第六章多项式矩阵 本章将用多项式矩阵的语言来证明任何复方阵相似于 Jordan矩阵,而且除 Jordan块的次序外, 这个 Jordan矩阵是唯一的 6.1多项式矩阵及其标准形 设P是数域,A是一个文字.P闪为P上A的所有一元多项式的集合以P]中多项式 为元素的矩阵称为多项式矩阵或A矩阵所有m×n 的集合记为P[入m×n.很显然 PAnC p[A×n.如同P上矩阵及§4对7阶多项式方阵一样,可在P[]m×中定义加法, 减法,多项式与矩阵乘法以及P入mⅪ中元素与P]×中元素的乘法同样,一个入-矩阵可用唯 的方式表示为系数为P上矩阵的A的多项式,而且加法与乘法可用§54中(5),(6)的形式表达 对于A(入)∈P[入]×n,行列式,子式,余子式,代数余子式及伴随矩阵概念及绝大部分性质如同 Pn×中方阵相同.例如A(入)A()*=detA()ln,但对于“可逆”要留心一些 定义1设A()∈PDA,若有B()∈P[小使得A()B(入)=In,则称A()可 逆,B(A)为A()的逆矩阵,记为A()-1 定理14()∈P入]n可逆当且仅当detA(A)=d为非零常数,且A(入)有唯的逆矩阵 并且,A(入)-1满足A(X)-1A()=A()A()-1=In 证设B()∈P[],使A(入)B(A)=In,于是 detA()detB(入)=1 故d=detA(入)为非零常数 反之,若d=dtA(X)为非零常数.于是,a4()”∈P小×n,且 A()4(A)=4()(a4()=n 即A(入)可逆,又若A(入B(X)=In,则 A()*=4()*(A()B()=LnB()=B()
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秩的概念是P上矩阵的重要概念.同样在A-矩阵中也是一个重要的概念 定义2A()∈P×n.如果A(入)中有一个T级子式不为零,而所有T+1级子式(如果 有T+1级子式的话)全为零,则称A(入)的秩为T.零矩阵0的秩为0.A(入)的秩记为r(4(入) 或 rank a(入) 若A(X)∈PN]可逆,则r(4(入A)=7 与P上矩阵不同之处是r(A()=7,A(入)不一定可逆.如r(AIn)=m,但AIn不可逆 初等变换与初等矩阵对于P上矩阵的研究有重要作用,对入-矩阵也有重要作用 以下变换称为入-矩阵的初等变换 1.将A(入)的某行(列)乘以非零常数 2.将A()的某行(列)加上另一行(列)的q()倍,这里g2(入)∈P[A 3.将A(入)的两行(列)互换 将单位方阵In经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,于是,有三种类型的初等矩阵 P((c),c∈P,c≠0;P(,j(φ(λ),P(,j) 初等矩阵可逆,逆矩阵仍为初等矩阵 P(i(c)-1=P(i(c-1) P(,j(y()-=P(,j(-(入), P(,j) 若A(X)∈PN]n.用一个m阶初等矩阵左乘A(入,就是将A()进行相应的初等行变换 用一个7阶初等矩阵右乘A(A),就是将A(A)进行相应的初等列变换 定义34(入),B(从)∈P[m×n.如果经过一系列初等变换可将A()化为B(A),则称A(入) 与B(入)等价(相抵).记为A(A)~B(A) 由于初等变换与初等矩阵的关系,我们知A()~B(X)当且仅当存在m阶初等矩阵P1,P2 3及阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qt使得 B()=PP2. PsA()Q1Q2. Qt 从这里立即可知等价(相抵)有下列性质 1.反身性:4()~A(入) 2.对称性:A(A)~B(A),则B(入)~A(入) 3.传递性:若A()~B(入),B()~C(入),则A()~C(入) 4.A(入)~B(A),则A(A)元素为B(A)的元素的(多项式)组合;B(A)的元素为A(X)的 元素的组合 5.A(入)~B(A),则r(4(入)=r(B() 我们知道,对于P中矩阵,性质5的逆命题也是对的.但对于入-矩阵却不然了.例如MIn 与In的秩均为7,但它们不等价 为了讨论两个λ-矩阵何时等价,我们可用初等变换将入-矩阵化为比较简单的形式.这种方法我们 在定理3.4.3及定理4.6.2的证明中已经运用过了
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引理2设A()∈P[]n,A()≠0.则有B()∈P[A满足 1)A()~B(A) 2)ent1B(川lent;fB(A,1≤i≤m,1≤j≤ 证因为A()≠0,故经过初等变换可将非零元素换到第1行第1列的位置故不妨设et11A(从)≠ 0.记a(A)=et;jA4(入).若有aj(A)使an1()a(入,此时有三种情形 1)i=1.即a11(|a(A).于是 (A)=a1(A)q1()+71(A),degr1() 作两次列变换:第j列加上第1列的-q1(λ)倍;第j列与第1列互换,得到B1(A)~A(入),且 t11B1(X)=71() 即a11(A)/G1(A).于是 ai1 (A)=a1(A)42(A)+r2(), degr2(A)< deg an1(A) 先将第讠行加上第1行的一g(λ)倍,再将第讠行与第1行互换,得到B2()~A(入),且 B2(入)=72( 3)a11()|a1(),1≤j≤m;a1()|a1(A),1≤i≤m;而有i≠1,j≠1使得 a1(A)和(A.设a21()=a1(刘)q(从).先将第i行加上第1行的-q()倍,再将第1行加 上第讠行,得到矩阵B3(从)~A(A),且 et11B3()=ent11A(入) B3(从)=a1/((1-q()+aj(入) 于是et11B3(A)和It1jB3(入),这是情形1) 总之,可得到A1()∈P[An×n,满足 A()~A1(入), deg(ent1A41(入)<deg(ent1nA() 若A1()满足条件2)则可取B()=A1(入).若不然,重复上面过程可得A2()~A1(A)~A(入), deg(ent 11 A2())< deg(ent11 A1A)) 显然,经有限步后可得满足条件的B(A 定理3设A(A)∈P[A]×n,A(A)≠0.则A(入)与下面形状的矩阵D(入)等价, d1(入) d(入) 194
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其中T≥1,dB×)足首子式语证(1≤i≤r),项 1政X)dB第),1≤i≤ 证可aMx)=emtM4(x)由引理2,存在B(x∈P冈入xm使余A(x)~B(x),项 b第)x,其中bx)=etB(x).可 刈=磅第x),b第)=磅第B×∈ 项B(×)来第讠行以证第1行来一PBx)倍;第j列以证第1列来一qdX)倍似余到C(×~B(×), 磅第) (×) 其中C第)∈P|-爹将其元素足B(对来元素来组其外多在 第川e址lC第)∈ 若C第)≠0,则可上C第)施行又等变换似心在C(刈)来第2行至第三行似第2列至第§ 列来又等变换似使余 第) c多)0 0 A(× 多) 这里C多∈P冈将一多将多 b第),c川el多)∈ 阵d=b、),d多)=c多,如此继续有限步后可余 d多 A(×) d,(×) B刈B第),1≤i≤r-1∈ 定义4可A(x)∈P对AmnA(x)~D(x).D(x满足有理3中条件外则形D(x)足 )来(等价设元抵)标准形d第),d多),∈d,(x)足A(刈来不变因子 195
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1-入2入-1 例1用初等变换求A A的标准形 解以A(从)→B(从)表示将A()经初等变换化为B(入),并在一的上方与下方标明所用 列(c)或行(r)变换,有时,将两次(多次)初等变换并作一次于是 2入-1 12入-1 0x2+X-1-A2 0入 0100 0 0λ+ 00100100 0 (-1)r 入2+入一入3-入 0 入 0入(2+1) 最后矩阵为所求 196
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6.2标准形的唯一性 本节A,明一个1-B、的标准形在与一的,并A给出两个1-B、等价的条件 定义1/设A)∈P]m×明r到于)=r,k∈N明A)的k级行列式因子Dk刊于)) 1)1≤k≤T时,Dk))为A于)的所有k级子式的道的)最大公因式 2)k>T时,Dk到形)=0明 多 名1 例1求0 所多1的行列式因子 解以A)表示上面B、,D1)=D1刊于)明由 是t12A)=多1 A 月A于)=于多1)+2 知 D1于)=D2于)=1,D3于)=于多1)+)2+ 例2设d)d+1平),i=1,2,的的T多1明隹 d1) d2) AF) 则A形)的k级行列式因子为 Dk理正)) d1于)d2)的的k),1≤k≤T上 0 证作然子,的的ik)将,的的)时,或k>r时,4)(1的的 而k≤r 1的的k 1的的 d1手)的的手) 由于讠<j≤T时,d形),故结论成立 引理1设A)∈P[]×,则A)经过初等变换后,其行列式因子不 证因为对于行变换,与列变换的,明在一样的,故我们只需要,明A)经过次初等行变换行 列式因子不变就可以了 1)B)=PyP)A)明此时A)=PyP-)B)明此时B于)的k级子式或为 A)的k级子式,或为A于)的k级子式的c倍.即B)的k级子式在A)的k级子式的组 合.故Dk4)DkB)明反过来解成立.故Dk刊))=DkB于)明
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2c这PC中,jcAP此时AiPC中,jc这P,此时这P准则若n为AiP准 则若n准土b倍阵故D. Ai PccL.这Pr 3c如果 这PC中,)元PccA APC中,-元P这Pe 此时这iP准则若n可为AP准则若ni当此n划去了第行c可为AiP准“矩则若 n加上另“则若n准士元P倍a当此n未划去第i行c例所中这P准则若neAP准则 若n准列义阵故 D,APdD.i这iP 反所中AP准则若n也e这P准则若n准列义阵(e D, Ai PdD,这Pe D. A Pccd这PC 推论若AP这P等价中形它们准有5同阵 上因为它们行列n因一5等中故有5同阵 式文2设AP这B∈P第多形下面三矩条件等价阵 P~这P cD. 2 Pccc.这P,则Cb,2, 3 c A Pc唯这iP有5同准阵又形中即有5同准使变因一阵 上3cC→ bc ap这i有5同又形DP即AiP~DP这P~DP,故 AP~这aP bcC2cAR~这i即证AP施行初等变换可语AP化为这P,由引理b行 d2Apcccd 2这PtC 2cC→3c若D, 2 A2PccC D.i这Px则Cb,2,…设AB,这iPe准阵又形行别为 dipC ApCc diPc bp8
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B1(X) es() 故A()~A1(入),B(A)~B1(入),于是 :(A1(A)=Dk(4(A) Dk(B(入) B1() 例2知T=8,且k>T时Dk()=0;1≤ Dk(A)=d1(A)d2()…dk(A)=e1(A)e2(X)…ek(入) 于是有 d1(A)=e1(A)=D1(入 d2()=e2(=D2(/D1() dk(入)=ek(A)=Dk(X/Dk-1(入),1≤k≤r 即A1(X)=B1(A) 推论1A(X)的标准形是唯一的 推论2设A()的行列式因子为:D1(),D2(入),,D(λ),0,,…,则 1)(1≤≤j≤T时,D1(A)D/( 2)D1(A),D2(A)/D1(),…,Dn(/Dn-1()为不变因子 定理3设A(A∈P[A],则A(入)可逆的充分必要条件是A(入)可表成初等矩阵的乘积 证由于初等矩阵是可逆矩阵,故A()若是初等矩阵的积,则必可逆 反之,若A()可逆,则由定理1.1知detA(入)为非零常数,故Dn(A(入)=1.于是由定理 2的推论2知Dk(A(入)=1,1≤k≤,d1(A)=1,1≤i≤n.因而A(入)~l,即有初 等矩阵P t使得 1()=P1…PLnQ B1…PsQ1…Qt 为初等矩阵之积 推论A(入),B(A)∈P[Am,则A()~B()当且仅当存在可逆的m阶方阵P(A),7 阶方阵Q(A)使得 B(A)=P(A)A()Q() 由等价定义及定理3知此结论成立
3 K1 + W W 5 BC Æ;* BC +,ZF W 8=Z &2h+i3]Z &#e;<"j K ;<&2 3 7;<j i&2 4 7 &2 K X + 091 3 K X mV + Z 5 ; < 8- ;< j BC . /.L&2 8- K<N ' X +YdVeN
6.3矩阵相似的条件 这节我们用多项式矩阵的方法来讨论Pn×n中矩阵相似的条件 定义1设A∈P.称MLn-A∈P以]为A的特征矩阵,ALn-A的不变因子为 A的不变因子,AIn-A的行列式因子为A的行列式因予 引理1设A∈PM,U(入),V(A∈P[A×n.则存在Q(,R()∈P]×n,U0,V0 ∈PM使得 U(入)=(AIn-A)Q()+ V(A)=R(入)(AL-A)+V U(X)=D0+m=D1+…+ADm-1+Dm,D∈PM 若m=0,则Q(A)=0,U0=D=U(入) 设7>0,令 Q(入)=Mm-(o+Mm=2Q1+…+ADm-2+Qm 其中Q1是待定的P×n中方阵于是 (ALn-A)Q(入) (Q1-AQ0) +=(Qk-A(k-1)+ 因而只要取 Q1=D,+AQo Q2=D2 +aQ, Qk= Dk+AQ Uo =Dm +ae, 就可以了.用类似的方法可求得R(入)与V 定理24,B∈P×n.则A与B相似当且仅当Al-A与MIn一B等价,即有相同不变 因子 证若A与B相似,则有T∈P×,T可逆使TAT=B.于是T-(ALn-AT AIn-B.由定理23的推论知AIn-A与λIn-B等价
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反之,设AIn-A与Mn-B等价.由定理23的推论知,有可逆矩阵U(入),V(A)∈P[] 使得 AIn-A=u((nn-)v() 由引理1知有R()∈P,V∈PM使(2)成立再由(3)可得 U(A)-(In-A)=(AIn-B)(R()(In-A)+Vo) 即有 (U()-In- B)R(D(AIn -A)=(In-B) 比较上式两边的次数,可得 U(A)--(In-B)R() 因而有 U(入)T=In-U(X)(ALn-B)R(入) 又有Q(∈P[,U0∈PM使得(1)成立.于是 In U(T+U()(In-B)R() U(T+(AIn-AV(R() (In-A)Q()+Uo)T+(AIn- AV()R() UoT+(AIn -)(Q()T+VR() 比较两边的次数知 Q(T+V()-R(入)=0 UoT=I 即Uo可逆,且T=U∈P.再由(4)可知V=T.且A=T-1B.即A与B相似 推论1设A,B∈P.则A与B相似当且仅当A与B有相同的行列式因子 这是因为不变因子由行列式因子决定之故 推论2设A,B P,Q0∈PM.且 In-A= po(In-BQo 则Po,Qo可逆,且Qo=Po;A与B相似 比较入的系数即可 由定理3及其推论1知,下面定义是合理的 定义2设V是P上维线性空间.A∈EndV.ax1,a2,,an为V的基,称 201
4 <NK X mV+ &2 8- KcX + 8 eN0K &- 5 TU Cm &- Z ; 8- eN TUCm+ 5 &2 0K &+ 5 BC . /. $+,Z Z8=ZK+,Zn 3 BC &2 TU )5& K X amV + ?_ 'X rs0to ! p !