§8.8多元函数的极值 在现代经济管理中,有许多最优化问题属于多元函 数的极值和最值问题.同一元函数类似,其最值也与其极 值有十分密切的联系;故以下以二元函数为例用多元函 数微分法先来讨论多元函数的极值,再讨论多元函数的 最值 多元函数极值问题有两种基本类型(以二元函数为例) 类型I:讨论z=f(xy)极值—无条件极值 类型Ⅱ:讨论z=f(xy)在约束条件(xy)=0下的极值 条件极值
1 值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函 多元函数极值问题有两种基本类型(以二元函数为例) §8.8 多元函数的极值 在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函 数的极值和最值问题.同一元函数类似，其最值也与其极 数微分法先来讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的 最值. 类型Ⅰ：讨论z=ƒ(x,y)的极值——无条件极值 类型Ⅱ：讨论z=ƒ(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的极值—— 条件极值
无条件极值 定义10设函数=f(xy)在点(x,y)的某个邻域内有定义, 若对于其相应去心邻域内的所有点(xy),恒有 f(x, y)f(xo, yo)) 则称f(x2y)为函数f(x,y)的极大值(或极小值) 函数的极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点统称为极值点 注1与一元函数类似,函数的极值概念是“局部”概念 与函数极值比较大小的,只是极值点邻近各点的函数值
2 一.无条件极值 若对于其相应去心邻域内的所有点(x,y)，恒有 0 0 ( , ) x y 函数的极大值、极小值统称为极值. 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 0 0 ( ( , ) ( , ) ) 或f x y f x y 0 0 则称 为函数 的极大值 ( , ) ( , ) f x y f x y ( ). 或极小值 使函数取得极值的点统称为极值点. 注1 与一元函数类似，函数的极值概念是“局部”概念： 定义10 设函数z=ƒ(x,y)在点 的某个邻域内有定义, 与函数极值比较大小的，只是极值点邻近各点的函数值
定理8(极值存在的必要条件)若函数f(x3y)在点(x,y) 处有极值,且在该点的偏导数存在,则必有 f(x,y)=0,f(x0,y)=0 证因二元函数xy)在点(x,y)处有极值, 故固定y=y时有一元函数z=f(xy)在点x处也 定有同一极值,故f(x0,y)=0; 同理可证f(x02y)=0 定义11能使∫(x,y)=0和(xn,y)=0同时成立的点 x,y)称为函数f(xy)的驻点
3 定理8 (极值存在的必要条件) 若函数ƒ(x,y)在点 0 0 ( , ) x y 0 0 0 0 ( , ) 0, ( , ) 0. x y f x y f x y = = 一定有同一极值，故 0 0 ( , ) x y 0 y y = 0 z f x y = ( , ) 0 x 0 0 ( , ) 0; x f x y = 0 0 ( , ) 0. y 同理可证 f x y = 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y = = 和 0 0 ( , ) x y 称为函数ƒ(x,y)的驻点. 处有极值,且在该点的偏导数存在,则必有 证 因二元函数ƒ(x,y)在点 处有极值， 故固定 时有一元函数 在点 处也 定义11 能使 同时成立的点
注2由定理8知:在偏导数存在条件下,极值点必为驻点 但驻点却不一定是极值点如点0是函数z=x2+y2 的驻点,又是极小值点x(0,0)=0; 但点(0,0)是函数z=y2-x2+1的驻点但却不是极值点 (因z(0.0)=1,而(0y)>1,x(x,0)<1) 怎样判断驻点是极值点呢? 同一元函数一样,有如下充分条件 定理9(充分条件)若函数=(x,y)点(x,y3)的某邻域内 有连续的二阶偏导数,且(x,y)是驻点令 A=f(o, yo), B=fry(o, yo), C=f(xo, yo,q
4 (因z(0,0)=1,而 z(0,y)>1, z(x,0)<1). 2 2 z x y = + 2 2 z y x = − +1 同一元函数一样，有如下充分条件： 定理9 (充分条件) 若函数z=ƒ(x,y)点 0 0 ( , ) x y 0 0 ( , ) x y 注2 由定理8知：在偏导数存在条件下,极值点必为驻点. 但驻点却不一定是极值点. 如点(0,0)是函数 的驻点,又是极小值点z(0,0)=0; 但点(0,0)是函数 的驻点,但却不是极值点. 怎样判断驻点 是极值点呢？ 有连续的二阶偏导数，且 的某邻域内 是驻点.令 0 0 0 0 ( , ), ( , ), A f x y B f x y xx xy = = 0 0 ( , ), C f x y yy = 则
)若B2-4C0,则f(x2,y)是极小值 (3)若B2-AC>0,则f(x2y)不是极值; (4)若B2-AC=0,则f(x0,y)是否为极值需另法判别 其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识,在此略去 例29确定函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9的极值点 解由方程组 f(x,y)=3x2+6x-9=0 得驻点 f(x,y)=-3y2+6y=0 (1,0),(1,2),(-30)、(-3,2)
5 2 0 0 (1). 0, 0, ( , ) ; 若 且 则 是极大值 B AC A f x y − 2 0 0 (2). 0, 0, ( , ) ; 若 且 则 是极小值 B AC A f x y − 2 0 0 (3). 0, ( , ) ; 若 则 不是极值 B AC f x y − 2 0 0 (4). 0, ( , ) . 若 则 是否为极值需另法判别 B AC f x y − = 其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识，在此略去 . 3 3 2 2 例 确定函数 的极值点 29 ( , ) 3 3 9 . f x y x y x y x = − + + − 2 2 ( , ) 3 6 9 0 ( , ) 3 6 0 x y f x y x x f x y y y = + − = = − + = 解 由方程组 得驻点 (1,0),(1,2),(－3,0),(－3,2)
而fm=6x+6,fm=0, 6y+6 s 则在点(1,0)处有A=12,B=0,C=6 从而△=B2-AC=-12×60, 那么f(x,y)有极小值f(1,0) 则在点(1,2处有A=12,B=0,C=6,从而△>0,故f(1,2)非极值 则在点(-3,0)处有A=-12,B=0,C=6,从而△>0,故f(-3,0)非 极值. 则在点(-3,2)处有A=-12,B=0,C=6,从而A<0,且A<0故有 极大值f(-3,0) 故此函数的极大值点为(-3,2),极小值点为(1,0
6 6 6, 0, 6 6, xx xy yy 而f x f f y = + = = − + 则在点(1,0)处有A=12,B=0,C=6; 2 从而 ，且 12 6 0 , 12 0, = − = − = B AC A 那么 有极小值 f x y f ( , ) (1,0); 则在点(1,2)处有A=12,B=0,C=−6,从而∆>0,故ƒ(1,2)非极值. 则在点(−3,0)处有A=−12,B=0,C=6,从而∆>0,故ƒ(−3,0)非 极值. 则在点(−3,2)处有A=−12,B=0,C=−6,从而∆<0,且A<0故有 极大值ƒ(−3,0). 故此函数的极大值点为(−3,2)，极小值点为(1,0)
例30求由方程2x2+2y2+x2+8yz-z+8=0所确定的z 的极值 解方程两边微分得 4xdx +4ydy+2zdz+ 8zdy+ 8ydz-dz=0 dz -4xdx-(4 y+82dy-4xdx (4y+82)dy 2z+8y-1 2z+8y-1 4x y-82 ax 2z+8 Oy 22+8y 由 az 0,=0得x=0,z 则代入原方程有y=-2,y2=16/7;x1=1,2=-8/7
7 2 2 2 30 2 2 8 8 0 . 例 求由方程 所确定的 x y z yz z z + + + − + = 的极值 解 方程两边微分得 4xdx+4ydy+2zdz+8zdy+8ydz－dz=0 4 (4 8 ) 4 (4 8 ) 2 8 1 2 8 1 2 8 1 xdx y z dy xdx y z dy dz z y z y z y − − + − + = = − + − + − + − 4 4 8 , 2 8 1 2 8 1 z x z y z x z y y z y − − − = = + − + − 0, 0 0, , 2 z z y x z x y = = = = − 由 得 1 2 1 2 则代入原方程有 2, 16 7; 1, 8 7. y y z z = − = = = −
从而有驻点(0,-2)(O,16/7) 而=4(2+8y-1)+8x,=,=4x2n+8) (2z+8y-1) (2z+8y-1)2 (4-8z1)(2z+8y-1)+(4y+8z)(2z1+8) (2z+8y-1)2 从而在点O,-2,1)处有4=4/15>0,B=0,C=415 →A=B2-AC<0 故z=x(xy)在驻点(0,-2)处有极小值z=1 而在点(O,16/7,8/7)处有A=-28/105<0,B=0 C=-28/105,→A=B2-AC<0 故z=x(x,y)在驻点(0,16/7)处有极大值z=-87
8 从而 有驻点 (0, 2),(0,16 7). − 2 4(2 8 1) 8 , (2 8 1) x xx z y xz z z y − + − + = + − 而 2 4 (2 8) , (2 8 1) y xy x z z z y + = + − 2 ( 4 8 )(2 8 1) (4 8 )(2 8) . (2 8 1) y y yy z z y y z z z z y − − + − + + + = + − 从而 在点 处有 (0, 2,1) 4 15 0, 0, 4 15 − = = = A B C 2 = − B AC 0 故z=z(x,y)在驻点(0, −2)处有极小值z=1. C = −28 105, 2 = − B AC 0 故z=z(x,y)在驻点(0, 16/7)处有极大值z=−8/7. 而 在点 处有 (0,16 7, 8 7) 28 105 0, 0, − = − = A B
注3在讨论函数极值问题时,也会遇到函数在个别点 处偏导数不存在的情况;但它们也可能是函数的极值点; 只是此时定理9失效,只能用定义10给予判定如函数 因 x-+ x ty 则在(,0)处及z均不存在;但z(0,0)=1 当(x,y)≠(00时,(x,y)=1-√x2+y2<1 即z(0,0)=1为极大值
9 注3 在讨论函数极值问题时，也会遇到函数在个别点 2 2 z x y = − + 1 2 2 2 2 , , x y x y z z x y x y = − = − + + 因 但 (0,0) 1; z = 即z(0,0)=1为极大值. 只是此时定理9失效，只能用定义10给予判定.如函数 处偏导数不存在的情况；但它们也可能是函数的极值点； (0,0) x y 则在 处 及 均不存在； z z 2 2 当 时 ( , ) (0,0) , ( , ) 1 1. x y z x y x y = − +
二元函数的最值 定义12设函数=f(xy)在区域D上有定义且(x0,y)∈D 若对任意的(xy)∈D,恒有 f(x,y)≤f(x0,y)(或f(x,y)≥f(x02y0)) 则称f(x2y3)是函数f(x,y)在D上的最大值(或最小值) 函数的最大值、最小值统称为最值. 使函数取得最值的点统称为最值点 注4极值与最值的区别 函数二=f(xy)的极大(小)值是函数f在D(f的某个邻域内的 最大(小)值;而f的最大(小)值是相对整个区域D来说的
10 二. 二元函数的最值 定义12 设函数z=ƒ(x,y)在区域D上有定义且 函数的最大值、最小值统称为最值. 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 0 0 ( ( , ) ( , ) ) 或f x y f x y 0 0 则称 是函数 在 上的最大值 ( , ) ( , ) f x y f x y D ( ). 或最小值 使函数取得最值的点统称为最值点. 0 0 ( , ) x y D 函数z=ƒ(x,y)的极大(小)值是函数ƒ在D(ƒ)的某个邻域内的 若对任意的(x,y)∈D，恒有 注4 极值与最值的区别： 最大(小)值；而ƒ的最大(小)值是相对整个区域D来说的