第六章二阶矩过程与随机分析初步 61二阶矩过程 定义611:若随机过程X(,t∈7有EX(o)2<∞,则称X()为二阶矩过程 以L2记所有二阶绝对矩有限的随机变量全体。由 Schwarz不等式:X,Y∈L2 x)≤ EX Er,对于二阶矩过程其均值函数(0)=EX(O),协方差函数 I(s,1)=E(X(s)-(s)(X(1)-;(),相关函数R(s,1)=E(s)X()总是存在的 若把几乎处处相等的两个随机变量看成一个等价类,即若P(X≠Y)=0,则 称X=},L2首先是一个线性空间,定义X,Y∈L2,(X,Y)=EXY,为L2空间 上的内积(,),由此内积还可以诱导出L2上的一个范数‖,wX∈L2 x=(x,x)3=(1x)。从而xy∈L,dx,1)=x-y度量了两个随机变 量之间的距离 定理611:L2是 Hilbert空间(完备的内积空间) 62均方收斂、连续、微分和积分 定义62.1:{xn}cL2,X∈L2,称Xn均方收斂到X,并记为 lim X=X,若 lim EX-X=0。 定理62.l:若 c lim X=X,limn=Y,则 D)lim Ex, =EX=E lim x, lim EIx =ELX -Elim x: 2) lim EX Y=EXY 定理622:(均方收敛准则){Xn}<L2均方收敛台 lim eX X=a。此外,若X 均方收敛到X,则a=Ex
第六章 二阶矩过程与随机分析初步 6.1 二阶矩过程 定义 6.1.1：若随机过程 X (t),t ∈T 有 < ∞ 2 E X (t) ，则称 X (t)为二阶矩过程。 以 L2 记所有二阶绝对矩有限的随机变量全体。由 Schwarz 不等式： X ,Y ∈ L2 ， ( )2 2 2 E XY ≤ E X E Y ，对于二阶矩过程其均值函数 µ(t) = EX (t) ，协方差函数 ( )( ，相关函数 总是存在的。 ______________ Γ(s,t) = E X (s) − µ(s) X (t) − µ(t)) ______ R(s,t) = EX (s) X (t) 若把几乎处处相等的两个随机变量看成一个等价类，即若 ，则 称 P(X ≠ Y) = 0 X = Y ，L2 首先是一个线性空间，定义 2 ∀X ,Y ∈ L ，(X ,Y) = EXY ，为 空间 上的内积 ，由此内积还可以诱导出 上的一个范数 L2 (⋅,⋅) L2 ⋅ ， ∀X ∈ L2 ， ( )2 1 2 2 1 X = (X , X ) = E X 。从而 2 ∀X ,Y ∈ L ，d(X ,Y) = X − Y 度量了两个随机变 量之间的距离。 定理 6.1.1： L2 是 Hilbert 空间(完备的内积空间)。 6.2 均方收敛、连续、微分和积分 定义 6.2.1：{ } X n ⊂ L2 ， X ∈ L2 ，称 X n 均方收敛到 X ，并记为 X n X ，若 n = →∞ lim lim 0 2 − = →∞ E X n X n 。 定理 6.2.1：若 X n X ， n = →∞ lim Yn Y n = →∞ lim ，则 1) 2 2 2 lim lim ,lim lim n n n n n n n n EX EX E X E X E X E X →∞ →∞ →∞ →∞ = = = = ； 2) EXnYm EXY m n = →∞ →∞ lim 。 定理 6.2.2：(均方收敛准则){ } X n ⊂ L2 均方收敛⇔ = α →∞ →∞ n m m n lim EX X 。此外，若 均方收敛到 X n X ，则 2 α = E X 。 1
定义622:二阶矩过程X(1),t∈T称在t=t处均方连续的若lmX(t)=X(0), 即limE()-X()=0。若X()在每一个t处均方连续,则称随机过程是均方 连续的。 定理623:二阶矩过程X()t∈T在t=1处均方连续台相关函数R(s,)在 (t0,t0)处连续。 注意:均方连续并不表明样本轨道连续,例如 Poisson过程,均方连续但样本轨 道不连续 定义623:二阶矩过程X(t),t∈T称在t处均方可导的,若存在Y(1)∈L2使得 X(t+h)-X() =Y(1),即lim X(+h)-X() Y()=0 y(o=x(o dX(o (普通二元函数∫(s,1)称为广义二次可导,是指 lin (s+h,+h’)-f(s+h,1)-f(s,t+h)+f(s,t) 存在。广义二次可导一定二次 可导,反过来不成立,当0f(s:D存在且连续时,它们等价。) 定理6.24:二阶矩过程X(t)t∈T在t=1处均方可导台相关函数R(s,)在 (t0,t0)处广义二次可导 定理62.5:设以下所涉及的导数存在,则 EX(5)()R() aR(S, 1) EX(S)X(O EX(s)x(G=R2=0,Ex(s)xw(=RsD 设f(1)为普通函数,X(),t∈[a,b]为二阶矩过程,令a=0<t1<…tn=b, △=max(-1-),Y=∑f(u4)X(u1)(4-1-)∈L2,这里≤l≤t。若当
定义 6.2.2：二阶矩过程 X (t),t ∈T 称在 0 t = t 处均方连续的若 ， 即 lim ( ) ( ) 0 0 X t X t t t = → lim ( ) ( ) 0 2 0 0 − = → E X t X t t t 。若 在每一个t 处均方连续，则称随机过程是均方 连续的。 X (t) 定理 6.2.3：二阶矩过程 X (t),t ∈T 在 0 t = t 处均方连续 ⇔ 相关函数 在 处连续。 R(s,t) ( , ) 0 0 t t 注意：均方连续并不表明样本轨道连续，例如 Poisson 过程，均方连续但样本轨 道不连续。 定义 6.2.3：二阶矩过程 X (t),t ∈T 称在 t 处均方可导的，若存在Y(t) ∈ L2 使得 ( ) ( ) ( ) lim 0 Y t h X t h X t h = + − → ， 即 ( ) 0 ( ) ( ) lim 2 0 − = + − → Y t h X t h X t E h ，记为 dt dX t Y t X t ( ) ( ) = ′( ) = 。 ( 普通二元函数 f (s,t) 称 为 广义二次可导 ，是指 hh f s h t h f s h t f s t h f s t h h ′ + + ′ − + − + ′ + ′→ → ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 存在。广义二次可导一定二次 可导，反过来不成立，当 s t f s t ∂ ∂ ∂ ( , ) 2 存在且连续时，它们等价。) 定理 6.2.4：二阶矩过程 X (t),t ∈T 在 0 t = t 处均方可导 ⇔ 相关函数 在 处广义二次可导。 R(s,t) ( , ) 0 0 t t 定理 6.2.5：设以下所涉及的导数存在，则 q p p q p q t s R s t EX s X t s t R s t t s R s t EX s X t t R s t EX s X t s R s t EX s X t ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ′ ′ = ∂ ∂ ′ = ∂ ∂ ′ = + ( , ) , ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) _________ ( ) ( ) _____ 2 2 _____ _____ 设 f (t) 为普通函数， X (t),t ∈[a,b] 为二阶矩过程，令 a = t0 < t1 < Ltn = b ， ( ) 1 ， ，这里 。若当 1 max − ≤ ≤ ∆ = k − k k n n t t 2 1 1 Y f (u )X (u )(t t ) L n k n = ∑ k k k − k ∈ = − k k k t ≤ u ≤ t −1 2
△n→>0,均方收敛,则称f()X()均方可积,Yn的均方极限值记为 f(oX(rdt 定理626:f()X()均方可积台(OR(存在。 定理6.27:f(1)X()均方可积,则 1)Elf(X(dt=f(oEX()dt: f(s)X(s)ds If(or(odu f(s)f()R(s, 1 ) dsdt。 在一般条件下数学期望E可与均方极限Im、导数、积分交换(注意交 换的含义) 例621:设零均值的二阶矩过程X(),协方差函数为I、(sa+(s-1) r(=a),求Y(0)的均值函数与协方差函数 d y(1)=EY(1)=0,y(s,1)= 3(s-1 例622:设X()为 Poisson过程,Y()=「X()ds,求Y()的均值函数与协方差 函数 H()=EY()=,T1(s,1)=「[Am()dw/如、 2 63普通函数关于正交增量过程的积分 定义63.1:设X(1),t∈[a,b]为二阶矩过程,若对任意0≤t1<t2≤13<l4有 E[X(t2)-X(X(4)-X(43=0,则称X()为正交增量过程( orthogonal
∆n → 0 ， 均方收敛 ，则称 均方可积 ， 的均方极限值记为 。 Yn f (t)X (t) Yn ∫ b a f (t)X (t)dt 定理 6.2.6： f (t)X (t) 均方可积⇔ f s f t R s t dsdt b a b a ( ) ( ) ( , ) _____ ∫∫ 存在。 定理 6.2.7： f (t)X (t) 均方可积，则 1) ∫ = ∫ ； b a b a E f (t)X (t)dt f (t)EX (t)dt 2) E f s X s ds f t X t dt f s f t R s t dsdt 。 b a b a b a b a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) _____ _________________ ∫ ∫ ∫∫ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 在一般条件下数学期望 E 可与均方极限lim 、导数 dt d 、积分 交换(注意交 换的含义)。 ∫ b a 例 6.2.1：设零均值的二阶矩过程 X (t) ，协方差函数为 2 2 ( ) 1 ( , ) a s t s t X + − Γ = ， dt dX t Y t ( ) ( ) = ，求Y(t)的均值函数与协方差函数。 (t) = EY(t) = 0 µY ， [ ] [ ]3 2 2 2 2 ( ) 2 3( ) ( , ) a s t a s t s t Y + − − − Γ = 例 6.2.2：设 X (t)为 Poisson 过程， ∫ = t X s ds t Y t 0 ( ) 1 ( ) ，求 的均值函数与协方差 函数。 Y(t) t EY t t µY λ 2 1 ( ) = ( ) = ， ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − > − ≤ Γ = = ∫∫ s t s t t s t t s s u v dudv st s t s t Y , 6 1 2 1 , 6 1 2 1 min( , ) 1 ( , ) 2 2 0 0 λ λ λ λ λ 6.3 普通函数关于正交增量过程的积分 定义 6.3.1：设 X (t),t ∈[a,b] 为二阶矩过程，若对任意 0 1 2 3 4 ≤ t < t ≤ t < t 有 [ ( ) ( )][ ( ) ( )] 0 ，则称 为 正交增量过程 (orthogonal __________________ E X t2 − X t1 X t4 − X t3 = X (t) 3
increment process)o 一般假定X(a)=0,若a=-0,假定lmX()=0。令F()=EX(),则 F(a)=0 R(S,1)=EX(s)X(O=F(min(s, D) t>S 则 0≤EX()-X(s)2=F()-F(s),故F()为单调非降函数。 设X()!∈ab]位零均值有右连续轨道的正交增量过程,F()=Ex()此 时即为方差函数,令L()={o)roF(<}.L(dF)是一个线性空间, 定义v/(,g(eL2(dF),(,g)=fo)gdF(),为L2(dF)空间上的内积() 由此内积还可以诱导出L2(dF)上的一个范数||,f∈L2, =(,n)3-0)a()。从而v/g∈L2,d(,g)=/-8度量了它们之 间的距离。L2(dF)也是一个Hbe空间。 对f()∈L2(dF),定义积分f(o)d(),分三步: 1.当f(1)=l1ea1(1)∈L2(dF)(其中cd[a,b)为示性函数,定义 ∫n(x(o)=x(d)-X( 2.当f()=∑kla1()∈L2(F)为简单函数,定义 ∑kl1ea1(x()=∑k(c)-X(d 3.()∈L2(dF),n()为简单函数使得lm()-f()aF()=0,由于 f()dx()为L2空间的基本列( Cauchy列),故彐}∈L2使得
increment process)。 一般假定 X (a) = 0，若 a = −∞ ，假定 lim ( ) = 0 →−∞ X t t 。令 2 F(t) = E X (t) ，则 F(a) = 0 ( , ) ( ) ( ) (min( , ) 。 设 ， 则 ______ R s t = EX s X t = F s t ) t > s 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ≤ E X t − X s = F t − F s ，故 F(t) 为单调非降函数。 设 X (t),t ∈[a,b]位零均值有右连续轨道的正交增量过程， 2 F(t) = E X (t) 此 时即为方差函数，令 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = < ∞ ∫ b a L (dF) f (t) f (t) dF(t) 2 2 。 是一个线性空间， 定义 ， ，为 空间上的内积 ， 由此内积还可以诱导出 上的一个 范 数 ( ) 2 L dF ( ), ( ) ( ) 2 ∀f t g t ∈ L dF ( , ) ( ) ( ) ( ) ______ f g f t g t dF t b a ∫ = ( ) 2 L dF (⋅,⋅) ( ) 2 L dF ⋅ ， ∀f ∈ L2 ， 2 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∫ b a f f f f t dF t 。从而 2 ∀f , g ∈ L ，d( f , g) = f − g 度量了它们之 间的距离。 L2 (dF)也是一个 Hilbert 空间。 对 f (t) ∈ L2 (dF) ，定义积分∫ ，分三步： b a f (t)dX (t) 1. 当 ( 其 中 ) 为示性函数，定义 ； ( ) ( ) ( ) f t = I[c,d ] t ∈ L2 dF [c,d] ⊂ [a,b] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] I t dX t X d X c b a c d = − ∫ 2. 当 为简单函数，定义 ； ( ) ( ) ( ) 2 1 f t k I[ , ] t L dF n i i ci di = ∑ ∈ = ∑ [ ] ∫∑= = = − n i i i i b a n i kiI c d t dX t k X c X d i i 1 1 [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) 3. ∀f (t) ∈ L2 (dF) ， ∃f n (t) 为简单函数使得 lim ( ) ( ) ( ) 0 2 − = ∫ →∞ b a n n f t f t dF t ，由于 ∫ 为 空间的基本列 (Cauchy 列 ) ， 故 使 得 b a n f (t)dX (t) L2 ∃Y ∈ L2 4
lim f,(Odr(0)=Y, icY=f()dr() 上述定义的积分满足以下性质: 3)∫y()+k(小4()=a!(dx()+sndx( (dr(sg(dr(=J)g0dF(),特别 EJ/(dx(=)( 实际上,对于零均值有右连续轨道的正交增量过程X(,F(O)=Ex()2,我们 所定义的积分1()=「((,f∈L2(dF)是L2(d)→L2的一个积分算子: ∫→I()∈L2。该算子满足线性(a·∫+B·g)=a·I()+B·I(g),且是保持内 积、范数不变,即(O.(g)2=(,g)1m),米。=/l2a° 例63.1:考虑线性随机微分方程: Y(1)+2 Y(0)=0 dt db 这里K(t),t≥0为零均值的有右连续轨道的正交增量过程,协方差函数为 x(s,)=min(,),求随机过程Y(1),t≥0的协方差函数。 Y(o)=2e-l-dY(u), I, (s, t)=4 e-s-me--udu= 2e-ste2ming s
f t dX t Y b a n n = ∫ →∞ lim ( ) ( ) ，记 = ∫ 。 b a Y f (t)dX (t) 上述定义的积分满足以下性质： 1) ; ∫ = b a E f (t)dX (t) 0 2) ( ) ( ) ( ) ( ), ; [ , ] I t dX t X d X c b a c d = − ∫ 3) [ ] ; ∫ ∫ ∫ + = + b a b a b a αf (t) βg(t) dX (t) α f (t)dX (t) β g(t)dX (t) 4) ∫ ∫ = ∫ ，特别 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ b a b a b a E f (t)dX (t) g(t)dX (t) f (t) g(t) dF(t) _____ _______________ ∫ ∫ = b a b a E f (t)dX (t) f (t) dF(t) 2 2 。 实际上，对于零均值有右连续轨道的正交增量过程 X (t)， 2 F(t) = E X (t) ，我们 所定义的积分 是 的一个积分算子： 。该算子满足线性 ( ) ( ) ( ), ( ) I f f t dX t f L2 dF b a = ∫ ∈ 2 2 L (dF) → L 2 f → I( f ) ∈ L I(α ⋅ f + β ⋅ g) = α ⋅ I( f ) + β ⋅ I(g)，且是保持内 积、范数不变，即( ) ( ) 2 2 ( ), ( ) ( , ) L g L dF I f I g = f ， ( ) 2 2 ( ) L L dF I f = f 。 例 6.3.1：考虑线性随机微分方程： , (0) 0 ( ) ( ) 2 ( ) = − + Y = dt dX t Y t dt dY t 这里 为零均值的有右连续轨道的正交增量过程，协方差函数为 ，求随机过程 的协方差函数。 X (t),t ≥ 0 (s,t) min(s,t) ΓX = Y(t),t ≥ 0 ∫ − − = t t u Y t e dX u 0 ( ) ( ) 2 ( ) ， ( , ) 4 2 [ ] 1 ( ) 2min( , ) min( , ) 0 ( ) ( ) Γ = = − − − − − − + ∫ s t s t s t s u t u Y s t e e du e e 5