所数 习题课
函数 习题课
主要内容 基本初等函数 函数 函数 的定义 的性质 复合函数 单值与多值 奇偶性 初等函数函数隐函数 单调性 有界性 双曲函数与 反函数与直接 周期性 反双曲函数 函数之间关系
函 数 的定义 反函数 隐函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性 双曲函数与 反双曲函数 主要内容
典型例题 例1求函数y=g(xn(16-x2)的定义域 解16-x2>0, x0 x>1 x≠2 x-1≠1 →1<x<2及2<x<4, 即(1,2)∪(2,4)
典型例题 例1 log (16 ) . 2 求函数y = ( x−1) − x 的定义域 解 16 0, 2 − x x −1 0, x −1 1, 2 1 4 x x x 1 x 2及2 x 4, 即(1,2)(2,4)
例2 1.已知f(x)=ex,f(x)=1-x且q(x)≥0 求p(x)并写出它的定义域。 解:由e(x)=1-x→p( x)=√ln(1-x), ln(1-x)≥0,∴1-x≥1 即x≤0所以q(x)=、√lm(1-x),x≤0 1 2设f(x)= ,求f∫(x) 0x|>1 解:因为0≤x)≤1,则f(x)|≤1,故fUf(x)=1
1. 已知 ， 2 ( ) x f x = e f[(x)] = 1− x 且 (x) 0 求 (x) 并写出它的定义域。 解：由 e x x = 1− 2 [( )] (x) = ln(1− x) , ln(1 − x) 0, 1 − x 1 即 x 0 所以 (x) = ln(1− x) , x 0 . 例2 = , [ ( )] . 1 1 0 1 2. ( ) f f x x x 设f x 求 解：因为 0 f(x) 1, 则 f (x) 1, 故 f [f (x)]=1
例3设f(x)+f(-)=2x,其中x≠0,x≠1. 求f(x) 解利用函数表示法的无关特性 令t 即 代入原方程得 2 ∫(,)+∫(t) 即f(x)+f() 1u-1 即x 代入上式得 ∫(,)+f( 2(u-1) 即f(1-x)+f(x 2(x-1)
例3 ( ). ) 2 , 0, 1. 1 ( ) ( f x x x x x x f x f 求 设 = 其 中 − + 解 利用函数表示法的无关特性 , 1 x x t − 令 = , 1 1 t x − 即 = 代入原方程得 , 1 2 ) ( ) 1 1 ( t f t t f − + = − , 1 2 ) 1 1 ( ) ( x x f x f − = − 即 + , 1 1 1 u u x − = − 令 , 1 1 u x − 即 = 代入上式得 , 2( 1) ) 1 ) ( 1 1 ( u u u u f u f − = − + − , 2( 1) ) 1 ) ( 1 1 ( x x x x f x f − = − + − 即
解联立方程组 f(x)+f( =2x 2 f(x)+f(,) 1-x1-x 1 1))+f(-)=4(x ∫(x)=x+-
− = − + − − = − + = − + x x x x f x f x x f x f x x x f x f 2( 1) ) 1 ) ( 1 1 ( 1 2 ) 1 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( 解联立方程组 1. 1 1 1 ( ) − − = + + x x f x x
填空 、函数y= r cos x+sinx是(B) (A偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数;(奇偶函数 2、函数∫(x)=1+cosx的最小正周期是(C) 2 (A)2π; B (C)4; 2 3、函数∫(x)= 1+2在定义域内,为(C) (A)有上界无下界; (B)有下界无上界; (C)有界,且 1≤f(x)≤ 2 (D)有界,且-2≤,2≤2
1、函数 y = x cos x + sin x 是（ ） (A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 2、函数 f x x 2 ( ) 1 cos = + 的最小正周期是（ ） (A)2； (B) ； (C) 4 ； (D) 2 1 . 3、函数 2 1 ( ) x x f x + = 在定义域内,为（ ） (A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且 2 1 2 1 − f (x) ； (D)有界，且 2 1 2 2 + − x x . B C C 一、填空
、求下列函数的定义域: I y=sin(2x+1)+arctan i 9x-x2) 2、q(x)=1lg( 2 、设g(x-1)=2x2-3x-1 (1)试确定a,b,c的值使 g(x-1) 1)2+b(x-1)+c (2)求g(x+1)的表达式 四、求∫(x)=(1+x2)sgnx的反函数f(x) 、1、(-∞,+∞); 2、[4,5]. 、a=2,b=1,c=0,g(x+1)=2x 5x+3 1.x>1 四、f1(x)={0,x=0 答案 √-(x+1),x<-1
2、 1 2 9 ) ( ) lg( 2 − − = x x x . 三、设 ( 1) 2 3 1 2 g x − = x − x − （1） 试确定 a,b,c 的值使 g( x − 1) = a( x − 1) + b( x − 1) + c 2 ； （2） 求 g(x + 1) 的表达式 . 四、求 f ( x) (1 x )sgn x 2 = + 的反函数 ( ) 1 f x − . 二、求下列函数的定义域： 1、y = sin(2x + 1) + arctan x ; 二、1、(− ,+ ); 2、[4,5]. 三、 2, 1, 0, ( 1) 2 5 3 2 a = b = c = g x + = x + x + . 四、 − − + − = − = − ( 1), 1 0, 0 1, 1 ( ) 1 x x x x x f x 答案
五 1.设f(sin)=c0sx+1,求f(x),f(cos 2 2f()={Ⅵ1-x2,x0;y=1-
五、 ) . 2 ) cos 1 , ( ) , (cos 2 1. (sin x x f x f x 设f = + 求 [ ( )]. 1 , 1 , 1 , 1 , 2. ( ) 2 2 f f x x x x x f x 求 + − = 3. ( ) sin ? f x = x 2是否为周期函数 4. 判断函数的奇偶性 . 1 1 , 0 ; lg 1 1 x x a y a a y x x − + = − + =
5设fn(x)=∫{…f(x)},若∫(x)= ,求fn(x) 1+x 2 6.作函数的图形 y=l(-2x)+1; J=2-2x 1+x y=sin(3x +1);y=cos x
, ( ). 1 5. ( ) { [ ( )]}, ( ) 2 f x x x 设 f n x f f f x 若 f x 求 n + = = ); cos . 3 5sin(3 ; ln( 2 ) 1; 2 ; 1 1 6. 2 y x y x y x y x x y x = = + = − + = + − = − 作函数的图形