第三节齐次方程 一、齐次方程 巴二、可化为齐次的方程 小结思考题
生一、齐次方程 王1.定义形如=()的微分方程称为齐次方程 2解法作变量代换n=",即y=xn, 小y ==u+x 工工工 dx dx 代入原式 u+x,=f(u), d x 即 du f(u)u 可分离变量的方程 上页
一、齐次方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义
压当/00时得_-mcx d x=ceo(u) 9 q(u)= f(u-u 将=”代入,得通解x=c" esc pc 9 工工工 当彐n,使∫(u)-un=0,则u=L是新方程的解 代回原方程,得齐次方程的解y=nx 上页
当 f (u) − u 0时, ln , ( ) C1 x f u u du = − 得 , (u) x Ce 即 = − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce 得通解 = , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x
例1求解微分方程 c (x-ycos)dx+xcos'dy=0 解令n=”,则=xhn+utx, (x-ux cos u)dx+ xcosu(ud+ xdu)=0, dx cos udu==, sinu=Inx+C, 牛微分方程的解为siny=mx+C 上页
例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + 解
dx 例2求解微分方程,2 中y r -ry t y 22y = y=xy 2 yy 解 小2y2-xy 29 de x-xy+y yy 1-+ 令n=y,则=xd+ulr, 22-u u+ru= 1-L+L 上页
2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 − + − = x y x y x y x y , x y 令u = 则dy = xdu + udx, , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − + = . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例 2 求解微分方程 解
111.2 dx Jdu= 2u-2u'u-2u-1 In(u-1)-In(u-2)-Inu=In x+ InC, U-1 u(n-2) 微分方程的解为(-x)2=Oy(y-2x) 上页
ln ln ln , 2 1 ln( 2) 2 3 ln(u − 1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x ] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 [ x dx du u u u u = − + − − − −
例3抛物线的光学性质 上实例:车灯的反射镜面—旋转抛物面 解如图设旋转轴ax轴 王光源在00,L:y=y(x) 中设M(x,为上任一点,M R 工工工 MT为切线斜率为y 中MN为法线,斜率为 9 ∠OMN=∠NWR M 上页
例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 设旋转轴ox轴 光源在(0,0), L : y = y(x) x y o M T N R L 设M(x, y)为上任一点， MT为切线, 斜率为 y , , 1 , y MN 为法线 斜率为− OMN = NMR
士 ∴tan∠OMN=tan∠MMR, y 由夹|tn∠OMN=yx M R 角正 1-y x切公 式得 L tan∠NMR= 牛得微分方程 yy2+2xy-y=0,即y=-± +1 J J 上页
= − − − = y NMR xy y x y y OMN 1 tan 1 1 tan 2 0, 2 yy + xy − y = 得微分方程 ( ) 1. 2 = − + y x y x 即 y tanOMN = tanNMR, 由夹 角正 切公 式得 x y o M T N R L
令u=,得l+x.=~1±小x/ u d x 分离变量 (1+u2)±√1+ui tat 令1+u2=t2, t(t±1)x 王积分得m(±1=,即√n2+1=±1 上页
令 ， x y u = , 1 1 2 u u dx du u x − + 得 + = 分离变量 , (1 ) 1 2 2 x dx u u udu = − + + 令1+ u 2 = t 2 ， , ( 1) x dx t t tdt = − 积分得 ln 1 ln , x C t = 1 1, 2 + = x C 即 u
平方化简得a2=C 2C Xx 代回u=y,得 y=2C(+C、抛物线 2 所求旋转轴为a轴的旋转抛物面方程为 C y+乙=2C(x+) 2 上页
平方化简得 , 2 22 2 xC xC u = + 代回 , 得 xy u = ) 2 2 ( 2 C y = C x + 抛物线 所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为 ). 2 2 ( 2 2 C y + z = C x +