1998年线性代数考研题 1.(98103)设A为n阶矩阵,同A≠0,A为A的伴随矩阵,E为阶单位矩阵,若 A有特征值A,则(A2+E必有特征值 解应填 设A有特征值是,则矩阵A,a4+bE,A,A,A(假设A可逆),分别有一特征值为 kaa+b22 由此立即可推出本题的结论 事买上,由Ax=在x(x≠0),若A可逆,则是≠0,于是A2x=1x,即A有一特 A 其余结论可类推 b1 2.(98103设矩阵|a2b22是满秩的,则直线不=y-色=29与直线 b A相交于 (B)重合(平行但不重合D)异面 由初等变换不改变矩阵的秩知 (a1-a2):(h1-b2):(c1-c2)≠(a2-a3):(b2-b3):(c2-c3) 故两直线不平行,可排除(B)、(C) 将两直线分别用参数方程表示.令 b2 a2-a3b2-b3c2-c3 即 )y=b+t(b1-b2),z 以及 +(a2-a3),y=+(b2-b3 +A( 两直线是否有公共点,就看是否存在t,使得对应xyz一致,即
t(a1-a2)=a1+A(a2-a3) b3+(1-b2)=1+a(b2-b) A(c2-c3) 三个方程相加,并整理得 (1+2(a3+b3+c3)+(t-1)(a1+b+c1)-(+A)(a2+b+c2)=0 令1+A=0,t-1=0,t+A=0,得t=1,=-1,代入验证知对应点(a1-a2+a2,h1 b2+b3,C1-c2+c3)确实为两直线的交点 注此题综合运用了线性代数与空解析几何两个知识点,代数与几何、代数与概 高数与概率等相結合的题型,应引起考生的注意 3.(98100已知二次曲面方程x2+ay2+22+2bxy+2x+2yz=4,可以经过正交变 换y=P7化为椭柱面方程2+42=4求a、b的值和正交矩阵P 解由题设,本题相当于二次型f(x,y,z)=x2+ay2+22+2bxy+2xz+2yz通过正交 变换化为标准形∫=n2+42,因此,前后两个二次型所对应的矩阵是相似的,而相似矩阵 具有相同的特征多项式,由此可定出a,b,再按常规方法可求出P f(x,y,z)=x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz,f(,n,2)=n2+42 则由题设前后两个二次型所对应的矩阵A=ba1与A=1必相似,从而有 0+1+4=41+2+2=a1+a2+a3=1+a+1,0=2=团4=2b-82-1 解之得a=3,b=1 对应于特征值A1=0,2=1,马=4可相应求得其特征向量为 √2 √ 因此 (a1,a2,a3)
4.(98-2-03设A是任一(n≥3阶方阵,A是其伴随矩阵,又k为常数,且 k≠0+1,则必有(k4=[] (A)kA (B)k-A (C)k"A D)A-A 解应选B) 本题可采用加强条件的技巧,若A可逆,则由A=AA=|4E,知A=4A (4=14小=k2443=8211=k2341 所以应选(B),题设k≠0土1,n≥3,主要是为了做到4个选项只有1个是正确的 当然,若A不可逆,也能得到相应结论,只是稍微复杂点,要用到A的定义,设 A=(ay),其元素a的代数余子式记作4,则矩阵k=(kay),若其元素的代数余 子式记作46,J=12…,m),由行列式性质有4=k2A1G,/=12…,n).从而(地A0 5.(98-2.05)设(2E-CB)A2=C,其中E是4阶单位矩阵,A是4阶矩阵A的 转置矩阵 201 解先化简.由题设得 C(2E-C-B)A=E, EN(2C-B)A=E 234 2C-B= C 1≠0 0012 故2C-B可逆.于是 1000 A=[(2C-B)=[(2C-B)]1
6.(98-208已知1=(1,4.0,2),a2=(2,7132,a3=(0.1,-1,a), B=(310,b,4)2,间 (1)a,b取何值时,不能由,a,线性表示? (2)a,b取何值时,可由a1,G,&线性表示?并写出此表示式 解本题实质上是含参数方程xa+x2C1+x23=月是否有解的判定可题.因为 120!3 12013)(120 100-11:20-11;-2 01-1 01-1 00a-1 0 2 所以 1)当b≠2时,线性方程组(a,a,)x=B无解,此时B不能由a,a,&线性表 当b 1时,线性方程组(a,a2,G3)x=B有惟 (x1,x2,x3)2=(-12,0) 当b=1,a=1时,线性方程组(a1,a2,&)x=B有无穷多个解: =(x1,x2,x3)=k(-2,12+(-12.0) 其中k为任意常数,这时可由a1,a2,线性表示为 B=-(2+1a1+(k+2)a 7.(98-1-04)设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Ax=0有解向量 且A1a≠0证明:向量组a,Aa a是线性无关的 解证明一组向量a,Aa,…,Ada是线性无关的,最基本的方法就是定义,即设有常 使得 λ1a+A 0 为了稠用Ala≠0,Aa=0,显然A"a=0(m≥k),于是上式同乘以A1,有 即414a=0,由于Aa≠0,所以=0 式()变为Aa+…+44a=0,再两边左乘以A2,可推得2=0,进而类似可 证得λ=λ4=…=λ=0.由定义知向量组a,Aa…,A-a线性无关
8.(98-1-05)已知线性方程组 )a2+a2x+…+a2x2x=0 ax2x1+a2x2+…+a2x2=0 的一个基甜解系为(b12…b2),(b21,b2,…,b2),…,(b1b2,…,b22),试写出 走性方程组 611+a2y (Il) b21y1+b2 的通解,并说明理由 按题目要求,应先写出(Ⅱ)的通解,然后说明理由.所谓通解应满足两点:①是 解:②解向量组线性无关,且个数满足基础解系的要求 由于线性方程组除题设的一般形式外,还可由矩阵表示,相应地本题有两种解法: 代入方程(I)的第一个方程,得 如n+a2b2+…+a12xb2x=0 ,2x21,2x 0 故知a=(a1,a12…,a12)是(Ⅱ)的解 同理代入第23…,n个方程,得a=(a21a2…,a2ax)2,…,a1=(a 均为Ⅱ)的解 又月,月,…,R为I)的基础解系,(I)的系数矩阵的秩必为n,从而(I)的系数矩阵的 行向量姐1,2,…,2线性无关,而(Ⅱ)的系数矩阵的秩为n,未知量个数为2x,其n个 线性无关解向量a,a,…《必为其基础解系,故通解为 kG1+ka2+…+ka(k1k2,…k是任意常数) 法2记方程组(I)(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B,则由题设有AB1=O,因而 (AB)=O,即BA=O,可见A的n个行向量的转置向量为Ⅱ)的n个解向量
由于秩r(B)=n,秩r(4=2-n=n,故A的n个行向量线性无关,又由(Ⅱ),秩 r(B)=n,方程个数为2n,故A的n个行向量组是(Ⅱ)的基础解系,相应通解为 k+k叫+…十k22(k,k2…,k是任意常数) 100 9.(983-03)设矩阵AB满足ABA=2BA-8E,其中A=0-20,E为单 00 位矩阵,为的伴随矩阵,则B 解应填B=0-4 对于含有A的关系式,一般采用公式AA=AA=4E化简 对ABA=2BA-8E两边分别左乘A和右乘A,并利用AA=A4E及Ar1=E AB=2AB-8E,因此,B=82A-4E).而 2 4 故 B=8 4 +x2+2x3 10.08303齐次娃性方程组+2+石=0的系数矩阵记为A.若存在三阶 x1+x2+x3=0 矩阵B≠O,使得AB=O,则 (A)A=-2且B=0 (B)A=-2且B|≠0 (C)A=1且=0 (D)A=1且B|≠0 解应选(C 由题设条件:AB=O,且B≠O知方程组Ax=0存在非零解,于是4=0,即 元1|=0 解得元=1
于是A=111|,由AB=O知BAT=O.故方程组Bx=0存在非零解,于是 B=2 1.(98-3-03)设n(23) 若矩阵A的秩为n-1,则a必为 (A)1 (B) 1 (C)-1 由题设秩r(4=n-1,必有A=0 (n-1a+1(n-1)a+1(n-1)ax+1…(n-1)a+ =[(n-1)a+1 |=(x-1a+1 (-a)*-(n-1a+1] 可见A4=0时必有a=0或 但a=0时,显然秩r(A=1,与题设矛盾,故必有 12.(98-307)设矩阵A=020,矩阵B=(kE+43,其中k为实数,E为单 10 位矩阵.求对角阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵 解先求出A的特征值是,则B的特征值为(k+A)2,B正定的充要条件是所有的特 征值全大于零
E-A=02-20=4(2-2 可得A的特征值为A1=A2=2,2=0 设A为A的特征值,x≠0为相应特征向量,即Ax=x,则有 Bx =(E+A)x=(k+a)x 即B有特征值(k+4)2,故B的特征值为(k+2)2,(k+2)2,k2.由此可得 (k+2)2 且B~A 由上面的结果立刻可得:当k≠2且k≠0时,B的所有特征值全大于零,这时B为正 13.(8403)设AB均为阶矩阵,A=2,|=-3,则AB= 应填 由于A=4A,故 pAB1|=|244B1|=AB1=4 14.(98-403)若向量组a,By线性无关;a月.5线性相关,则口 (A)a必可由By6线性表示 (B)B必不可由ay,6线性表示 (C)心可由a,By线性表示 ①D)6必不可由aBy线性表示 由题设aB.y线性无关,因此a.B也线性无关,而题设《,Bδ线性相关,故δ必可由 a,B线性表示,且表示方法惟一,从而6更可由a,By线性表示
15.(98409)设向量a=(a1,a2,…,an),B=(,b2…,b2)都是非零向量,且满足条件 a2B=0.记x阶矩阵A=aF,求 (2)矩阵A的特征值和特征向量 解注意利用矩阵运算的特殊性:a2B为数,af 抽象矩阵A的特征值一 用定义Ax=kx求解,若A满足矩阵多项式f(4=0,则A的特征值必须满足 Jf(4)=0 1)由A=a和a2B=0,有 A2=AA=(aB)aF)=aBaB=(BaaF=(aBap=O (2)设A为A的任一特征值,A的属于待征值的特征向量为x(x≠0),则 Ax= ar 于是 Ax=2Ax=2x 因为A2=O,所以12x=0.又因为x≠0,故是=0,即矩阵A的特征值全为零 不妨设向量aβ中分量a1≠0,1≠0,对齐次线性方程组(0E-A)x=0的系数矩阵施 以初等行变换 的)(1b2 a21-a23 A 由此可得该方程组的基础解系为 (-,01…,0)2,…,ax1=( 于是,A的属于特征值=0的全部特征向量为 c1喁+2a2+…+cn11(其中1,c2…n1是不全为零的常数 16.(98407)已知下列非齐次线性方程组(I),(Ⅱ) (1)14x 1,( -11 (1)求解方程组(I),用其导出组的基础解系表示通解; (2)当方程组()中的参数m,n,为何值时,方程组(1)与()同解
解利用初等行变换判定岀銈性方程組(I)的解的情况,并写出其通解,将此通解分别 代入方程组(Ⅱ)的三个方程中分别求出,n和t,最后要特别注意验证方程组(Ⅱ)的通解与方 程组(I)的完全相同 (1)设方程组(1)的系数矩阵为A,增广矩阵为A,对A作初等行变换,得 于r(41)=r(x)=3<4,所以方程组有无穷多组解,且通解为 0 将通解x代入(Ⅱ)的第一个方程,得 解得m=2 将通解x代入(Ⅱ)的第二个方程,得 (-4+k)-(-5+2k)-2k 从而n=4 将通解x代入(Ⅱ)的第三个方程, 因此,方程组(Ⅱ)的参数m=2,n=4,t=6时,方程組(I)的全部解都是方程组(Ⅱ 的解,这时,方程组(Ⅱ)化为 (2)设方程组Ⅱ)的系数矩阵为A,增广矩阵为A.对作初等行变换,得 于是,方程组(Ⅱ)的通解为