多元函数微分法 及其应用 习题课()
多元函数微分法 及其应用 习题课(一)
x y 1、设f(x,y) x++ x+12,(x,y)≠(0 求函数 (x,y)=(0,0) f(x,y)在点(0,0)沿着任一方向cosa,co)方向导数 解:∫(x,y)不可微,只能用定义。 △x+△y+ △x°△y af =im ∫(△x,△y)-f(0,0) △x4+△ m Olp→0 p cos a cos pcos+ pcos B+44220 p cosa+p cos B m →>0 P =cosa+cos月
在 点 沿着任一方向 的方向导数。 、 设 求函数 = + + + = ( , ) (0,0) cos ,cos 0 ,( , ) (0,0) ,( , ) (0,0) 1 ( , ) 4 2 3 f x y x y x y x y x y x y f x y 解： f (x, y)不可微，只能用定义。 ( , ) (0,0) lim 0 f x y f l f − = → 4 2 3 0 lim x y x y x y + + + = → 4 4 2 2 4 3 0 cos cos cos cos cos cos lim + + + = → = cos + cos
2.证明函数 f(,y) (x2+y)sin-22,(x,y)≠(0,0 (x,y)=(0,0) 在点(0,0)可徼,但偏导数不连续。 3、求函数的一阶偏导数: f(x,y)={x2+ x t y r ty= 4、设u=f(x,z),而z(x,y是由方程z=x+yq(z)所 确的函数,求de
2．证明函数 = + + = 0 , ( , ) (0,0) ,( , ) (0,0) 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在点（0，0）可微，但偏导数不连续。 3、求函数的一阶偏导数: + = + = + 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y . 4、设u = f (x,z),而z(x, y)是由方程z = x + y(z)所 确的函数,求du
2xy 3、f(x,y)=1(x2+y2)2 +y≠0 0,x2+y2=0 r x 3+p,2 ≠0 2 f(x,y)={(x2+y 2 x t y 0 4、(f1 f f() y9(z-1 yp(2)-1
+ = + + − = 0 , 0 , 0 ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x x y f x y y . 4、 d y y z f z d x y z f f ( ) 1 ( ) ) ( ) 1 ( 2 2 1 − − − − . 3、 , 0, 0 , 0 ( ) 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 3 + = + = + x y x y x y xy f x y x
5、设(3x2y2-2xsiy)dx+(x2cosy+bx3y)dy是 某个二元函数u(x2y)的全微分,试求a,b的量 6、设u=f(x,y,z),又y=(x,),t=Y(x,,且这些函数均 可微,求 解 ou= 3x'y-naxsiny;n=x cosy+ bx y y au 6x y-2axcosy;o=2x cos y+3bx y axd Vox au au a=-1,b=2. axay ayax X 6解a4=9+910@ axax ay ax at ax
5、 设( 3x2 y 2 – 2 a xsiny ) dx + ( x2 cosy+bx3 y ) dy 是 某个二元函数 u(x,y)的全微分，试求 a, b 的量。 6、 设 u=f(x,y,z), 又 y=(x,t), t=(x,z)，且这些函数均 可微，求 xu . , 1 , 2 . 6 2 cos ; 2 cos 3 ; 5 3 2 sin ; cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 = − = = = + = − = + = − a b y xu x yu x y b x y y xu x y a x y x yu x y b x y yu x y a x y xu 、解 6 [ ] xt ty xy yf xf xu + + = 、解 z y x xt x z u
例1求=++在点M(xn,n,)处沿点 b 的向径r的方向导数,问a,b,c具有什么关系时 此方向导数等于梯度的模? 解 05 Vo,%0 +y2+a, cosa=i, cos B=l, cosy= 在点M处的方向导数为 auau M OrIM cos a+ dlM coS B+ M cosy z
解 ?, , ( , , ) 0 2 0 0 0 2 22 22 此方向导数等于梯度的模 的向径 的方向导数，问 具有什么关系时 求 在点 处沿点 r a b c M x y z cz by ax 例 1 u = + + , , , , 20 20 2 r0 = x0 y0 z0 r0 = x0 + y + z cos , cos , cos . 00 00 00 rz ry rx = = = 在点 M 处的方向导数为 cos cos cos 0 M M M M zu yu xu ru + + =
2xax。2 十 (2+2+-2) b2 c auto 十y+ 在点M处的梯度为 g M ax i+j+。mk z 2. 2 ==0i+
0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 2 2 r z c z r y b y r x a x = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 c z b y a x r = + + . 2 ( , , ) 2 0 2 0 2 0 0 0 x0 y z u x y z + + = 在点 M 处的梯度为 k z u j y u i x u gradu M M M M + + = , 2 2 2 2 0 2 0 2 0 k c z j b y i a x = + +
radu.=21-0+0+ a b c 2 当a=b=c时, graduM a tyta 0 2 (x2+y2+x 0 n xo t yo tz xo t % O M 故当a,b,c相等时,此方向导数等于梯度的摸
2 , 4 2 4 2 4 2 0 0 0 c z b y a x gradu M = + + 当a = b = c时, , 2 2 2 2 2 0 0 0 x y z a gradu M = + + , 2 ( ) 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 x y z x y z a x y z a r u M = + + + + + + = , 0 M M gradu r u = 故当a,b,c 相等时,此方向导数等于梯度的模
例2证明函数z=(1+e)cosx-ye有无穷多个极大值, 但无极小值。 证明:zx=(1+e)(-inx),2y =e cosc-e e Gsin x)=0, (cosx -1-y)=0 驻点(2n,0),(2n+1)z,2) Z=(1+e)(-c0sx),2m ecosx-e'-e'-ye' Zxy=e(sin x) 在(2m,0)处,AC-B2=2>0且4=-2<0 在(2n,0)处(n=0±1,±2…)函数取得极大值。 在(n+1)z,2)处AC-221+∠0 、(2n+1)兀,2)不是极值点,函数没有极小值
但无极小值。 例2 证明函数Z = (1+ e y )cos x − ye y 有无穷多个极大值， y y y y y x 证明：Z = (1+ e )(−sin x), Z = e cos x − e − ye (−sin x) = 0，(cos x − 1− y) = 0 驻点(2n ,0),((2n + 1) ,−2) y y y y yy y xx Z = (1+ e )(−cos x), Z = e cos x − e − e − ye Z e ( sin x) y xy = − (2 ,0) , 2 0 2 0 2 在 n 处 AC − B = 且A = − 在(2n ,0)处(n = 0,1,2)函数取得极大值。 0 1 ((2 1) , 2) 4 2 2 + + − − = − e e 在 n 处 AC B ((2n + 1) ,−2)不是极值点，函数没有极小值
(1)求解极值应用题时,先要建立目标函数.有时,为 简化计算,可用较简单的函数代替原来的目标函数,但 xyz 必须保证两函数有相同极值点.例如 6abc 可用xyz代替; 2 2,2可用x+y+x代替(前者为最大,对后者 x +ytz 为最小);ax+b+c可用(ax+by+cl}代替等.但求最值 时,必须用原来的函数求出; (2)若从实际问题可断定函数的最值存在,又函数的 可能极值点唯一,则函数必在该点取得最大(小)值
（1）求解极值应用题时，先要建立目标函数．有时，为 简化计算，可用较简单的函数代替原来的目标函数，但 必须保证两函数有相同极值点．例如 abc xyz 6 可 用 xyz 代替； 2 2 2 1 x + y + z 可 用 2 2 2 x + y + z 代替（前者为最大，对后者 为最小）； a x + by + c 可用 2 (ax + by + c) 代替等．但求最值 时，必须用原来的函数求出； （2）若从实际问题可断定函数的 最值存在，又函数的 可能极值点唯一，则函数必在该点取得最大（小）值．