曲线积分与曲面积 习题课
曲线积分与曲面积分 习题课
(一)曲线积分与曲面积分 曲线积分 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 义gmh=2/(,1点(x,+( 定 im∑P(,n)x+(,m)A 联系 Pdx+edy= (Pcos a+2cos B)ds 计J,f(x,y)ds Pdx +ody = flo,yh '+y'2dt LIP(, Y)o'+2(cp, v)y'ldt 算三代一定(a<B)二代一定(与方向有关)
曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定 义 = → = n i i i i L f x y ds f s 1 0 ( , ) lim ( , ) + L P(x, y)dx Q(x, y)dy lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i = P x +Q y = → 联 系 Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos ) + = + 计 算 = f + dt f x y ds L 2 2 [ , ] ( , ) 三代一定 ( ) = + + P Q dt Pdx Qdy L [ ( , ) ( , ) ] 二代一定 (与方向有关) （一）曲线积分与曲面积分
与路径无关的四个等价命题 条在单连通开区城D上P(x,)Q(x)具有 件连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立 等(1)在D内Pd+Q小与路径无关 价(2)「Px+g小=0闭曲线CcD 命(3)在D内存在U(x,y)使d=Pa+h 题|(4)在D内 OP 00 ay ax
与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y),Q(x, y)具 有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关 + = C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx + Qdy x Q y P D = (4) 在 内, 等 价 命 题
曲面积分 对面积的曲面积分对坐标的曲面积分 R(x,,x)d=im∑R5,n,5△S 义 元→>0 联|』Pk+Q+Rd(+2s+Ry 系|2 ∑ f(x,y, z ) ds R(x, ,)dxdy 计 算/=-∥ nx;x+2:+2=址1x2(x 代,二换三投(与侧无关一代一二投,三定向(与侧有关)
曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义 = → = n i i i i i f x y z ds f s 1 0 ( , , ) lim ( , , ) i x y n i R(x, y,z)dxdy lim R( i , i , i)( S ) 1 0 = = → 联 系 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) = (Pcos + Qcos + Rcos )dS f (x, y,z)ds = + + Dxy x y f x y z x y z z dxdy 2 2 [ , , ( , )] 1 R(x, y,z)dxdy = Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy
(二)各种积分之间的联系 计算 曲线积分 定积分 Stokes公式 ree公 计算 计算 曲面积分 重积分 Guas公式
曲线积分 定积分 曲面积分 重积分 计算 计算 计算 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系
★积分概念的联系 f(MOd=lim∑(MAa,/(M点函数 定积分当Σ→R上区间a,b时, 「(Mnda=∫∫(x)k 二重积分当Σ→R2上区域D时, f(M)dσ=‖f(x,y)do
( ) lim ( ) , ( )点函数 1 0 f M d f M f M n i i = → = ( ) ( ) . [ , ] , 1 = → b a f M d f x dx R a b 当 上区间 时 ( ) ( , ) . , 2 = → D f M d f x y d R D 当 上区域 时 积分概念的联系 定积分 二重积分
曲线积分当Σ→R2上平面曲线L时, ∫(M)d=[,f(x,y)ds 重积分当Σ→R3上区域Ω时, f(M)d=川f(x,y,z)d 曲线积分当Σ→R3上空间曲线r时, 「(Mnd=∫(x,y) 曲面积分当∑→R3上曲面S时, f(M)do=「f( x,y,)dS
= → f M d f x y z dV R ( ) ( , , ) , 3 当 上区域 时 ( ) ( , , ) . , 3 = → f M d f x y z ds R 当 上空间曲线 时 ( ) ( , , ) . , 3 = → S f M d f x y z dS R S 曲面积分 当 上曲面 时 曲线积分 三重积分 ( ) ( , ) . , 2 = → L f M d f x y ds R L 曲线积分 当 上平面曲线 时
★计算上的联系 ∫∫(x,yo=l∫ ∫(x,y)lx,(lo面元素) y1(x) ∫x,=∫的∫”/(x,,3(d体元素) b f(x,y)=Jx,yx+p2d,(线元素d) f(,y)d=,1x,x)线元素(投影)
计算上的联系 ( , ) [ ( , ) ] ,( ) ( ) ( ) 2 1 f x y d = f x y dy dx d面元素 b a y x y x D ( , , ) ( , , ) ,( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 f x y z dV dx dy f x y z dz dV体元素 b a y x y x z x y z x y = = + b L a f (x, y)ds f[x, y(x)] 1 y dx,(ds ( )) 2 线元素 曲 = b L a f (x, y)dx f[x, y(x)]dx,(dx线元素(投影))
f(x,J,z)ds=IfIx,D, z (x, y)11+zx+ (dS面元素(曲) R(x, y, z)dxdy=l[x,y, z(x, y)ldxdy (d面元素(投影) 其中』Pd+Qd=(Pca+gco Prydz+ Oddo+Rtd小 (P cos a+ocos B+Rcos n)ds
= + + Dxy x y f x y z dS f x y z x y z z dxdy 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] 1 = Dxy R(x, y,z)dxdy f[x, y,z(x, y)]dxdy 其中 P Q R dS Pdydz Qdzdx Rdxdy ( cos cos cos ) = + + + + Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos ) + = + (dS面元素(曲)) (dxdy面元素(投影))
★理论上的联系 1定积分与不定积分的联系 I f(x)dx=F(b)-F((F(x)=f(x) 牛顿-莱布尼茨公式 2二重积分与曲线积分的联系 00 oP d=Px+Qh(沿L的正向) ax ay 格林公式
理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系 f (x)dx F(b) F(a) (F (x) f (x)) b a = − = 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) y P x Q L D = + − 格林公式