留数定理十奇点分类习题课 本章内容小结:见书P19页 本章重点:如何用留数定理计算实积分。 为此需掌握以下三方面内容: 计算留数 (如何用留数理论)计算围道积分 (在以上基础上才谈得上如何用留数理论)计算 实定积分 本次课将分这三大块来讨论分析习题
本章内容小结：见书 页 P119 本章重点：如何用留数定理计算实积分。 为此需掌握以下三方面内容： 一、计算留数 二、（如何用留数理论）计算围道积分 三、（在以上基础上才谈得上如何用留数理论）计算 实定积分。 本次课将分这三大块来讨论分析习题。 留数定理＋奇点分类习题课
计算留数 ref(b) resf(∞o 2mf() 2mf(=) 特别:res(b)= (n-1)[(2-b)()=,bn-m阶数 Im (2 bu) f() b k (b) y'( ∑resf(b)+ry(x)=0
( ) ( ) 0 '( ) ( ) lim( ) ( ) [( ) ( )] , 1 ! 1 ( ) ( ) 2 resf( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 z 1 1 1 1 + ¥ = ï î ï í ì - = × - - - = ïî ï í ì- ¥ = ïî ï í ì = å ò ò ® - = - - - k k k k k b z b n n n k n k l l k resf b resf b b z b f z z b f z b n dz d n resf b f z dz i C f z dz i C resf b k k k y j p p 阶数 （ ） 特别： Q 一、计算留数
在计算函数之前必须先判断奇点的类型,若b-极点, 可直接利用极点留数计算公式计算,若为其它奇点,则 由留数定义计算。当然若为非孤立奇,谈不上留数。 1如何判断奇点类型 奇点即不解析之点,初等函数在其定义域内均解析。 我们通常是通过找函数的无定义之点,=,=四,=等等。 至于奇点的类型,有些一眼即能看出,有些却不尽然
由留数定义计算。当然 若为非孤立奇，谈不上 留数。 可直接利用极点留数计 算公式计算，若为其它 奇点，则 \在计算函数之前必须先 判断奇点的类型，若 bk - 极点， 至于奇点的类型，有些一眼即能看出，有些却不尽然。 我们通常是通过找函数的无定义之点， ， ， 等等。 奇点即不解析之点，初等函数在其定义域内均解析。 如何判断奇点类型： 0 0 1. = ¥ ¥ \ = ¥ =
如:(1)-:显然z=1为单极,而 sin 0-01 T(z+ (3)I(z)= )I(2+2)I(z+n+1) z(2+1)z(x2+1)…(z+n) n→单极 (4)cgzl(=0,z=km?z=0? (5)sinlI k0,=0?z=∞0
3 0 1 : 1 , ? 1 1 1 0 2 | , 0? sin 0 ( 1) ( 2) ( 1) (3) ( ) , ( 1) ( 1) ( ) 4 | , ? ? (5 z z z z k z z z z z z e z z z z z n z z z z z z z n z n ctgz z k z p p ®¥ = = ¥ = = = ¥ - - ¥ - = = G + G + G + + G = = = + + ××× + = - ® = ¥ = = ¥ 如：（） 显然 为单极，而 （ ） 单极 （ ） 0 1 ) sin | , 0? ? z z z z z = = = ¥
判断奇点的步骤有二: ,b-极 )先看imf()=?若imf()=有限,b-可去 →b 无限,b-本性 (2)若b为极点再判断为几阶,方法又有三: (3-b) 若{im(-bf()=非0有限,则b-m阶极 1 (2)=以b为m阶0点 f(-)
ï ï ï î ï ï ï í ì = - = - - = ï î ï í ì - - ¥ - = = ® ® ® 以 为 阶 点 若 非 有限，则 阶极 若 为极点再判断为几阶， 方法又有三： 无限， 本性 有限， 可去 ， 极 （）先看 若 判断奇点的步骤有二： 0 ( ) 1 ( ) lim( ) ( ) 0 (3 ) ( ) ( ) (2) 1 lim ( ) ? lim ( ) b m f z g z z b f z b m b z f z b b b b f z f z m z b m z b z b j
如:对于(1):limx=lim=1 z→)0 00 z=1为单极, z=0可去奇, 实际上是用法
实际上是用法一。 可去奇， 为单极， 如：对于（ ）： z z 1 1 1 1 lim 1 1 lim \ = ¥ = = = z®¥ z - z®¥ z Q
(2)im2 =lim →>0sn 32: 2Z Cos z 0为极点 进而由(2)判断是几阶,用法二: e-1二次洛必达 ∵∴lmz 50 Sin z 而1m=2(z)=lim2(e-1)=次洛必达 z-)0 z→0Snz 所z=0为二阶极点
3 2 0 0 3 0 2 2 3 0 0 1 (2)lim lim sin 3sin cos 0 2 1 lim sin ( 1) lim ( ) lim 1 sin 0 . z z z z z z z z z e e z z z z e z z z e z f z z z ® ® ® ® ® - = = ¥ \ = - × = ¥ - = = = Q 二次洛必达 二次洛必达 为极点 进而由（ ）判断是几阶，用法二： 而 所 为二阶极点
COS coS Z+sin (4) lim ctg= lim =im z→)丌 2→)k丌 sin 2 z=k兀-极点,试用法三求几阶 g(2)= coS Z coSz+sin g(kr )=0, g(kT =1≠ sin kx为单极 zhIhao lm =∞-非孤立奇
非孤立奇。 为单极 极点，试用法三求几阶。 \ = ¥ - = ¥ \ = = ¹ + \ = = = \ = - = ¥ + = = ® ® ® ® z z z k z z z g k g k z z g z z k z z z z z ctgz k z k k k z k z k z k p p p p p p p p p lim | 1 0 sin cos sin ( ) 0, '( ) , cos sin ( ) sin cos sin lim sin cos (4) lim lim 2 2 2 2 2 2 Q Q
(5) lim z sin=不定值 z=0为本性奇 sin sint lim z sin -=lim-2=lim t→0 为奇
为奇 为本性奇。 不定值 \ = ¥ × = = = \ = × = ®¥ ®¥ ® ® z t t z z z z z t z z z z z 1 sin lim sin lim 1 lim sin 0 1 (5)lim sin 1 0 1 0
3、(计算函数):求例(1)-(5)在孤立奇点处函数。 1) res ,1]=lim(z-1) es[,= ∞可去奇函数不一定为0 1 d (2)res SIn 2 ?,e-1多次用洛1 sin z C
1 2 3 3 0 3 1 5 1 [ ,1] lim( 1) 1 1 1 [ , ] 1 1 0 1 1 1 2 [ ,0] [ ] sin sin z z z z z z res z z z z res z e d e res z z dz z a ® = - = - × = - - ¥ = - - \¥ - - = × = 多次用洛 、（计算函数）：求例（）（ ）在孤立奇点处函数。 （） 为可去奇函数不一定为 。 （ ）