§2.3泊松公式 前面学习了如何用行波法求解一维波动问题,用 行波法如何解决三维空间的波动问题? 、定解问题: a2△u 11-0=0(M l1|=0=0(M) M=M(x, y,z
§2.3 泊松公式 前面学习了如何用行波法求解一维波动问题，用 行波法如何解决三维空间的波动问题? 一、定解问题： ï î ï í ì = = = D = = | ( ) | ( ) 0 0 2 u M u M u a u t t t tt j j M = M ( x, y , z)
求解 1、分析 如果我们能够化三维问题为一维问题,就可以用 §2.1的方法和结果 而在球坐标中 (x,y,z,t)=l(,0,p;t 球对称=( 一般不对称,但球面平均值u(r,)称是一维: 且由物理:=lima=mnp
二、求解： 1、分析： 如果我们能够化三维问题为一维问题，就可以用 §2.1的方法和结果 而在球坐标中： ( , ) ( , , , ) ( , , ; ) u r t u x y z t u r t = = 球对称 q j 一般不对称，但球面平均值u(r,t)对称,是一维： V t s V t t lim D ® 0 lim D ® 0 = D D 且由物理： =
所以我们可以想到,能否令: u(i, 0,9, t)=lim (r,t) r→0 故引入平均值法: (1)定义: l(r,) ds udE 4兀 4兀 称为函数v(M,)在以M为中心,r为 半径的球面SM0上平均值 其中d2=ds/r2= sin eded为立体角元
所以我们可以想到，能否令： ( , , , ) ( , ) lim 0 u i t r t r ® q j = 故引入平均值法： (1) 定义： òò òò = = 0 0 4 1 4 1 ( , ) 2 M r M Sr S uds ud r u r t W p p 其中 为立体角元 半径的球面 上平均值 称为函数 在以 为中心， 为 dW ds r qdqdj S u M t M r M r / sin ( , ) 2 0 0 = =
(2)由定义可知: Z u(Mo, to)=lim u(r, t) r→>0 → t0 M0(x0,y0, 要求v(M0,t0) 必须求u(r,t) x t rsin e cos yo+rsin 8 sin r cOS 6 (x-x)2+(y-y0)2+(x2-=)
(2) 由定义可知： ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 u M t u r t t t r ® ® = ( , ) ( , ) 0 0 u r t u M t 必须求 \ 要求 ï î ï í ì = + = + = + q q j q j cos sin sin sin cos 0 0 0 z z r y y r x x r 2 0 2 0 2 0 r = ( x - x ) + ( y - y ) + (z - z ) ( , , ) 0 0 0 0 M x y z O Z Y r j M (x, y,z)
2、求波动方程的通解 u do △ua 4兀 即 4a=a△(Jm l(,D)n=a2△u(r,t) 又因为在直角坐标系中: △=+ 八×0
2、求波动方程的通解 òò W = òò D W S S tt ud a u d 4p 4p 1 即： òò W = D òò W ¶ ¶ S S ud a ud t ) 4 1 ( 4 1 2 2 2 p p ( , ) ( , ) 2 u r t a u r t tt = D 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ D = 又因为在直角坐标系中：
由x和r的关系,可得: Ou Ou ar Ou x-x Ox ar ax ar r au ou o x-Xoy, ou Or x-Xo Ox- Or ox r 0r2-(x au x ar
由x和r的关系，可得： r x x r u x r r u x u - 0 ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ r x x x r r u r x x r x u x u 0 2 2 0 2 2 ( ) - × ¶ ¶ ¶ ¶ + - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ 0 2 2 2 3 2 0 2 ( ) ( ) r x x r u r r x x r u - ¶ ¶ + - - ¶ ¶ =
类似的可得: lnr2-(y-y0)2,02y-y ay2 or au our=(z-20+ ar2 r az< or 故有: au au 3 Ll 22 20u 1 ar ai r
0 2 2 2 3 2 0 2 2 2 ( ) ( ) r y y r u r r y y r u y u - ¶ ¶ + - - ¶ ¶ = ¶ ¶ 类似的可得： 0 2 2 2 3 2 0 2 2 2 ( ) ( ) r z z r u r r z z r u z u - ¶ ¶ + - - ¶ ¶ = ¶ ¶ 故有： 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 r r r u r r r r u z u y u x u u ¶ ¶ + - ¶ ¶ = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ D = ( ) 2 1 2 2 2 2 ru r r r u r u r ¶ ¶ = ¶ ¶ + ¶ ¶ =