１ 若 f(x)为可测集 E 上的非负可测函数，则称 mG ( ) f , E 为f在 E 上的 Lebesgue 积分值，记为(L) ∫E fdx,也简称 mG ( f , E)为 f 在 E 上的积分值， 并简记∫E fdx。若 f(x)为可测集 E 上的一般可测函数，且∫E f + dx＝mG (f , E) + ， ∫E f − dx＝mG (f , E) − 至少有一个有限，则称 f(x)在 E 上存在积分值，并规定积 分值为 ∫E fdx＝∫E f + dx－∫E f − dx＝mG (f , E) + －mG (f , E) − ； 如果－∞＜∫E fdx＜＋∞，则称f在E 上可积
注5.1.1此处作“fdx,Jfd至少有一个有限”的限制在于保 证不出现∞-∞的无意义表达式。 注5.1.2(L)积分定义有三大优点:定义简洁、直观明了,不需大、小 和概念,不必考虑函数是否有界,定义域测度是否有限 如何具体计算积分值呢? 1)若f为可测集E上的非负简单函数,则f(x) c,x∈E(i=1,2,3,,n),E∩E≠中(i≠j),从而f在E上的积分值 为mG(,E)=∑cmE 例5.1.1 Dinichni函数 D(x)=1x∈E1=(x为]中的有理数 0,x∈E2={;x为中的无理数 可积,且Ddx=1×mE1+0×mE2=0 2)若f(x)为可测集E上的非负可测函数,则存在E上的非负简单函数列 {中,(x)}满足0≤中,(x)≤中。(x),中。(x)→f(x)(n→+∞),则显然 G{n,E)cG(Φn,E),且G(,E)= linG(a,E),从而由测度的外极限定理知 f在E上的积分值为m(,E)=m(n,E)=m∫中,dx 当我们按定理4.2.1方法构造简单函数列{中n(x)时,m(n,E)便是f 在分划T:E E下的小和s(r,T,),即。fdx=immG(,E)= lims(f,Tn)。这与定义(R)积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似;区别 在于(R)积分直接将定义域分成区间,(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过 来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。 3)若f(x)为可测集E上的一般可测函数,则按2)分别求出
注５.１.１ 此处作“∫E f − dx，∫E f + dx 至少有一个有限”的限制在于保 证不出现∞－∞的无意义表达式。 注５.１.2 (L)积分定义有三大优点：定义简洁、直观明了，不需大、 小 和概念，不必考虑函数是否有界，定义域测度是否有限。 如何具体计算积分值呢？ 1) 若 f 为可测集 E 上的非负简单函数，则 f(x)＝ c i ,x∈E i (i=1,2,3,...,n)， E i ∩E j ≠φ(i≠j)，从而f在E 上的积分值 为 mG ( ) f , E ＝∑= n i 1 c i mE i 例５.１.１ Dinichni 函数 D(x)＝ { } [ ] { } [ ] ∈ = ∈ = ， 为 ，中的无理数 。 为 ，中的有理数 ， 0 ; 0 1 1, ; 0 1 2 1 x E x x x E x x 可积，且∫E Ddx＝1×mE1＋0×mE 2 ＝0。 2) 若 f(x)为可测集 E 上的非负可测函数，则存在 E 上的非负简单函数列 {φn (x)}满足 0≤φn (x)≤φn+1 (x)，φn (x)→f(x) (n→+∞)，则显然 G ( ) Φn , E ⊂ G ( ) Φn+1 , E ，且 G ( ) f , E ＝n→∞ lim G ( E) n Φ , ，从而由测度的外极限定理知： f 在 E 上的积分值为 mG ( ) f , E ＝n→∞ lim mG ( E) n Φ , ＝n→∞ lim ∫E φn dx 当我们按定理４.２.１方法构造简单函数列{φn (x)}时， mG ( ) Φn , E 便是 f 在分划 T n :E＝ U 2 1 1 + = n n k E k 下的小和 s(f,T n )，即∫E fdx＝n→∞ lim mG ( E) n Φ , ＝ n→∞ lim s(f,T n )。这与定义(R)积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似；区别 在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过 来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。 3) 若 f(x)为可测集 E 上的一般可测函数，则按 2）分别求出
「。f'dx,Jfdx从而获得fdx,显然测度有限的可测集E上定义的有界 可测函数均为可积函数。 以上三大步骤,不仅说明了1 lebesgue积分的可操作性,也是在证明一系列 积分性质时所采取的通用的循序渐进的方法。 定理5.1.1设f(x)在E上有积分值,则对任意实数a,af(x)在E上 也有积分值,且 a fdx= a fdx 证明1当α≥0时,分三种情形证明之 a)若f(x)为E上的非负简单函数,(1)式显然成立 b)若f(x)为E上的非负可测函数,则存在E上的非负简单函数列 {中n(x)}满足中。(x)≤中tn(x),中n(x)→f(x)(n→+∞), 「。afdx=m「。a中,=ma「。中,=am』中,d = ae fdx,即(1)式成立。 c)若f(x)为一般可测函数,利用b)及(af)=af,(af)=af即 「afdx=J。afdx- j af dx=a f dx-a f d fd 2°当a<0时,利用b)及(af)+=-afˉ,(af)=-af即得 「。afdx=「(a)fdx-J(a)fdx=(a)』fd-(-a) f'd=a[fdx,证毕 定理5.1.2:设f(x),g(x)在E上可积,则f(x)±g(x)也在E上可积, 且 [f+g]dx= fdx+.gdx (2)
∫E f + dx，∫E f − dx 从而获得∫E fdx，显然测度有限的可测集 E 上定义的有界 可测函数均为可积函数。 以上三大步骤，不仅说明了 lebesgue 积分的可操作性，也是在证明一系列 积分性质时所采取的通用的循序渐进的方法。 定理５.１.１ 设 f(x)在 E 上有积分值，则对任意实数 α，αf(x)在 E 上 也有积分值，且 ∫E αfdx=α ∫E fdx (1) 证明 1 0 当 α≥0 时，分三种情形证明之。 a) 若 f(x)为 E 上的非负简单函数，(1)式显然成立。 b) 若 f(x)为 E 上的非负可测函数，则存在 E 上的非负简单函数列 {φn (x)}满足 φn (x)≤φ1+n (x)，φn (x)→f(x) (n→＋∞)， ∫E αfdx＝n→∞ lim ∫E αφn dx＝n→∞ lim α∫E φn dx＝αn→∞ lim ∫E φn dx ＝α∫E fdx，即(1)式成立。 c) 若 f(x)为一般可测函数，利用 b)及(αf) + ＝αf + ，(αf) − ＝αf − 即 得∫E αfdx＝ ∫E αf + dx－ ∫E αf − dx＝α ∫E f + dx－α ∫E f − dx＝α ∫E fdx 2 0 当 α＜0 时，利用 b)及(αf) + ＝－αf − ，(αf) − ＝-αf + 即得 ∫E αfdx＝ ∫E (-α)f − dx－ ∫E (-α)f + dx＝(-α) ∫E f − dx－(-α) ∫E f + dx＝α∫E fdx，证毕。 定理５.１.２：设 f(x)，g(x)在 E 上可积，则 f(x)±g(x)也在 E 上可积， 且 ∫E [f+g]dx＝ ∫E fdx＋∫E gdx (2)
证明a)若f(x),g(x)为E上非负简单函数,则(2)式显然成立 b)若f(x),g(x)为E上的非负可测函数,则存在简单函数列 {φ(x)}、{,(x)}满足 0≤中,(x)≤中n+1(x),中n(x)→f(x)(n→+∞) 0≤,(x)≤Wn+1(x),甲n(x)→g(x)(n→+∞) 从而中,(x)+W,(x)≤中n+1(x)+甲n+1(x), 且φ,(x)+旷,(x)→f(x)+g(x)(n→+∞), [f+g]dx=lim[中n+甲n](x)dx imn[.φndx+[vndx] lim「φdx+lim fdx+[gdx,即(2)式成立。 (值得注意的是:对非负函数而言,只须可测就足以保证(2)式成立。 c)若f(x),g(x)为E上的一般可积函数,则[f+g]≤f+f+g+g 从而G[+g,E)=(+f+g2+g,B),故 nc(+g},E)≤m(r*+f+g2+g,B)<+∞,即[+g]在E上可积,同理 [f+g]在E上可积。[f+g]=[+g-[f+g]=(f-f)+(g-g-), 移项得[f+g]+f-+g^=ft+g++[f+g] 由b)得
证明 a) 若 f(x)，g(x)为 E 上非负简单函数，则(2)式显然成立。 b) 若 f(x)，g(x)为 E 上的非负可测函数，则存在简单函数列 {φn (x)}、{ψn (x)}满足 0≤φn (x)≤φ n + 1 (x)，φn (x)→f(x) (n→＋∞)， 0≤ψn (x)≤ψ n + 1 (x)，ψn (x)→g(x) (n→＋∞)， 从而 φn (x)＋ψn (x)≤φ n + 1 (x)＋ψ n + 1 (x)， 且 φn (x)＋ψn (x)→f(x)＋g(x) (n→＋∞)， ∫E [f+g]dx＝n→∞ lim ∫E [φn ＋ψn ](x)dx ＝n→∞ lim [ ∫E φn dx＋∫E ψn dx] ＝n→∞ lim ∫E φn dx＋n→∞ lim ∫E ψn dx ＝∫E fdx＋ ∫E gdx，即(2)式成立。 (值得注意的是：对非负函数而言，只须可测就足以保证(2)式成立。) c) 若 f(x)，g(x)为 E 上的一般可积函数，则[f+g] + ≤f + ＋f − ＋g + ＋g − 从而 G ([ ] f g , E) + + ⊂ G (f f g g , E) + − + − + + + ，故 mG ([ ] f g , E) + + ≤mG (f f g g , E) + − + − + + + ＜＋∞，即[f＋g] + 在 E 上可积，同理 [f＋g] − 在 E 上可积。 [f＋g]＝[f＋g] + －[f＋g] − ＝(f + －f − )＋(g + －g − )， 移项得 [f＋g] + ＋f − ＋g − ＝f + ＋g + ＋[f＋g] − 由 b)得
「。[+g]'dx+」fd+』gdx 「。f'dx+。gdx+」[+gdx 「。fdx-Jfdx+』gdx- 即[[f+g]dx=[fdx+[gdx,证毕。 推论5.1.1:设f(x),g(x)在E上可积,则对任意a、β∈R, af(x)±Bg(x)也在E上可积,且 [af±βg]dx=afdx±B[gdx 定理5.1.3:1)设f(x)在E上可积,则f在E的任意一个可测子集El上 可积 2)(有限可加性)若f(x)在E,El上均可积,其中E1、E2为E的互不 相交的可测子集,且E=EI∪E2,则f(x)在E上可积,且 fdx= fdx+ fdx 证明1)因为6(,)={(x,y)1x∈,0≤y<f(x) ={(x,y)|x∈E,0≤y<f(x)}U{(x,y)|x∈E-E1,0≤y<f(x)} GU,EUG(', E-E), 于是[fd=m(,E1)≤m(C,E)=fdx<+∞
∫E [f＋g] + dx＋∫E f − dx＋∫E g − dx ＝∫E f + dx＋∫E g + dx＋∫E [f+g] − dx 故 ∫E [f＋g] + dx－∫E [f＋g] − dx ＝∫E f + dx－∫E f − dx＋∫E g + dx－∫E g − dx 即∫E [f＋g]dx＝ ∫E fdx＋∫E gdx，证毕。 推论５.１.１：设 f(x)，g(x)在 E 上可积，则对任意 α、β∈R， αf(x)±βg(x)也在 E 上可积，且 ∫E [αf±βg]dx＝α ∫E fdx±β∫E gdx (3) 定理５.１.３：1)设 f(x)在 E 上可积，则f在E 的任意一个可测子集 E1上 可积。 2)（有限可加性）若 f(x)在 E1，E1上均可积，其中 E1、E 2 为 E 的互不 相交的可测子集，且 E＝E1∪E 2 ，则 f(x)在 E 上可积，且 ∫E fdx＝∫E1 fdx＋∫E2 fdx (4) 证明 1)因为 G (f , E) + ＝{(x,y)｜x∈E,0≤y＜f + (x) } ＝{(x,y)｜x∈E1 ,0≤y＜f + (x)}∪{(x,y)｜x∈E-E1 ,0≤y＜f + (x)} ＝G ( ) 1 f , E + ∪G ( ) 1 f , E − E + ， 于是∫Ei f + dx＝mG ( ) 1 f , E + ≤mG (f , E) + ＝∫E f + dx＜+∞
同理fd=m(,E)≤n(E)=f<+∞,故f()在E上可积 2)若f(x)在E1,E2上均可积,则令 f:(x)=Jf(x)x∈E1 f2(x)= 0,x∈E1 0.x∈E f(x)x∈E2 显然,f1,f2均在在E上可积,由定理2知 IfI(x)+f2(x)]dx= fI(x)dx+ f2(x)dx 即[fdx=fdx+[fdx。证毕 定理51.4:①若m=0,则在E上定义的函数皆可积,且fx=0 ②设f(x)=g(x)a.e于E,则f(x)与g(x)有相同的可积性,且 ③(单调性)若f(x),g(x)在E上可积,且f(x)≤g(x)a.e于E,则 fdx≤ 特别地,若m≤f≤M,m+∞,则mE≤[fdx≤MmE ④(绝对可积性)设f(x)在E上可积,则丨f(x)|在E上可积,且 fdx≤[|f|d 证明:①设f(x)在E上非负,则由推论4.1.2知f(x)在E上可测,当 0≤中n(x)≤中n1(x),中,(x)→f(x)(n→+∞)时,对任意n有 中,(x)dx=0,故f在E上可积且「f(x)dx=0
同理∫Ei f − dx＝mG ( ) 1 f , E + ≤mG ( f , E)＝∫E f − dx＜+∞，故 f(x)在 E1上可积。 2)若 f(x)在 E1，E 2 上均可积，则令 f1 (x)＝ ( ) ∈ ∈ 2 1 0, , x E f x x E ， f 2 (x)＝ ( ) ∈ ∈ 2 1 , 0, f x x E x E 显然，f1，f 2 均在在 E 上可积，由定理２知 ∫E [f1 (x)＋f 2 (x)]dx＝∫E f1 (x)dx＋∫E f 2 (x)dx 即∫E fdx＝∫E1 fdx＋∫E2 fdx。证毕 定理５.１.４：①若 mE＝0，则在 E 上定义的函数皆可积，且∫E fdx＝0 ②设 f(x)＝g(x) a.e 于 E，则 f(x)与 g(x) 有相同的可积性，且 ∫E fdx＝ ∫E gdx (4) ③（单调性）若 f(x)，g(x)在 E 上可积，且 f(x)≤g(x) a.e 于 E，则 ∫E fdx≤ ∫E gdx (5) 特别地，若 m≤f≤M,mE<+∞,则 mmE≤ ∫E fdx≤MmE ④（绝对可积性）设 f(x)在 E 上可积，则｜f(x)｜在 E 上可积，且 ∫E fdx≤ ∫E |f|dx (6) 证明：①设 f(x)在 E 上非负，则由推论４.１.２知 f(x)在 E 上可测，当 0≤φn (x)≤φn+1 (x)，φn (x)→f(x) (n→+∞)时，对任意 n 有 ∫E φn (x)dx=0，故f在E 上可积且∫E f(x)dx=0
②不妨设f(x)在E上可积,则f(x)在E=E[f=g],E2=E[f≠g]上均可积 则g在E[f=g]上可积,又mE[f≠g]=0,故g(x)在E2=E[f≠g]上可积,从 而g在E=EUE2上可积。且 fdx= fdx+L. fdx= gdx+ gdx (正是由于此结论,有关积分的命题,遇到几乎处处成立的条件时,都不妨当成 处处成立来证明) ③因为g(x)=f(x)+(g(x)-f(x),由定理5.1.2知 「。gdx=』fdx+(g-f)dx≥fdx ④因为f(x)|=f+f,所以|f(x)|可积。又因为 f(x)|≤f(x)≤|f(x)|,故 fdx≤」 fds IfIx,即 S foxI≤』fdx证毕 注意:绝对可积性对 Rieman广义积分是不成立的。正因为如此,才有条件 可积与绝对可积之分。 定理5.1.5(积分唯一性)若在E上非负可测,且。fdx=0,则f 0a.e于E 证明:因为0=「fdx≥ 空7=0,故≥门=0 而Ef>0=UEf≥],故mE[f>0]=0,于是f=0a.e于E,证毕。 定理5.1.6若f(x)在E上可积,则f在E上几乎处处有限
②不妨设 f(x)在 E 上可积，则 f(x)在 E1＝E[f＝g]，E 2 ＝E[f≠g]上均可积。 则 g 在 E[f＝g]上可积，又 m* E[f≠g]＝0，故 g(x)在 E 2 ＝E[f≠g]上可积，从 而 g 在 E＝E1∪E 2 上可积。且 ∫E fdx＝∫E1 fdx＋∫E2 fdx＝∫E1 gdx＋∫E2 gdx。 (正是由于此结论，有关积分的命题，遇到几乎处处成立的条件时， 都不妨当成 处处成立来证明) ③因为 g(x)＝f(x)＋(g(x)－f(x))，由定理５.１.２知 ∫E gdx＝ ∫E fdx＋∫E (g－f)dx≥∫E fdx。 ④因为|f(x)|＝f + ＋f − ，所以｜f(x)｜可积。又因为 -|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|， 故 －∫E |f|dx≤ ∫E fdx≤∫E |f|dx ，即| ∫E fdx|≤∫E |f|dx 。证毕。 注意：绝对可积性对 Rieman 广义积分是不成立的。正因为如此，才有条件 可积与绝对可积之分。 定理５.１.５ （积分唯一性）若在 E 上非负可测，且∫E fdx＝0，则 f ＝0 a.e 于 E 证明：因为 0＝∫E fdx≥∫ > n E f 1 fdx≥ n 1 mE[f≥ n 1 ]≥0，故 mE[f≥ n 1 ]＝0， 而 E[f＞0]＝U ∞ n=1 E[f≥ n 1 ]，故 mE[f＞0]＝0,于是 f＝0 a.e 于 E ，证毕。 定理５.１.６ 若 f(x)在 E 上可积，则f在E 上几乎处处有限
证明:因为』ra≥n1fhx>nm[f≥n,所以 If2n]s→0,、(n→),而E=+∞]=∩Ef≥n,由内极限定 理知:m[f=+∞]=lmmE[f≥n]=0,证毕 定理5.1.7(积分绝对连续性)若f(x)在E上可积,则对ε>0,彐 6>0,当可测集AcE,且mA0, 「。|f|x-』中,0, 中。|≤M,令8=n5>0,当A∈E,且m<8时,有∫fx|≤ f|dx=「[-中x+.中x≤。[一中]x+,中xx≤2+ M×E=ε.证毕 2M
证明： 因为 ∫E |f|dx≥∫E[ ] f ≥n fdx≥n mE[|f|≥n]，所以 m[|f|≥ n ]≤ → 0 ∫ n fdx E , ( ) n → ∞ ，而 E[f＝+∞]＝I ∞ n=1 E[|f|≥n]，由内极限定 理知：mE[|f|＝+∞]＝n→∞ lim mE[|f|≥n]=0，证毕 定理５.１.７ (积分绝对连续性) 若 f(x)在 E 上可积，则对∀ ε＞0,ョ δ＞0，当 可测集 A⊂ E，且 mA＜δ 时，有｜∫A fdx｜＜ε。 证明：1.若 f(x)为简单函数，则令 M＝max{|c i |｜i=1,2,...,n}，对∀ ε ＞0，ョ δ＝ M ε ，当 A⊂ E，且 mA＜δ 时，｜∫A fdx｜≤∫A ｜f｜dx｜＜M× M ε ＜ε. 2.若 f(x)为 E 上的一般可积函数，则|f(x)|为 E 上的非负可积函数，存 在非负简单函数列{φn (x)}满足 φn (x)≤φn+1 (x)，φn (x)→｜f(x)｜ (n→ ＋∞)，对∀ ε＞0，ョ N 0， ∫E ｜f｜dx－ ∫E φ N0 dx＜ 2 ε ，对 φ N0 ，ョ M＞0， ｜φ N0 ｜≤M，令 δ＝ 2M ε ＞0，当 A⊂ E，且 mA＜δ 时，有｜∫A fdx｜≤ ∫A ｜ f｜dx＝∫A [f－φ N0 ]dx＋∫A φ N0 dx ≤ ∫E [f－φ N0 ]dx＋∫A φ N0 dx＜ 2 ε ＋ M× 2M ε ＝ε.证毕
