1999年线性代数考研题 1.(99103设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 解应填 由题设A 1-1 12 见-1 解得特征值为=n,=…==0 (991-03)设A是mX矩阵,B是nx牌矩阵,则[ (A)当m>时,必有行列式AB1≠0(1)当m>x时,必有行列式4B=0 (C)当n>m时,必有行列式AB=0()当n>m时,必有行列式|AB=0 解应选(B) AB为閉Xm方阵,且秩r(AB)≤min(r(A),r(B)≤min(m,n).可见当m>n时,必有秩 r(AB)≤》<m,作为明x矩阵AB,其行列式AB=0.(B)为正确答案 3.09113阵车A=5b3|,其行列式A=-1,又A的件随矩阵r 有一个特征值,属于的一个特征向量为a=(-1-1)2,求a,b,c和石的值 解题设与伴矩阵A有关,自然想到用AA=AA=4E进行化简,另外,本题 是求特征值的逆可题,且题设已知某特征向量,因此需要从特征值、特征向量的定义着手分 析,Aa=4 根据题设可得AA=4E=-E和a=1a.又Aa=-Ea=-a,所以Aa
0(-a+1+c)=1 b3‖-1 由此可得{42(-5-b+3)=1 由(1)和(3),解得=1:将=1代入(2)和(1),得b=-3a=c.由|4=-1和a=c, 5-33 4.(91-06)设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mX实矩阵,B为B的转置矩 阵,试证:BAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n 解由于BTAB为抽象矩阵,判定其正定性,无法从顺序主子式全大于零得到结论 这类可题一般要从定义对应二次型为正定二次型)或其特征值全大于零这两方面去分析, 而求特征值要求知道抽象矩阵满足一定的矩阵关系式,本题无此类条件,因此求解本题的基 本方法只能是定义法 必要性:设B7AB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量x≠0,有 xT(BAB)x>0,即(Bx)A(Bx)>0,于是,Bx≠0.因,Bx=0只有零解,从而 r(B 充分性:因(BAB)=BATB=BAB,故BAB为实对称矩阵.若r(B)=n,则 线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意实n维列向量x≠0有Bx≠0.又A为正定矩 1有(Bx)2A(Bx)>0.于是当x≠0 (B AB)x>0 BAB为正定矩阵 22x-12x-22x 90203记行列式 3x-33x-24x-53x 为f(x),则方程∫(x)=0 4x4x-35x-74x-3 根的个数为 2 ①D)4 解应选(B) 把此行列式的第一列的-1倍加到第二、三、四列,得 (-5x+5)=5x(x-1 显然∫(x)=0的根的个数为2,故应选(B)
6.(992-06设矩阵A 11|,矩阵X满足AX=A2+2x,其中A 是A的伴随矩阵,求矩阵X 解本题为解矩阵方程,题设条件中含有伴随矩阵A,立即想到利用公式AA= AA=E进行化简 由原等式得(A*-2E)X=A,其中E是3阶单位矩阵,用矩阵A左乘等式两端,得 (AE-2A)X=E (4E 而 X=(4E-2A 4= l=4,A4E-2A=211-1 7.(9.2-08)设向量组a=(113,a2=(-1,-35,12,a3=(32,-1,p+2)2 ,-6,10,p) (1)P为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量a=(41610)用a,a3,&,a (2)P为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组 解(四个四维向量是否线性无关,可直接由其构成的行列式ka,a2,&,a1川是否不为 零来判定,或考虑到还要求把α用a,媽,媽,《线性表出,即求 吲+x2a+2《十x=a的解,两步可结合在一起进行,直接通过初等行变换化矩阵 (,2,3,&:a)为阶梯形,(2)在P确定时,求向量组的秩和极大无关组可按常规方法处 理 对矩阵(a,a,&,G:a作初等行变换 10
00-70 00 (1)当P≠2时,向量组a,a,,《线性无关 此时设a=x4+x2G2+x2+x4a,解得 1, P (2)当P=2时,向量姐a,,《3,叫純性相关此时,向量组的秩等于3.a1,a2, (或&,&,)为其一个极大线性无关组 8.(93-03)设A=020,而n≥2为正整数,则A-2A1= 解应填0 可用数学归纳法计算.当n=2时 A-2A-1=A2-2A=AA-2E)=020000=000 101八10-1)(000 当n≥2时 A-2A-1=A2(A2-2A=A2.O=O 9.(93-03)设AB为阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则[] (A)E-A=NE-B (B)A与B有相同的特征值和特征向量 (C)A与B都相似于一个对角矩阵(①)对任意常数t,E-A与E-B相似 解应填(D) 若A~B,则有E-A=|AE-B,但不一定成立AE-A=-B:由 正E-A=E-B知AB有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,但特征向量却不 一定相同:A,B相似,但A,B自身不一定能对角化,即相似于对角矩阵:只有(D)为正确答 案,事实上,由A~B,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,从而有 P(LE-A)P=PiP-P AP=tE-B 即E-A~E-B
10.(9.309)设矩阵A=5b3,且A=-1.又设A的伴随矩阵A有 特征值,属于的特征向量为a=(-1-112,求a,b,c及A的值 解已知A的特征向量反求参数,应从定义式Aa=4a出发进行分析,另外,只要 是涉及到君的间题,都应通过关系式Ar=AA=|4E=-E化简 由Aa=1a,AA=E=-E,有AAa=1Aa,从而 或5b3 由此可得 「(-a+1+c)= (1) 40(-5-b+3)=1 40(-1+c-a)=-1 由(1)和(3),解得4=1.将礼=1代入(2)和(1),得b=-3a=c.由A=-1和 c,有 故a=c=2.因此 a=2,b=-3,c=2,A0=1 11.(9307)设A为mXn实矩阵,E为》阶单位矩阵,已知矩阵B=AE+A1A 试证:当A>0时,矩阵B为正定矩阵 解易知B为对称矩阵,由于对抽象矩阵B无法用其顺序主子式来判定其正定性,只 能通过证明其特征值全大于零或用定义来判别,而求B的特征值要求B满足一定的关系 式,本题无此假设,剩下就只能是用定义了,即证明f(x)=xBx为正定二次型即可 B=(E+A'A)=E+A'A=B 所以B为》阶对称矩阵.对于任意的实n维向量x x Bx=x(E+A'A)x=hxx+xA Ax=Ax x+(Ax)Ax 当x≠0时,有xrx>0,(4x)2Ax≥0.因此,当A>0时,对任意的x≠0,有 x Bx ax x+(Ax)Ax>0
即B为正定矩阵 12.(99403)已知AB-B=A,其中B=210,则A= 解应填 先由AB-B=A,知AB-E)=B.由于 B-E 6 :9la 210 1200 0020 002 13.(994-03)设向量月可由向量组1,2…,《线性表示,但不能由向量组(I) a1,《,…a1线性表示,记向量组Ⅱ):1,,…a1,B,则 (A)&n不能由(I)线性表示,也不能由(I)线性表 (B)an不能由(I)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示 (C)an可由(1)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示 (D)an可由(I)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示 应选(B) 由题设存在k1,,…km使得B=k+k2+…+kan,这里k≠0,否则与不能由 4进性表示弄瓶从而有-知a…,即匹可由 a,a,…,1-1,6线性表示可排除涂 若∝n可由(1)线性表示,即存在l1,42…1,使得《=4+…+lm1a21,则有
B=k41+…+k1C1+k(+…+l1%1)=(+k)a1+…+(km1+k1)az2-1 即可由叫,a,…n-线性表示,矛盾.可排除(c) 40)设矩阵A=-k k.间当k为何值时,存在可逆矩阵P,使 得PAP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵 证根量重数与对这A关持的(使关让星使犊 型的情形是一个为二重根1=A2,一个单根为3,则(4E-A)x=0有两个线性无关解 向量,从而秩E-A=3-2=1,由此可求出A中的有关参数 E-A=k2+1-k|=0+1-k|=(2+12(A-1) 可得A的特征值A1=2=-1,=1. 对于1=-1,有 讨应的特征向量为 (E-A k|-010 4 讨应的特征向量为 1,0,1)
因此,当k=0时,令P=200,则 PAP=0-10 001 15.(99409)已知线性方程组 a2x+b2x2+c2x2=0 (1)a,b,c满足何种关系时,方程组仅有零解? (2)a,b,c满足何种关系时,方程组有无穷多组解,并用基础解系表示全部解 解显然,系数矩阵所对应的行列式为范德蒙行列式,当a,b,c两两不相同时,系数行 列式不为零,齐次线性方程组仅有零解.当a,b,c并非两两不相同时,要分四种情况分别讨 系数行列式 b (a-b)(b-c)(c-a) (1)当a≠bb≠C,C≠a时,D≠0,方程姐仅有零解x1 (2)下面分四种情况 1)当a=b≠c时,同解方程组为 +x2=0 方程组有无穷多组解,全部解为 k1(1,-10)(k为任意常数) 2)当a=c≠b时,同解方程组为 方程组有无穷多组解,全部解为 k2(10-1)(k2为任意常数) 3)当b=c≠a时,同解方程组为
+x2+x2=0 A1 方程组有无穷多组解,全部解为 k20,1,-1)2(k2为任意常数) 4)当a=b=c时,同解方程组为 x3=0 方程组有无穷多组解,全部解为 k4(-10)2+k2(-1.,1)(k4,k为任意常数)