导数与微分 习题课
1 习题课 导数与微分
、主要内容 关 系d=y兮中=y分4=的+0(Ax) 基本公式 导数 微分 △ 高阶导数 li y=y△x △x→0△x 高阶微分 求导法则
2 求 导 法 则 基本公式 导 数 x y x →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy = = = + 高阶导数 高阶微分 一、主要内容
典型例题 例1设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100, 求∫(0) 解 f(0=lim f(x)-f(0) x→0 x-0 im(x-1)(x-2)…(x-100)=100 0 x→ 或:设x)=xg(x),g(x)=(x-1)(x-2).(x-100), 则f'(x)=g(x)+xg'(x),f'(0)=g(0)+0=100!
3 二、典型例题 例1 (0). ( ) ( 1)( 2) ( 100), f f x x x x x = − − − 求 设 解 0 ( ) (0) (0) lim 0 − − = → x f x f f x lim( 1)( 2) ( 100) 0 = − − − → x x x x = 100! 或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)(x-100)， 则 f (x)=g(x)+xg(x)，f (0)=g(0)+0=100！
例2设y= arctan√1+x2+ln 1+x2+1 2 1+x2-1 求 解设n=√1+x2,则y=1 arctan u+lm+1 2 L 11 2(1+u2)4a+1 2x2-x (√1+x2 y (2x+x3)1+x2
4 例 2 . , 1 1 1 1 ln 41 arctan 1 21 22 2 y xx y x + − + + = + + 求设 解 1 , 2 设 u = + x , 11 ln 41 arctan 21 −+ = + uu 则 y u ) 1 1 1 1 ( 41 2(1 ) 1 2 − + + + + = u u u y u 4 1 1− u = , 2 12 4 − x − x = ( 1 ) 2 u = + x x , 1 2 x x+ = . (2 ) 1 13 2 x x x y x + + = −
sinx.x<o 例3设f(x)= n(1+x),x≥0 问f(0),厂(0),f(0)是否存在 解 广(0)=lim f(0+x)-f(0)= lim sin x=l x→)0 0-x ∫(0)=im f(0+x)-f(0 In(1+x) x→0+ x→0+x ∫1(0)=f(0)=1,f(0)=1
5 例 3 ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ) ., ln( 1 ) , 0 sin , 0 ( ) 问 是否存在 设f f f x x x x f x + = + − 解 1 sin lim (0 ) (0) (0) lim0 0 = = + − = → − → − − x x x f x f f x x 1 ln(1 ) lim (0 ) (0) (0) lim0 0 = + = + − = → + → + + x x x f x f f x x (0)= (0)= 1, (0) = 1. + − f f f
例4设函数y=f(x)方程y=x(x>0,y>0) 所确定,求y 解两边取对数lny=Imx,即ylny=xlnx, Inx+1 (1+lny)y′=lnx+1,y 1+In y (ny+1)-(lnx+1)·y (1+In y) yny+1)2-x(mx+1)2 xp(Iny+十
6 , . ( ) ( 0, 0) 2 2 dx d y y f x y x x y y x 所确定 求 例4 设函数 = 由方程 = 解 两边取对数 ln , 1 ln 1 x y y x = 即y ln y = x ln x, (1+ ln y) y = ln x + 1, , 1 ln ln 1 y x y + + = 2 (1 ln ) 1 (ln 1) (ln 1) 1 y y y y x x y + + − + = 3 2 2 (ln 1) (ln 1) (ln 1) + + − + = xy y y y x x
例5设{x=h1+,求有参数方程所确定暾数的 y= arctan t 导数 2 解 中y( arctan t)1+t2 t(m√+t2y 1+ d 1+t t2dt(m√1+t2)y
7 , . , arctan ln 1 2 2 2 dxd y dx dy y t x t 导 数设 求有参数方程所确定函数 的 = 例 = + 5 解 t t t t tt dx dy 1 11 1 (ln 1 ) (arctan ) 22 2 = ++ = + = 2 2 2 2 2 1 (ln 1 ) ) 1( ) 1( t t t t dx t d dxd y + = − + = =
例6设y=x(sinx),求 解y=y(lny y(Inx+ cos x Isin x) 2 Cos式 x( sin r) cosx(-sinr.Insinx+ SInx
8 (sin ) , . cos y x x y x 例 6 设 = 求 解 y = y(ln y ) = y(ln x + cos x lnsin x) ) sin cos sin lnsin 1 (sin ) ( 2 cos xx x x x x x x = − +
2 例7设 4x2-1 2,求yo 解y= 4x2-14x2-4+3 3.1 x一 1)"nl 1m_(-1)"n! H+15 x+1 (x+1) 3 n n+1 n+ x
9 , . 1 4 1 ( ) 22 n y xx 设y 求 −− 例 7 = 解 1 4 4 3 1 4 1 2 2 22 −− + = −− = xx xx y ) 1 1 1 1 ( 23 4 + − − = + x x , ( 1) ( 1) ! ) 1 1 ( 1 ( ) + −− = − n n n x n x , ( 1) ( 1) ! ) 1 1 ( 1 ( ) + +− = + n n n x n x ]. ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 
课堂练习 、求下列函数的导数y 1.y=(x+1)(产=-1) +va+r (3x-1 2. y= arcsin(sin x) arcsin d 6 +ln√1-x 2 3.y=In(e+v1+e 2x 2 7. y=cot(x)+(arccos x) cos J 3 8.y=a+x+ 15 arcsin x (3x-1)0ya2+ (1-x -4xcotr.CSc<\2 2arccosx nax·aoA+hn2a,d
10 课堂练习 一、求下列函数的导数 y x x x x y y e e y x x y x 3 cos 4. 3. ln( 1 ) 2. arcsin(sin ) 1) 1 1. ( 1)( 2 = = + + = = + − a a x x a a y a x a y x x x x x x y a x x y = + + = + + − − = + + − = 8. 7. cot ( ) (arccos ) ln 1 1 arcsin 6. (3 1) 1 5. 2 2 2 2 2 2 2 5 ln ln . ; 1 2arccos 4 cot csc ; (1 ) arcsin ; (3 1) 15 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 a a x a x a a x a a a x a a x a a a x x x x x x x a x x x + + − − − + − + − − − −