无穷级数 习题课
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l、下列结论正确的(A) (4)若∑un2,∑"n都收敛,则(un+"n)2收敛 (B若∑mnvn收敛,则∑un2,∑vn都收敛。 (C若正项级数∑发散则%是mmsM2+mn2) (D)若∑un收敛且mn2n则∑vn收敛。V%≈1 n 2 n n 2
若 收敛且 ， 则 收敛。 若正项级数 发散则 若 收敛，则 都收敛。 若 都收敛，则 收敛。 、下列结论正确的（ ） + n n n n n n n n n n n n n n D u u v v n C u u B u v u v A u v u v ( ) . 1 ( ) ( ) , ( ) , ( ) 1 2 2 2 2 2 n v n u n n n 1 2 = (−1) ， = − n un 2 1 = ( ) 2 1 2 2 n n n n u v u + v 2 3 1 , 1 n v n un = n = A
2、设级数∑un收敛,则必收敛的级数为D (A)∑(-1) (B)∑un2; (C)∑(2n-1-2n);(D)∑(n+Ln+1) 之(当1n ∑发散。∑(-1y1 n 1-- 收敛 23 ∑(2n1-n2n)=71 )∵Σ收敛→∑n+1收敛 2n-12n 十 十 →∑(tn+un+1收敛 2n-1 2n 4n n 2n
( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( 1) ; ( ) ; 2 2 1 2 1 2 − − + + − n n n n n n n n C u u D u u B u n u A 、设级数 u 收敛，则必收敛的级数为 n n 1 (−1) n n ln 1 (−1) 发散。 nlnn 1 − + − +收敛 4 1 3 1 2 1 1 ) 2 1 2 1 1 ( ) ( 2 1 2 n n u n u n + − − − = n n n n 2n 1 4 1 4 1 2 1 2 1 1 + + = − D un收敛 un+1收敛 (un + un+1 )收敛
∑(-1)”an2"收敛,则级数∑a() (A)条件收敛;(B)绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性不定。 |→0∑收敛→原级数绝对收敛 2
( 1) 2 ( ) 1 1 n n n n a a − 收敛，则级数 （ ）发散； （ ）敛散性不定。 （ ）条件收敛；（ ）绝对收敛； C D A B 0 2 1 → n an 收敛 原级数绝对收敛。 =1 2 1 n n
3.设0≤an<,则下列级数收敛的是(D) (A∑an;(B∑(-1)"an; (C∑an;(D∑(-1)"a 1 an→0an<-,a n+1 < n 十 4n 2n ∑(-1)an=∑(-1)“(-1)+|=∑[+(-1) 4n2 4n 2n ∴0<an< ∑an收敛
, ( ). 1 3. 设0 则下列级数收敛的是 n an ( ) ; ( ) ( 1) . ( ) ; ( ) ( 1) ; 2 − − n n n n n n C a D a A a B a an → 0 1 1 1 1 + + n a n an ， n 2 1 2 1 0 n a n an ， n an 2收敛。 n n a n n 2 1 4 1 = (−1) + ] 2 1 ( 1) 4 1 ] [ 2 1 4 1 ( 1) ( 1) [( 1) 1 1 n n 1 n n a n n n n n − = − − + = + − D
4.下列命题正确的是() (4)若lim+=r>,则∑mn发散,因此∑发散 (B)∑an条件收敛,b绝对收敛,则(an+bn)绝对收敛。 (C)设an>,则∑(-1)2-1an发散 (Da为常数,则∑m20)-1散性不定 an=an+bn-bn≤{n+bn+bn矛盾 51,→∑绝对收敛∑1发散
为常数，则 敛散性不定。 （ ） 设 则 发散。 条件收敛， 绝对收敛，则 绝对收敛。 若 则 发散，因此 发散。 下列命题正确的是 ] sin( ) 1 ( ) [ , ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) lim 1, 4. ( ) 2 1 1 n n n D a n C a B a b a b r u u u u A n n n n n n n n n n n n − − + = − + → an = an + bn − bn an + bn + bn 矛盾 n an 2 = 1 1 2 2 2 . 1 ; sin( ) , sin( ) 1 绝对收敛 发散 n n n n n n
P066>0,∑收敛,∑(-1)”,绝对收敛 n=1 √n2+ hn≤an+n2+X √n2+ P207(7)λ>0,则∑(-1)”“2条件收敛 n y 入+n 2 ∑(2+)发散 n 入 ∑(-1”2,∑(1”收敛
+ + + + − = = 2 2 2 1 2 1 2 1 206(6) 0, , ( 1) . n a n a n a P a n n n n n n n收 敛 绝对收敛 发散 则 条件收敛 ) 1 ( 207(7) 0, ( 1) . 1 2 1 2 1 2 n n n n n n P n + = + + − 收敛， − − 1 1 2 1 ( 1) , ( 1) n n n n
P207(8) ∑(-y-1+1)m24m11z n →∑un2发散 又(-1)"In(1+)~(-1) n In(1+2In(1+n), lim In(1+) n+1 n→00 故条件收敛
) 1 ( 1) ln(1 1 n n n − + = 发散 1 2 un n n n n 1 ) ~ ( 1) 1 又(−1) ln(1 + − ), 1 1 ) ln(1 1 ln(1 + + + n n ) 0, 1 lim ln(1+ = n→ n 故条件收敛。 n n u P n 1 ) ~ 1 l n (1 207(8) 2 2 = +
P2079)an>0(m=1,2,…),且∑an收敛,九∈(0,兀/2, 级数∑mga2n? ntan-a2n na2
n n n n n n n a a n n a n ntg P a n a 2 2 1 2 1 tan ~ ? 207(9) 0( 1,2, ), , (0, / 2), = = = 级 数 且 收 敛
5.设an=4tan"xdk, 1求∑(an+an+2) (2)对任意λ>0级数∑收敛。(9 元 解:an+an+2=A(an”x+tan"+2x) Jo(1+ tan x)tan"xdx=Jof tan"xdtanx n+1 a n十 nn+1 (1一)+ lim 223 nn十 n→
对任意 级数 收敛。（ ） 求 设 (2) 0, 99 ( ); 1 (1) 5. tan , 1 2 1 4 0 + + = n a a a n a xdx n n n n n a a x x dx n n n n (tan tan ) 2 4 2 0 + + + = + 解 ： x xdx n (1 tan )tan 2 4 0 = + xd x n 4 tan tan 0 = 1 1 + = n 1 1 1 ( ) 1 1 2 1 + + = + n n a a n n n ) 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1 + = − + − + + − n n sn lim = 1. → n n s