第三篇 特殊方程
第三篇 特殊方程
第一章勒让德多项式 由第二篇第三章分离变量法有 △n=0一令"=()) r2R+2R′-(l+1)R=0→R(r)=Ce l+1) Φ”+m2Φ=0→Φ A coS mn+B sin mn d in 0+ sin 0 de de (1+1)-=(=0→(0)= Sine 令x=cos,y(x)=(0)
第一章勒让德多项式 由第二篇第三章分离变量法有 ( ) ( ) ( ) 0 u R r n u = Q F q D = ¾ 令¾ ¾ ¾ ¾ ¾® 令x = cos , q q y x( ) = Q( ) ( ) 2 0 cos sin m m m m F¢¢ + F = ® F n = + A mn B mn ( ) ( ) 2 2 1 sin 1 - 0 ? sin sin d d m l l d d q q q q q q æ ö Q é ù ç ÷ + + Q = ® Q = ê ú è ø ë û -( 1) 2 2 - ( 1) 0 ( ) l l r r r R R l l R R r Ce de + ¢¢ ¢ + + = ® = +
-x)y·2y+1(0+).m 1x212=0y(a 当m=0时 (-x)y.2xy+(+)y=0 ∧u=0→>l=? 本章将解决这一问题
( ) ( ) ( ) 2 2 2 1- - 2 1 - 0 ? 1- m x y xy l l y y x x é ù ¢¢ ¢ + + = ® = ê ú ë û 当m = 0时 ( ) ( ) 2 1- x y¢¢ ¢ - 2xy + l l y + = 1 0 Du u = 0 ? ® = 本章将解决这一问题
中心:球坐标系中的特殊函数问题 目的:1.通过对 Legendre方程的求解掌握 常微分方程的级数解法 帝合 2.掌握 Legendre多项式和缔 Legendre多项式的性质。 3在球坐标中△u=0的解u=?
中心：球坐标系中的特殊函数问题 目的：1.通过对Legendre方程的求解掌握 常微分方程的级数解法。 2.掌握Legendre多项式和缔合 Legendre多项式的性质。 3.在球坐标中Δu=0的解u=?
对于二阶线性常微分方程 r()+p(()+(y(00) 若其系数p(-)和g(=)均在某点及其邻域内解析 则称二为方程的常点。 在常点=的邻域z-z<R内方程有唯一的 一个满足初始条件 W(=0)=C0,W(=)=C的形式为 W(2)=∑C(=-=) 的幂级数解。其中C和C是任意常数;而其它各
对于二阶线性常微分方程 W ¢¢ ¢ (z) + p (z)W (z) + = q (z)W z( ) 0 1( ) ( ) ( ) p 0 若其系数 z 和q z z 均在某点 及其 域邻 内解析, 0 则称 为z 方程的常点。 0 在常点z z = 的 域邻 内 z-z0 < R ,方程有唯一的 一个满 条 足初始 件 ( ) ( 0 ) ( ) 0 - 2 k k k W z C z z ¥ = = å W (z0 ) = = C0 ,W ¢(z C 0 1 ) 的形式为 的幂级数解。其中C C 0 1 和 数 是任意常 ；而其它各
次幂系数与C和C的关系,均由将形式解(2)代入 方程()中通过比较方程两边同次幂的系数[即让左 边(=-=)的各次幂的系数均为零]来确定
( ) 0 1 次 系幂 数与C C 和 的关 将 系，均由 形式解 代2 入 (1) é 方程 中通 比过 较方程两边同次幂的系 即 数 让 ë 左 (z z- 0 ) ù 边 的各次幂的系 均数 为 来 零û 确定