第三章分离变量法 中心内容:用分离变量法求解各种有界问题。 目的:1、有界弦自由振动的解; 2、分离变量法的解题步骤 3、本征值问题: △u=0 分离变量)特殊函数微分方程 △u+a=0
第三章 分离变量法 用分离变量法求解各种有界问题。 目的： 2、分离变量法的解题步骤； 3、本征值问题： 、 ¾分离变量 ¾ ¾®特殊函数微分方程 þ ý ü D + = D = 0 0 4 u u u l 1、有界弦自由振动的解; 中心内容：
§3.1有界弦的自由振动 考虑长为l两端固定的弦的自由振动: a u 1 ux=0 0 2 40=0(x) 3 u, e=v(x)
§3.1 有界弦的自由振动 ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì ïþ ï ý ü = = þ ý ü = = = = = = = ( ) ( ) | 0 | 0 0 0 2 u x u x u u u a u t x l t x l x tt xx y j 考虑长为 l 两端固定的弦的自由振动：
解题思路: 1、当弦一端固定时,其自由振动可看为反射波; 2、当弦两端固定时,其自由振动会形成驻波 正波:1=ACOS27( 反波:l2=Ac02×大 驻波:=4+l2=2ACc2xcos fIx 2=X(x)7(0
解题思路： 1、当弦一端固定时，其自由振动可看为反射波； 2、当弦两端固定时，其自由振动会形成驻波； cos 2 ( ) 1 l p g x 正波： u = A t - 反波： cos 2 ( ) 2 l p g x u = A t + 驻波： l p pg x u u u A t 2 2 cos 2 cos = 1 + 2 = = X (x)T(t)
分离变量 我们设定解条件,得: T”X atX 即:X"-uXx=0 T-HaT=O
我们设定解条件---的特解为： u(x,t) = X (x)T(t) 一、分离变量 则由式，得： = m ¢¢ = ¢¢ X X a T T 2 即： î í ì ¢¢ - = ¢¢ - = 0 0 2 T a T X X m m
由式,得: x(0)7(t)=0 X()7(t)=0 即 x(0)=0 X()=0 同理由式可得: X(x)7(0)=0(x) 1x(x)r70)=(x) 由于o(x)和v(x)是任意函数此二式不成立
则由式，得： î í ì = = ( ) ( ) 0 (0) ( ) 0 X l T t X T t 即： î í ì = = ( ) 0 (0) 0 X l X 同理由式可得： î í ì ¢¢ = = ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) X x T x X x T x y j 由于j(x)和y (x)是任意函数，此二式 不成立
二、本征值问题 1、先考虑定解问题 X"-LX=0式中,μ是常数,只能在边界条件的 限制下取特定的值,这些特定的值,称
二、本征值问题 1、先考虑定解问题 ï î ï í ì þ ý ü = = ¢¢ - = ( ) 0 (0) 0 0 X l X X mX (1) 定义： 式中，m是常数，只能在边界条件的 限制下取特定的值，这些特定的m值，称
为方程在边界条件下的本征值; 相应于不同的方程的非零解称为本 征函数。求本征值和相应本征值的问题 称为本征值问题。 2、求解 本征值:k=,n=1,23 本征函数:X()=5mx
称为本征值问题。 征函数。求本征值 和相应本征值的问题 相应于不同的 方程 的非零解称为本 为方程 在边界条件 下的本征值； m m 4 4 5 2、求解 得： ï ï î ï ï í ì = = = x l n X x n l n k n p p ( ) sin 1 2 3 ... 本征函数： 本征值： ，
关于T(t)方程的通解 n丌 将本征值: 代入方程:7”-7=0 T(-1 7(1)=0 此方程通解为: I(t=An cos- t+B sin nrX
三、关于T(t)方程的通解 将本征值： 2 2 2 l n p m = - 代入方程： 0 2 T¢¢ - ma T = 得： ( ) ( ) 0 2 2 2 2 ¢¢ - T t = l a n T t p 此方程通解为： t l n a t B l n a Tn t An n p p ( ) cos sin ¢ + ¢ =
由特解: l(x,)=X(x)() 得式满足式的特解为: n1(x)=X(x)7() n几 nIX (A, coSt+ B, sin--t)sin, 式中4,=4Cn,Bn=BCn
由特解： u(x,t) = X (x)T(t) 得式满足式的特解为： u (x,t) X (x)T (t) n = n n l n x t l n a t B l n a An n p p p = ( cos + sin )sin An AnCn Bn Bn Cn ¢ 式中 = ¢ , =
四、有界弦的自由振动的解 由迭加原理,将式的解迭加,得: x)2(40+8.mn 将上式代如式<3,得: x)=∑4 Sin n= ()∑B放兀0s nIX n=
四、有界弦的自由振动的解 由迭加原理，将式的解迭加，得： å ¥ = = + 1 ( , ) ( cos sin )sin n n n l n x t l n a t B l n a u x t A p p p 将上式代如式，得： ï ï î ï ï í ì = = å å ¥ = ¥ = 1 1 ( ) sin sin ( ) sin n n n n l n x l n a x B x l n x A p p y p j