第七节可降阶的高阶微分方程 四-、y=f(x,y,…,ym)型 巴二、y=f(y,y,…,ym)型 四三、怡恰当导数方程 巴四、齐次方程 四五、小结思考题
=f(x,y,…,y)型 特点:不显含未知函数y及y,…,y4- 解法:令y)=P(x) 则yt)=P’,y=P( 工工工 代入原方程,得 P(x)的m-b阶方程 Pn=f(x,P(x),…,P("(x).求得P(x), 王将p"=P(x)连续积分次,可得通解 王页下
代入原方程, 得 解法： 特点： , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及 y y ( ) ( ) y P x k 令 = , . (k 1) (n) (n k ) y P y P + − 则 = = ( , ( ), , ( )). ( ) ( 1) P f x P x P x n−k n−k− = P(x)的(n-k)阶方程 求得 P(x), ( ) , 将 y (k ) = P x 连续积分k次 可得通解. ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 一、 y f x y y 型
例1求方程xy3-y4=0的通解 上解设y=P(x,2y=P(x) 代入原方程xP-P=0,(P≠0) 解线性方程,得P=C1x即y(=C1x, 两端积分得ym=C1x2+C2,……, 2 x3+2x3+3x2+Cx+ 120 2 59 原方程通解为y=d1x3+d2x3+d3x2+d1x+d3 上页
0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 解 ( ), (4) 设 y = P x 代入原方程 xP − P = 0, 解线性方程, 得 P = C1 x 两端积分,得 原方程通解为 ( ) (5) y = P x （P 0） , 1 (4) 即 y = C x , 2 1 2 2 y = C1 x + C , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 4 5 2 3 3 2 5 1 y = d x + d x + d x + d x + d 例 1
二、y=∫(x,y",,ym")型 特点:右端不显含自变量x 王解法;设y=m)则y 中"=nmP 中ydy y=p d2P dy 代入原方程得到新函数P(y)的(n-1阶方程 求得其解为=P(y)=Q(,C1,…,Cn1) 原方程通解为 y =x+c qp(y,C1,…,Cn-1) n 2 王页下
设 y = p( y) , dy dP p dx dy dy dp 则 y = = 代入原方程得到新函数 P( y)的(n − 1)阶方程， 求得其解为 原方程通解为 , ( , , , ) 1 1 n n x C y C C dy = + − 特点： 右端不显含自变量x. 解法： ( ) , 2 2 2 2 dy dP P dy d P y = P + , ( ) ( , , , ), = = C1 Cn−1 P y y dx dy ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 二、 y f x y y 型
例2求方程y"-y2=0的通解 解设p=D(y,则y=p P dP 代入原方程得y的 =0,即P(y·,-P)=0, dy dP 由y.-P=0,可得P=C1y dy .=G1,原方程通解为y=C2e dx 上页
0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , dy dP 设 y = p( y), 则 y = p 代入原方程得 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即 P y 由 − P = 0， dy dP y , 1 可得 P = C y . 1 2 c x , 原方程通解为 y = C e 1 C y dx dy = 例 2
三、怡当导数方程 平特点左端恰为某一函数(x,y,…,y" 对x的导数,即@(,y,y,,yy)=0 解法:类似于全微分方程可降低一阶 Φ(x,y,y,…,ym)=C, 再设法求解这个方程 上页
特点 , ( , , , , ) 0. ( , , , , ) ( 1) ( 1) = − − n n x y y y dx d x x y y y 对 的导数 即 左端恰为某一函数 解法：类似于全微分方程可降低一阶 ( , , , , ) , ( 1) x y y y C n = − 再设法求解这个方程. 三、恰当导数方程
庄例3求方程+p2=0的通解 解将方程写成(yy)=0, 故有y=C,即p=C 积分后得通解y2=C1x+C2 c注意:这一段技巧性较高关键是配导数的方程 上页
0 . 求方程 yy + y 2 = 的通解 解 将方程写成 ( yy) = 0, dx d , C1 故有 yy = , 即 ydy = C1dx 积分后得通解 . 1 2 2 y = C x + C 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程. 例 3
生四、齐次方程 特点:F(x,,,…,y()=tF(x,y,y,,y() 解法:可通过变换y=e zdx k次齐次函数 将其降阶,得新未知函数(x) 工工工 zdx y=ze 〃=(z+x)e J=Φ(,,”m1 代入原方程并消去e kl zdx 上页
特点： 解法： ( , , , , ) ( , , , , ) (n) k (n) F x ty ty ty = t F x y y y k次齐次函数 = zdx 可通过变换 y e 将其降阶, 得新未知函数 z(x). , = zdx y ze ( ) , 2 = + zdx y z z e , ( , , , ) , ( ) ( 1) = − zdx n n y z z z e 四、齐次方程 , k zdx 代入原方程并消去 e
得新函数(x)(n-1)阶方程 f(ax ……,z(n-1 1)=0 例4求方程x2yy"=(y-x)2的通解 解设p=-,代入原方程得z+2z=1 解其通解为z=1+C 生氟方程通解为y=2cx 上页
得新函数z(x)的(n −1)阶方程 ( , , , , ) 0. ( 1) = n− f x z z z ( ) . 求方程 x 2 yy = y − xy 2 的通解 解 , = zdx 设 y e 代入原方程,得 , 2 1 2 x z x z + = , 1 2 1 x C x 解其通解为 z = + . 1 2 1 2 ) 1 ( x C dx x C x y e C xe + − = = 原方程通解为 例 4
五、小结 庄解法通过代换将其化成较低阶的方程来求解 例5求方程y”-y2=0的通解 解两端同乘不为零因子 29 工工工 2 yy-y =()=0,故y=C1y, dx y 从而通解为y=C2 上页
五、小结 解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解. 0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , 1 2 y 两端同乘不为零因子 ( ) 0, 2 2 = = − y y dx d y yy y , 1 故 y = C y 从而通解为 . 1 2 C x y = C e 例 5