湖南工业大学（株洲工学院）：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程

第十节二阶常系数非齐次 线性微分方程 f(x)=ePn(x)型 巴二、f(x)=eP(x)c0sox+P(x) sin ax型 四三、小结思考题

一、f(x)=ePn(x)型 y"+py2+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py2+gy=0, 斗通解结构y=Y+P 常见类型Pn(x),P(x)ex, 王P( re cos Bi Pn( ax x)esin负x, 牛难点:如何求特解?方法:待定系数法 上页

y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. f (x) e P (x) m x 一、 = 型

设非齐方程特解为y=Q(x)e代入原方程 Q"(x)+(2+p)Q(x)+(7+p+q)Q(x)=Pmn(x) (1)若不是特征方程的根,22+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x,y=Qn(x)e“; (2)若花是特征方程的单根, 22+p+q=0,2+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)e; 上页

设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e  = ( ) ; x m y xQ x e  =

(3)若花是特征方程的重根, 22+p+q=0,22+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),卩=xQn(x)lx 综上讨论 「0不是根 工工工 设y=xeQn(x),k={1是单根, 2是重根 牛注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数) 上页

(3) 若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 可设Q x = x Qm x 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 =         = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. ( ) . 2 x m y x Q x e  =

特别地y"+py+gy=Ae e4,λ不是特征方程的根 2+p o2+q y xe是特征方程的单根 2+p 2x 2 e 九是特征方程的重根 上页

特别地 x y py qy Ae  +  + =          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2

王例1求方程y”-3y+2y=xe的通解 上解特征方程r2-3r+2=0, 特征根F1=1,F2=2, 对应齐次方程通解Y=c1e+c2e, =2.是单根,设P=x(4x+B2, 代入方程得24x+B+24=x/1 2 B=-1 于是p=x(x-1l2 2 原方程通解为y=Ce+C2x+x(x-1)2x 上页 圆

3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2， , 2 1 2 x x Y = c e + c e  = 2 是单根， ( ) , 2 x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1      = − =  B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e + C e + x x − e 例1

二、f(x)=cIP(x)oax+P(x) sIn x型 f(x)= e"p cos ax+ P sin ax利用欧拉公式 e/ te Jax Jax =ep 十 2 PP n o(+jo)x e +( (n-jo)x e 22j 22 =/(x)e (+j)x +P( rrel-jo)x 9 设y”+py+q=P(x)e(1),y=x2Qne+o 王页下

二 、f (x) = e x [Pl (x)cosx + P n (x)sinx]型 f (x) e [P cos x P sin x] l n x    = + ] 2 2 [ j e e P e e e P j x j x n j x j x l x      − − − + + = l n j x l n j x e j P P e j P P ( ) ( ) ) 2 2 ) ( 2 2 (  +   −  = + + − ( ) ( ) , ( j ) x ( j ) x P x e P x e  +   −  = + ( ) , ( j ) x y py qy P x e +  设  +  + = , ( ) 1 j x m k y x Q e +  = 利用欧拉公式

iy"+py'+qy=P(xe(a-jokx, D,=x 2m e - yo)x, D=xeo e+o me Jar xe rm(x)cos axx+Rm()sin ax], 王其中(1()是m次多项式,m=mn 0±jo不是根 k =1±jo是单根 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 王页下

( ) , ( j ) x y py qy P x e −  设  +  + = , ( ) 1 j x m k y x Q e −  = [ ] j x m j x m k x y x e Q e Q e   −   = + [ ( )cos ( )sin ], (1) (2) x e R m x x R m x x k x    = + 其中Rm (1) (x),Rm (2) (x)是m次多项式，m = maxl,n , 1 0          = 是单根 不是根 j j k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程

例2求方程y"+y=4sinx的通解 解对应齐方通解Y=C1csx+C2sinx 作辅助方程y"+y=4ek 元=j是单根,故y=Ae 代入上式24=4,∴A=-2, .y=-2/= 2x sin x-(2x cos x)j, 所求非齐方程特解为y=-2xc0sx,(取虚部) 原方程通解为y=C1cosx+C2sinx-2 r cosx 上页

求方程 y + y = 4sin x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 4 , jx y + y = e  = j 是单根, , * jx 故 y = Axe 代入上式 2Aj = 4,  A = −2 j, 2 2 sin (2 cos ) , * y jxe x x x x j j x  = − = − 所求非齐方程特解为 y = −2xcos x, 原方程通解为 cos sin 2 cos . y = C1 x + C2 x − x x （取虚部） 例2

例3求方程y"+y=xcos2x的通解 解对应齐方通解Y=C1c0sx+C,sinx 作辅助方程y+y=le2 λ=2j不是特征方程的根 设y=(4x+B)e2,代入辅助方程 4一-3B=0:A=-1,B=-4; -3A=1 3 y=(-x-j)e2, 39 上页

求方程 y + y = xcos 2x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 , 2 jx y + y = xe  = 2 j 不是特征方程的根, ( ) , * 2 jx 设 y = Ax + B e 代入辅助方程    − = − = 3 1 4 3 0 A Aj B , 9 4 3 1  A = − ，B = − j ) , 9 4 3 1 ( * 2 jx  y = − x − j e 例3