§2.3 Cauchy公式 Cauchy公式: 1.单通区域的 Cauchy公式 设l一区域o边界围线, f(-)在=0+1上连续,a∈o 即满足 cauchy定理存在条件,则 1f( d z 2Ti 分析:欲证上式成立,只须证 1f(-) d-f(a)=0 2Ti jiz-a
§2.3 Cauchy公式 一、Cauchy公式： 1．单通区域的Cauchy公式 设 l一区域 s 边界围线， f z( ) 在 s s= +l 上连续，a Î s 即满足Cauchy定理存在条件，则 1 ( ) ( ) 2 f x f a dz pi z a = - —ò 分析：欲证上式成立，只须证 1 ( ) (a) 0 2 l f z dz f pi z a - = - —ò
注意到f)=t Zoz-a 只要证 f(-)xf(2)-() C c t=0即可 这是一在内被积函有一奇点2-a的围道积分, Cauchy定理得证故可用复通区域。 ()-f( t f(-)-f(a) t(与无关) z-0 只要证右边积分为0即可
注意到 1 ( ) ( ) 2 l f a f a dz pi z a = - —ò ∴ 只要证 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 l l l f z f z f z f a dz dz dz z a z a z a - - = = - - - —ò — — ò ò 即可 这是一在 内被积函有一奇点 的围道积分， 故可用复通区域。 l z a - Cauchy定理得证 [证]： （与 无关） ( ) ( ) ( ) ( ) l l f z f z f z f a dz dz z a r z a - - = - - — — ò ò r ∴ 只要证右边积分为0即可
lp 2-a 2-a p ∵f(z)在l内连续,∴在a点连续 的>36>0当=p0 ∴(*)成立 注意:①更一般 f(2 1,f) l∈σ,2∈l 2m2-z 解析函积分表达式
( ) ( ) ( ) ( ) max ( ) ( ) 2 l l f z f a f z f a f z f a dz dz r r z a z a pr r - - - £ £ - - — — ò ò ∵f z( ) 在 l 内连续,∴ 在 a点连续 ∴"e d >0, 0 $ > 当 Dz = < r d 有 f(z)- < f a( ) e ∴ 只要 r 足够小 r ®0 ∴ (*)成立 注意：①更一般 1 ( ) ( ) 2 l f f z d i z x x p x = - —ò z l Î Î s x, 解析函积分表达式
②意义:解析函在区域内值由边界(上积分)值确定 8可用来计算围道积分d5能解决Cau定值 不能解决的问题 e.g.开始举的例子是先分项式,用 Cauchy定值和公 式做的,现用 Cauchy公式做,当然只要围道内有奇点 不管用什么做总要用复通区域 cauchy定理。 3z-1 d=d=d2+ =d2 2 2 2兀 (不用分项公式)=47i+2丌i=6i
②意义：解析函在区域内值由边界（上积分）值确定 ③可用来计算围道积分 能解决Cauchy定值 不能解决的问题 l f( ) -z d x x x —ò e.g. 开始举的例子是先分项式，用Cauchy定值和公 式做的，现用Cauchy公式做，当然只要围道内有奇点 不管用什么做总要用复通区域Cauchy定理。 1 2 3 1 3 1 1 2 1 0 3 1 ( 1) 1 3 1 3 1 2 1 4 2 6 z z z z l l z z z z dz dz dz z z z z z z i z z i i i pp p p p - - - = = = - = + - - é ù - - = + ê ú ë û - =+= — — ò ò ò （不用分项公式）
e.g. e a dz=2TI 2(2+i)(z-1 T(Sin-i cos) f(2 ④对于外的关系,则 2.复通区域 Cauchy公式 L=+∑4为G边界,∫()在σ内解析,在 G=0+l上连续则
e.g.2. 2 1 , : ( 1) 2 z z l e d l z i z z - = + ò 2 ( )( ) ( ) (sin cos) z z z i l e e I dz i z z i z i z z i i p p = = = + - + = - ò ④对于 外l 的关系，则 1 ( ) 0 2 l f z d i z x p x = - —ò 2．复通区域Cauchy公式 1 n k k L l l = = + å 为s 边界，f z( ) 在 s 内解析，在 s s= +l 上连续则
f(=) 2兀 d5+∑∮ 当然计算复通区域围道积分一般不需要用它如 上例那样,只要用复通区域 cauchy定理,再用单通 区域 cauchy,公式即可,但由复通区域 cauchy公式我 们可推得下面无界区域 Cauchy公式,虽此公式用得 不多,但却可使我们了解到科西公式在无界区域中 也是成立的。 3.无界区域的 cauchy公式:设 f(z)在围道外单位解析,在
1 1 ( ) ( ) ( ) 2 k n l l k f f f z d d i z z x x x x p x x = é ù = + ê ú ë û - - — — ò ò å 当然计算复通区域围道积分一般不需要用它如 上例那样，只要用复通区域Cauchy定理，再用单通 区域Cauchy公式即可，但由复通区域Cauchy公式我 们可推得下面无界区域Cauchy公式，虽此公式用得 不多，但却可使我们了解到科西公式在无界区域中 也是成立的。 3．无界区域的Cauchy公式：设 f z( ) 在围道 l 外单位解析，在
上连续且当z>0时f(2)一致→0 (>3R当>R时|()<),则 f(= 1rf(5 2Ti JIE 作以z=0为中心圆,围道玉、z∈C内, 则f() 1「6),.f( (到2 Rima(), y22r-x0 R
1 ( ) ( ) ( ) 2 C l R f f f z d d i z z x x x x p x x é ù = + ê ú ë û - - — — ò ò l 上连续且当 z ®¥ 时 f z( ) 一致 ® 0 （ "e >0, $ $ R, 当 z R > 时 f z( ) < e ），则 1 ( ) ( ) 2 l f f z d i z x x p x = - —ò 作以 z=0 为中心圆，围道 R $ Î lzC 、 内， 则 又 ( ) 1 ( ) 1 1 max ( ) 2 2 0 1 CR l l z R f f dz d f d z z z f R R z x x x x x x x x x p e p £ £ - - - £ × < × ® - - —ò — — ò ò
Cauchy定理只能算 pd→ Cauchy公式可算: Q(=) p(2)dz→6p()2=? 我们已了解到 zy=nt(sinz)=asz, aB(2)=sinze=e 这些解析函数的导数仍为解析函数,那么我们 自然要问:是否所有其它解析函数的导数仍为 解析函数的导数仍为解析函? Cauchy公式的推论,其中的第一个推论能回答 我们的这一问题
Cauchy定理只能算 ( ) ( ) l p z dz Q z —ò ® Cauchy 公式可算： ( ) ( ) ? n l p z p z dz dz z z ® = — — ò ò 我们已了解到： 1 ( )n n z nz - ¢ = (sin ) cos , cos( ) sin ; z z z z z z e e ¢ ¢ ¢ = =- = 这些解析函数的导数仍为解析函数，那么我们 自然要问：是否所有其它解析函数的导数仍为 解析函数的导数仍为解析函？ 二、Cauchy公式的推论，其中的第一个推论能回答 我们的这一问题
1.解析函数的任意阶导数:设σ、f( 满足 cauchy公式存在条件,则, 2m( 分析:此公式形式上好象是 Cauchy公式在积分号下 对求n次导的结果,但求导和积分并不是可随意颠 例秩序的,所以必须加以证明。 先证n=1的情况,即证:f、1.f6) d 2Ti(S 只要证n=1lim A_1f( 心A2i(2-2)
1．解析函数的任意阶导数：设 l、 、s f z( ) 满足Cauchy公式存在条件,则， ( ) 1 ! ( ) ( ) 2 ( ) n n l n f f z d i z x x p x + = - —ò 分析：此公式形式上好象是Cauchy公式在积分号下 对求n次导的结果，但求导和积分并不是可随意颠 例秩序的，所以必须加以证明。 先证 n=1 的情况，即证： 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) l f f z d i z x x p x ¢ = - —ò 只要证 n = 1 2 1 ( ) lim 2 ( ) z l f d z i z x x x D ® p x D = D - —ò
即要证7036>03/时,有 f(5) 15<8 Az2丌i1 为此选看2 △ 4ff(z+A-)-f(-)1 f()f() 2i/(2-z-A)(-) y1:f3)d1f(3 Ac mii(E (c一 设mN)=Md-m
即要证 "e>0, $d d >0, ' D <z 时，有 2 1 ( ) 2 ( ) l f f d z i z x x e p x D - < D - —ò 为此选看 ? f z D = D ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 ( )( ) l l f f z z f z f f z z i z z z z f d i z z z x x p x x x x p x x D + D - é ù = = - ê ú D D D ë û - - D - = - - D - ò ò — — ∴ 2 2 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) ( )( ) l l f f f z d d z i i z z z z x x x x p p x x x D D - = D - - -D - — — ò ò 设 max f(x x ) =M d z = - min