微分方程 习题课(
微分方程 习题课(一)
典型例题 例1求通解 y(xcos+sin dx=x(sin -xcos 'dy 解原方程可化为 cos=+=sin ry SIn cos
典型例题 ( cos sin ) ( sin cos )dy. x y x x y dx x y x y y x y y x + = − 例1 求通解 解 原方程可化为 ), sin cos cos sin ( x y x y x y x y x y x y x y dx dy − + =
令u=y,y=x,y=l+.代入原方程得 cosu+using u+ru 分离变量 usina- cosu LsmL一cosL 两边积分 ucos u C In(ucosu)=Inx+In C, . ucos u y y cos ,所求通解为xy cos
, x y 令 u = y = ux, y = u + xu . 代入原方程得 ), sin cos cos sin ( u u u u u u u xu u − + + = , 2 cos sin cos x dx du u u u u u = − 分离变量 两边积分 ln( cos ) ln ln , 2 u u = x + C − cos , 2 x C u u = cos , 2 x C x y x y = 所求通解为 cos C. x y xy =
例2求通解x+2=3x 解原式可化为y+-y=3x2y3,伯努利方程 即y3y+y3=3x2 原式变为-3z+-z=3x2, 2 即 L 3x Z=-X 阶线性非齐方程 7 方程的通解为 3 x3+cx 1-a)P(x)dx ∫c(x)1-a) (1-a)P(x)dx dx+C)
2 3 . 3 4 3 例2 求通解 xy + y = x y 解 原式可化为 3 , 2 3 4 2 y x y x y + = 3 , 2 3 2 1 3 4 y x x y y + = − − 即 , 3 1 − 令 z = y 原式变为 3 , 2 3 2 z x x − z + = , 3 2 2 z x x 即 z − = − 方程的通解为 一阶线性非齐方程 伯努利方程 . 7 3 3 2 3 7 3 1 y = − x + Cx − ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 + − = = − − − − e Q x e dx C y z P x d x P x d x
例3求通解 2x 3x dx dy=0. ap a2x 6x 解 ay ay y 0Q_0y2-3x 6x )= (y≠0) ax ax aP 80 av ax ,方程为全微分方程
0. 2 3 4 2 2 3 = − + dy y y x dx y x 例3 求通解 解 ) 2 ( 3 y x y y P = , 6 4 y x = − ) 3 ( 4 2 2 y y x x x Q − = , 6 4 y x = − ( y 0 ) , x Q y P = 方程为全微分方程
(1)利用原函数法求解: 设原函数为u(x,y),则 au 2x ax (x,y)=3+p(y),两边对y求导, ou 1 3x ay y2 =-4+q(y,解得q() P(y 故方程的通解为
(1) 利用原函数法求解: , 2 ( , ), 3 y x x u u x y = 设原函数为 则 ( , ) ( ), 3 2 y y x u x y = + 两边对 y 求导, ( ), 1 3 3 4 2 4 2 2 y y x y x y y u = − = − + , 1 ( ) 2 y 解得 y = , 1 ( ) y y = − 故方程的通解为 . 1 3 2 2 C y y x − =
(2)利用分项组合法求解: 原方程重新组合为 2x-中y)+2=0, 3r 即得d()+d(--)=0, 故方程的通解为
(2) 利用分项组合法求解: 原方程重新组合为 ) 0, 1 ( ) ( 3 2 + − = y d y x 即得 d 0, 1 ) 2 3 ( 4 2 2 3 − + dy = y dy y x dx y x 故方程的通解为 . 1 3 2 2 C y y x − =
(3)利用曲线积分求解: (x)2x J-3x2 小y=C, (0,1) 即 ex2x dx y-3x2 0 J =c 十 故方程的通解为 2
(3) 利用曲线积分求解: , 2 3 4 2 2 ( , ) (0,1) 3 dy C y y x dx y x y x = − + , 3 1 2 1 4 2 2 0 3 dy C y y x dx x x y = − + 即 . 1 3 1 2 1 2 C y x y x y y − + = 故方程的通解为 . 1 3 2 2 C y y x − =
例4求通解 (x2-y2-2y)dx+(x2-y2+2x)dy=0 解 aP 00 oP 00 2y-2 =2x+ ≠ a ay ax 非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为 x dx-ydx-2ydx+x dy-y dy+ 2xdy=0 (x-y)(dx+dy)=2(ydx-xdy dx+dy=2 vdx-xdy 2 ,…x+p≈lnx+lnC, J 故方程的通解为e=C x-y xty
( 2 ) ( 2 ) 0. 2 2 2 2 x − y − y dx + x − y + x dy = 例4 求通解 解 = −2 − 2, y y P = 2 + 2, x x Q , x Q y P 非全微分方程. 利用积分因子法: 原方程重新组合为 ( )( ) 2( ), 2 2 x − y dx + dy = ydx − xdy 2 2 0. 2 2 2 2 x dx − y dx − ydx + x dy − y dy + xdy = 2 2 2 x y ydx xdy dx dy − − + = , 1 ( ) ( ) 2 2 x y x y d − = ln , 1 1 ln C x y x y x y + + − + = 故方程的通解为 . x y x y e C x y + − = +
练习题 选择题: 1、一阶线性非齐次微分方程y′=P(x)y+Q(x)的通 解是(). P(x)dx P(x)d J e(xe dx+cl (B)y=e P(x)dx P(x)dx e(r)e ; ()y=“m/mk dx+cl; J=ca」P(x)t 2、方程y=√x2+y2+y是(). (A齐次方程; (B)一阶线性方程; (C)伯努利方程;(可分离变量方程.A
一、选择题 : 1、 一阶线性非齐次微分方程 y = P(x) y + Q(x)的 通 解是( ). (A) + = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x ； (B) = − y e Q x e dx P( x)d x P( x)d x ( ) ； (C) + = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x ； (D) = − P x d x y ce ( ) . 2、方程xy = x + y + y 2 2 是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 . 练 习 题 C A