定积分的应用 习题课
定积分的应用 习题课
定积分应用的常用公式 (1)平面图形的面积 直角坐标情形 y=∫(x) y=f2(x) A Ly=f() A=f(x)dx A=51(x)f(x)Idx
定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 x y o y = f (x) = b a A f (x)dx x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx A A 直角坐标情形 a b a b
参数方程所表示的函数4=f(x)x 如果曲边梯形的曲边为参数方程 x=φp(t) y=y(t) 曲边梯形的面积A=.v()p()d (其中1和2对应曲线起点与终点的参数值) 在千,t2l(或[21])上x=()具有连续导数, y=y(t)连续
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 = 2 1 ( ) ( ) t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（ 或[ 2 t , 1 t ]） 上x = (t)具有连续导数， y =(t)连续. 参数方程所表示的函数 = b a A f (x)dx
极坐标情形 q(6) g2(6) de q1( a
= A d 2 [ ( )] 2 1 o x d r = ( ) o x ( ) r = 2 ( ) r = 1 = − A [ ( ) ( )]d 2 1 2 1 2 2 极坐标情形
(2)体积 V=lf(x)rdx x=9(y)V=mly()小
(2) 体积 x x + dx x yo V f x dx ba 2 [ ( )] = V y dy dc 2 [( )] = x yo x = ( y) cd
平行截面面积为已知的立体的体积 x对+F V=A(x)dx
x o = b a V A(x)dx a x x + dx b 平行截面面积为已知的立体的体积 A(x)
(3)平面曲线的弧长 A.曲线弧为y=∫(x) 弧长s=+y2 B.曲线弧为{x=9(0“24 y=y(t)(a≤tsB) 其中p(t),y(t)在a,上具有连续导数 弧长s=pBo2 φ2(t)+y"2(t)t
(3) 平面曲线的弧长 o x y a x x + dx b dy 弧长 s y dx b a = + 2 1 A．曲线弧为 = = ( ) ( ) y t x t ( t ) 其中(t), (t)在[, ]上具有连续导数 弧长 s t t dt = + ( ) ( ) 2 2 y = f (x) B．曲线弧为
C.曲线弧为r=r(6)(a≤6sB) 弧长S r(0)+r2(hl0 (4)旋转体的侧面积 y=∫(x) y=∫(x)≥0,a≤x≤b 侧=」2m/(x)√/1f2(x)h
C．曲线弧为 r = r( ) ( ) 弧长 s r r d = ( ) + ( ) 2 2 (4) 旋转体的侧面积 x x + dx x y o y = f (x) y = f (x) 0, a x b = + b a S 2 f (x) 1 f (x)dx 2 侧
(5)细棒的质量(p(x)为线密度) p(xdx o xx+dx l (6)转动惯量 b =xp(x)dx a ox x+dx
(5) 细棒的质量 o x x + dx (x) x l = = l l x dx m dm 0 0 ( ) (6) 转动惯量 a b x y o x x + dx = = b a b a y y x x dx I dI ( ) 2 ( (x)为线密度)
(7)变力所作的功 W= dw F(C b I F(x)dx oax xtd (8)水压力 0ax P= dP xtd ∫Amy(x)k (4为比重)
(7) 变力所作的功 F(x) o a x x + dx b x = = b a b a F x dx W dW ( ) (8) 水压力 x y o a b x x + dx f (x) = = b a b a xf x dx P dP ( ) ( 为比重 )